大学物理 B （ 2 ）

1. 大学物理 B（2） 热 学 （第二册） 波动与光学（第四册） 量子物理 （第五册）

2. 热 学

3. 系统 外界 外界 前 言 一. 热学的研究对象及内容 宏观物体（大量分子原子系统） 或物体系—热力学系统 。 ▲ 对象： 例如汽缸： ▲内容： 与热现象有关的性质和规律。

4. 逻辑推理 统计方法 二 . 热学的研究方法 ▲ 热力学（thermodynamics） 宏观基本实验规律 热现象规律 特点： 普遍性、可靠性。 ▲ 统计力学（statistical mechanics） 对微观结构提出模型、假设 热现象规律 特点：可揭示本质，但受模型局限。

5. 系统 系统 （恒温） （恒温） （恒温） 热库 热库 热库 T1 T1 T2 T1 稳定态 平衡态 三. 几个概念 1. 平衡态（equilibrium state）： 在不受外界影响的条件下 （与外界无任何 系统的宏观性质 形式的物质与能量交换）， 不随时间变化的状态（动平衡）。 要注意区分平衡态与稳定态。

6. 如分子的 2. 宏观量（macroscopic quantity）： 表征系统宏观性质的物理量（可直接测量）。 广延量（有累加性）：如M、V、E  宏观量 强度量（无累加性）：如p、T  3. 微观量（microscopic quantity）： 描写单个微观粒子运动状态的物理量 （一般 只能间接测量）。

7. 描述 对应 4. 物态参量（态参量）（state parameter）： 描写平衡态的宏观物理量。 如：气体的 p、V、T 一个平衡态 一组态参量 5. 物态方程（equation of state）： 态参量之间的函数关系： 理想气体物态方程：

8. A B 绝热壁 绝热壁 导热板 第一章 温度（Temperature） 本章自学，要着重搞清以下概念和规律： 两系统热接触下，相当长时间 一. 热平衡态： 后达到的共同平衡态。

9. 二 . 温度 态参量 p、V、T 中，T 是热学特有的物理量， 需要在热学中加以定义。 实验表明： 若A与C热平衡 则A与B必然热平衡 B也与C热平衡 “分别与第三个系统处于同一热平衡态的两 个系统必然也处于热平衡。” —热平衡定律（热力学第零定律）

10. 处于同一热平衡态下的热力学系统 温度： 所具有的共同的宏观性质。 一切处于同一热 平衡态的系统有相同的温度。 温度取决于系 统内部的热运动（对质心的运动）状态。 三 . 温标（temperature scales） 温标：温度的数值标度。 1.理想气体温标： 用理想气体做测温物质的 温标， 单位：K（Kelvin）。 理想气体温标 在 > 0.5K的范围适用（低压3He气）。

11. 一定质量的理想气体有规律： T3为水的三相点(triple point)，规定T3 = 273.16K 于是有 不依赖测温物质及其测温属 2.热力学温标T： 性的温标， 在理想气体温标有效范围内与理 想气体温标一致， 单位：K 。

12. t =（T - 273.15） t3 = 0.01 演示 3. 摄氏温标 t ： 与热力学温标的关系： 水的三相点的摄氏温度为 *4. 华氏温标 tF ： 热记忆合金趣味实验（KR011）

13. 四. 理想气体的物态方程的另一种形式 — 玻尔兹曼常量（Boltzmann Constant） （m  气体质量，M  气体摩尔质量， NA  阿伏伽德罗常量，n 气体分子数密度）

14. 第二章 气体动理论 （Kinetic Theory of Gases）

15. 本章目录 §2.1 理想气体的压强 §2.2 温度的统计意义 §2.3 能量均分定理 §2.4 麦克斯韦速率分布律 △§2.5 麦克斯韦速率分布的实验验证 §2.6 玻耳兹曼分布 △§2.7 真实气体等温线 §2.8 范德瓦耳斯方程 §2.9 气体分子的平均自由程 §2.10 输运过程

16. TV §2.1 理想气体的压强 （pressure of ideal gases） 一. 气体动理论的基本观点 1.宏观物体由大量分子、原子构成， 分子间 有一定的间隙； 2.分子永不停息地作无规则运动 — 热运动 3.分子间有一定相互作用力。 布朗运动（注4）

