Mål for timene

1. Mål for timene Forstå hvordan vi ved hjelp av et variogram kan uttrykke den romlige variasjonen til en tilfeldig variabel. Volum – varians Simpel kriging

2. Interpolering mellom borehull A B C ? Mineralisering

3. Tilfeldig variabel

4. Regionaliserte variable • En regionalisert variabel har ofte et strukturert og et tilfeldig aspekt Dyp Vertikal variasjon i nikkelgehalt

5. Kovarians

6. Stasjonæritet • Svakt stasjonær (Annen ordens stasjonær) • Bar de to første momentene (middel, varians) • Intrinsisk • Middelverdi og varians til inkrementer eksisterer og er uavhengige av x • Kvasistasjonær • Stasjonær innen begrensede områder (Skille epler og pærer)

7. Sannsynlighetstetthet m s Histogram • Metodene for å beregne sannsynlighet krever kjennskap til sannsynlighetstettheten. • Hvordan får vi denne kunnskapen ? f(x) f(x) x x

8. Variogrammet • Vi ser på differansen mellom verdier, ikke på verdiene i seg Definisjon

9. Variogram • Variogrammet kan uttrykkes ved hjelp av variansen og covariansen eller ved variansen og korrelasjonskoeffisienten T

10. Variogram modeller • Sfærisk • Nugget effekt • Eksponensiell • ”Power Functions” • The linear model

11. Det eksperimentelle variogram På den samme måten som histogrammet gir fordelingsfunksjonen, gir det eksperimentelle variogrammet variogramfunksjonen

16. Egenskaper ved variogrammet • Influenssone • Egenskaper nær 0 • Anisotropi • Geometrisk • Support • Hulleffekt T

17. Tilpasning av en sfærisk modell til et eksperimentelt variogram 2/3 1/3 a C C0

18. Tilpasning av en sfærisk modell til et eksperimentelt variogram Ser bort fra halve variogrammet. Hulleffekt

19. Strukturell analyse • Sjekk data • Elementær statistikk • Gjøre seg kjent med prøvetaking og problemstilling • Eksperimentelt variogram • Tilpasse modell

20. Sjekk data • Hvordan er de foreliggende analyser framskaffet (prøvetakingsopplegg) ? • Har det hvert noen forandringer i prøvetakingsopplegget ? • Er det noen form for sonering i området ? • Er noen områder overrepresentert ? (Clusters) Tar en ikke vare på forhold som kan være knyttet til dette allerede fra starten av, så er det fare for at hele analysen må gjøres på nytt.

21. Avgjørelser som må tas • Først må det avgjøres hvilke variabler det skal arbeides med, og om området må deles opp i ulike soner. • Så må en bestemme : • Er variabelene stasjonære • Hvilke support har variablene • Er variablene additive • Skal en arbeide med variablene selv, eller med for eksempel akkumulasjonen

22. Stasjonæitet • Invariant overfor translasjoner • E[Z(x)]=m i hele forekomsten • Cov[Z(x), Z(x+h)] eksisterer for alle par Z(x), Z(x+h) i hele forekomsten

23. Support • Størrelse og form på volumet som utgjør prøven

24. Additive variabler 2m 5g/tonn 3m 10g/tonn • Middelverdien over en sone må være middelverdien til verdier inne i sonen • Mektigheten er additiv • Gullgehaltene er ikke additive (Slik de er angitt her)

25. Akkumulasjon • Produktet mektighet*gehalt • En vil vanligvis estimere akkumulasjon og tykkelse for et område, og så komme tilbake til de ordinære variabelen ved å dividere estimert akkumulasjon med estimert tykkelse.

26. Ny sekvens Volum - varians Simpel kriging

27. Selektivt uttak • Forekomst • Malmforekomst • Trekke ut av forekomsten den delen som har et tilstrekkelig innhold av verdifullt materiale • Forurenset masse • Trekke ut av forekomsten den delen som klassifiseres som spesialavfall • Bruk av arealer • Angi de områdene som krever spesiell omtanke

28. Gehalt - tonnasje kurver 30m 40m Malmforekomst Knakkprøver for hver 10m langs orter

29. Forurensningsgrad - tonnasje kurver Forurenset masse 50m 50m Jordprøver i et rutenett 50 * 50 m

30. Areal - kategori kurver 30m 40m Bruk av arealer Tunnel Arealer gruppert etter RQD Borehull

31. Kompositter 1 2 3 C1 C2 C3 a1 a2 a3

32. Regularisering • At variogrammet forandres avhengig av volum eller support kalle regularisering • Regulariseringen påvirker også fordelingen til prøvene

33. Gehalt - tonnasje kurver 30m 40m Malmforekomst Knakkprøver for hver 10m langs orter

34. Gehalt - tonnasje kurver Tonn Gehalt ( %) cut-off

35. Fordelingen til prøver og blokker Cut off 0 100 200 0 100 200

36. Hvor store skal blokkene være ? • Vi skal lage en modell av virkeligheten som skal danne grunnlag for beslutninger. • |Samsvar mellom blokkstørrelse og undersøkelsestetthet • Samsvar mellom blokkstørrelse og det volum som kan påvirkes • SMU ( Smalest mining unit)

37. Kriging • Kriging er en estimeringsmetode som krever at vi kjenner variasjonene i forekomsten uttykt ved hjelp av variogrammet. • Før vi ser på estimeringsmetoden Kriging • Kan variogrammet benyttes til å velge blant de konvensjonelle metodene for estimering av en forekomst mengde og verdi (malmberegning) ?

38. 40m 40m • Estimer fra de gitte prøvene

39. Hva er det beste estimatet ? Metode l1 l2 l3 l4 Sl Estimate Middelverdi 1/4 1/4 1/4 1/4 1 10.25 ISD .394 .285 .225 .096 1 7.32 Nærmeste punkt .442 .434 .128 0 1 6.08 Polynomer 1 7.38 Variogrammet kan benyttes til å velge metode

40. ISD Polygonmetoden (nærmeste punkt) Hvilken konvensjonell metode for malmberegning er best ? Middelverdi

41. Kriging • Men Kriging kan gi et bedre estimat enn de konvensjonelle metodene • Kriging • Se kriging.doc NB! Bare den første delen er forelest i år. • Vi bruker en lineær estimator • Vi bruker variogrammet til å finne vektene. • Disse vektene fremkommer ved å minimalisere uttrykket for den feilen som gjøres ved å bruke estimatoren.

42. Geostatistikk omfatter tre hovedområder Strukturell analyse av datagrunnlaget - (modellering) Estimering Simulering. Geostatistikk for analyse og visualisering av geodata

43. Simulering Ubetinget Studere den romlige variasjonen til et fenomen Betinget Beskrive mulige scenarier for en forekomst for å gi et grunnlag for produksjonssimuleringer. Geostatistikk - Simulering