17. 二 . 理想气体的微观假设 1.关于每个分子的力学性质 （1）大小 —分子线度<<分子间平均距离； （2）分子力 —除碰撞的瞬间，在分子之间、 分子与器壁之间无作用力； （3）碰撞性质 —弹性碰撞； （4）服从规律 —牛顿力学。

18. 演示 2.关于大量分子的统计假设（对平衡态） （1）无外场时，分子在各处出现的概率相同， （2）由于碰撞，分子可以有各种不同的速度， 速度取向各方向等概率， 即： 注意： 统计规律有涨落（fluctuation）， 统计对象的数量越大，涨落越小。 伽尔顿板（统计规律及涨落）（KR005）

19. —分子数密度（足够大）， 三. 理想气体压强公式的推导 前提： 平衡态， 忽略重力， 分子看成质点 （只考虑分子的平动）； 设：同种气体，分子质量为m， N — 总分子数， V — 体积，

20. 2mvix 一个分子对dA冲量： 小柱体 器壁 dA 分子对dA冲量： dt内所有 x vixdt 推导： 取器壁上小面元dA（>>分子截面面积） 第1步： 第2步： dIi = (2mvix)(nivixdtdA) = 2 ni mvix2 dt dA dt内所有分子对dA冲量： 第3步：

21. 第4步： 由分子平均平动动能 — 气体压强公式 有 演示 气体压强的模拟（KR001）

22. (root-mean-square speed) 称为方均根速率 §2.2 温度的统计意义 由此给出温度的统计意义： T是大量分子热运动平均平动动能的量度。

23. T = 273K时， （记住数量级！）

24. §2.3 能量均分定理 一. 气体分子自由度（degree of freedom） 决定物体空间位置的独立坐标数， 自由度： 用 i 表示。 1.单原子分子（monatomic molecule） 如：He，Ne…可看作质点，只有平动。 t —平动自由度 （degree of freedom of translation） i = t =3

25. 轴 z  l  C (x, y, z)   0 y  x 2. 双原子分子 （biatomic molecule） 如：O2 ， H2 ， CO … 质心C平动：（x，y，z） t =3 — 平动自由度， 轴取向： （，） r — 转动(rotation)自由度， r = 2 距离 l 变化： v= 1 v —振动（vibration）自由度， ∴ 总自由度： i = t + r +v = 6

26. 轴  z      C (x, y, z) 0 y  x 3. 多原子分子 （multi-atomic molecule） 如：H2O，NH3 ，… N：分子中的原子数 i = t + r +v = 3N t =3 （质心坐标 x，y，z） r = 3 （ ， ，） v= 3N - 6 二 . 能量均分定理（ equipartition theorem）

27. 由 及 有： 一个平动自由度对应的平均动能为 即： 由于分子碰撞频繁，平均地说，能量分配 没有任何自由度占优势。 即： 分子热运动的每一 在温度为T 的平衡态下， 个自由度所对应的平均动能都等于 —— 能量均分定理

28. 能量中每具有一个平方项， 就对应一个 对有振动（非刚性）的分子： i = t + r +v 能量均分定理的更普遍的说法是： 的平均能量。 能量均分定理不仅适用于气体，也适用于液体 和固体， 甚至适用于任何具有统计规律的系统。 振动势能也是平方项，

29. 分子平均能量 根据量子理论，能量是分立的， 且 t， r， v 的能级间距不同。 振动能级间隔大 平动能级连续 转动能级间隔小 振动能级极少跃迁， 一般情况下（T <10 3K）， 对能量交换不起作用 —振动自由度 v“冻结”， 分子可视为刚性。

30. 对刚性分子（rigid molecule）： 当温度极低时，转动自由度 r 也被“冻结”， 任何分子都可视为只有平动自由度。

31. 由 V 决定 由 T 决定 三. 理想气体内能（internal energy of ideal gases） 内能： 系统内部各种形式能量的总和。 （不包括系统整体质心运动的能量） 分子自身： 分子之间： 相互作用势能 pij ( i >j ) 对理想气体：

32. 刚性分子理想气体内能：  ：气体系统的摩尔（mol）数

33. 麦克斯韦 §2.4 麦克斯韦速率分布律 （Maxwells law of distribution of speeds） 一 . 速率分布函数 要深入研究气体的性质， 不能光是研究一些平均值， 还应该进 一步弄清分子按速率和按 能量等的分布情况。 整体上看，气体的速率分布是有统计规律性的。

34. Ni 0 vi 描写分子的速率分布可以有两种方式： 一种是像前面那样用分立数据描写： v1， v2 … vi … N1，N2 … Ni … 这种描写既繁琐，又不能很好地体现统计 的规律性。

35. 则： 即 称速率分布函数 另一种是用连续的分布函数来描述： 设：dNv 为速率v  v +dv 区间内的分子数， N 为总分子数， 即 由于dNv/ N 是速率v 附近dv 区间的分子数与 所以它应与v的大小有关， 总分子数之比， 可以 写成： （function of distribution of speeds）

36. 由定义式 可看出 f (v)的意义是： 单位速率区间内的分子数 “ 在速率v 附近， 占总分子数的比例。” f (v) 就是分子处于速 对于一个分子来说， 率v 附近单位速率区间的概率。 因为 即 这称为速率分布函数 的归一化条件。 所以

37. f(v) T，m 一定 0 v v +dv v 二 . 麦克斯韦速率分布函数 1859年麦克斯韦（Maxwell）导出了理气在 分子速率分布函数为： 无外场的平衡态（T）下， m —气体分子的质量 归一化条件 在左图上的几何意义为： 曲线下面的总面积等于1。

38. 麦克斯韦速率分布是大量分子的统计规律性。 碰撞使得个别分子的速率变化是随机的， 概率 的原则使得大量分子通过频繁碰撞达到 v 很小 和v 很大的概率都必然很小。

39. f(v) 有： 由 T，m 一定 vp 0 v 三. 三种统计速率 1.最概然（可几）速率（most probable speed） 如图示， 相应于速率分布函数 f(v)的极大值 的速率vp 称为最概然速率。 就单位速率区间来比较， 处在最概然速率 vp附近 的分子数占总分子数的百分比最大。

40. f(v) m 一定 T1 T2 >T1 思考 T 一 定，m2 > m 1，速率分布曲线如何？ vp2 vp1 0 v  当分子质量 m 一定时， 温度越高， 左图表明： 速率大的分子数比例越大， 气体分子的热运动越激烈。

41. 麦克斯韦速率分布函数的另一种表示： 则有： 令

42. 例 取 即：速率为790 — 800m/s的分子数占总分子 数的比例为万分之2.58 。

43. 2.平均速率（average speed） 分立： 平均速率 连续： vi v， Ni  dNv=N f (v)dv， 对麦氏速率分布经计算得： 任意函数(v)对全体分子按速率分布的平均值：

44. v0 v 0 （2）平均速率 （3）速率在 之间分子的平均速率 例 设某气体的速率分布函数 为 求： （1）常量 a 和 v0 的关系 解： （1）归一化条件

45. 则 （2）设总分子数为N， （3） 对否？ ——不对！ 上式分母上的N应为

46. （麦） 3. 方均根速率（root-mean-square speed） （与前同） —— 讨论分子平均平动动能时用 —— 讨论分子碰撞问题时用 —— 讨论分子的速率分布时用

47. 分布于速度 附近小体积元 内的分子数为 vz 速度空间 vy 单位 附近， 0 —— 速度 vx 四. 麦克斯韦速度分布律 （Maxwells law of distribution of velocities） 设在速度空间中， 则速度分布函数定义为： 速度空间体积内的分子数占总分子数的比例。

48. 分别为 令 g(vx) vx 0 1859年麦克斯韦首先导出了理想气体的速度 分布律为： ——麦克斯韦速度分布律（推导见书P53 注） 的分布函数， 于是有 形式相同。

49. 令 小柱体内速度在 附近 小柱体 器壁 n dA x vxdt 五. 分子碰壁数  — 单位时间、单位面积上碰壁的分子数 则 速度空间体元内的分子数为

50. 又平均速率 