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例举初等数学与高等数学的一 些联系

例举初等数学与高等数学的一 些联系. 演讲：张小明 E-mail:zjzxm79@126.com. 一、仿射几何与平面几何. A ．仿射几何 仿射几何：对坐标内的点进行 放缩、旋转和平移后，相应研究其中的不变性质的几何叫做仿射几何，它是射影几何的一部分 . 所谓放缩. ，旋转. ，平移：. 所以 仿射变换指的是. （ 1.1 ）. 其中：. ，即. 一、仿射几何与平面几何. 性质 1.1 仿射变换保持一一对应性、同素性、结合性 . 说明：一一对应性指的是变换. （ 1 ）有逆变换，其实逆变换也是仿射变换；

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例举初等数学与高等数学的一 些联系

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Presentation Transcript

  1. 例举初等数学与高等数学的一些联系 演讲：张小明 E-mail:zjzxm79@126.com

  2. 一、仿射几何与平面几何 A．仿射几何 仿射几何：对坐标内的点进行放缩、旋转和平移后，相应研究其中的不变性质的几何叫做仿射几何，它是射影几何的一部分. 所谓放缩 ，旋转 ，平移： 所以仿射变换指的是 （1.1） 其中： ，即

  3. 一、仿射几何与平面几何 性质1.1 仿射变换保持一一对应性、同素性、结合性. 说明：一一对应性指的是变换 （1）有逆变换，其实逆变换也是仿射变换； （2）同素性指的是：点变换成点，直线变换成直线.后者也就是说：若三点连线，变换后新三点也连线.证明：若 三点连线，则 则 ， 所以 三点连线.

  4. 一、仿射几何与平面几何 性质1.2 两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线. 说明：我们不妨证明两条平行直线（ ， ） 的原像是平行直线.它们的原像满足 ， 和 显然命题为真.

  5. 一、仿射几何与平面几何 性质1.3 仿射变换保持简比不变. 说明：若新直线的定比分点满足 和 ，则有

  6. 一、仿射几何与平面几何 性质1.4 任意两个三角形面积之比是仿射对应下的不变量. 说明：其实我们在性质1.1的说明中，已经证明了 与 的面积之比为 . 推论1.1 (1) 两个平行四边形面积之比是仿射不变量. (2) 两个封闭图形面积之比是仿射不变量.

  7. 一、仿射几何与平面几何 性质1.5在平面上给定不共线三点 及不共线三点 ,总存在一仿射变换把 、 、 、 、 分别变到 、 、 、 、 说明：若 的坐标分别为 、 的坐标为 则问题化为：在 、 ， ， 、 、 和 的条件下， 问关于 的方程 推论1.2 (1) 在平面上给定不共线三点A、B、C, 总存在一仿射变换把三角形 变到等腰直角 是否有解. (2) 在平面上给定不共线三点A、B、C, 总存在一仿射变换把三角形 变到等边 .

  8. 一、仿射几何与平面几何 B．若干应用 例1.1、将平形四边形ABCD 各边三等分(如图) , 连EF、FH、HG、GE, 求证：S△A EF= S△DFH= S△CHG= S△BGE 证明：通过仿射变换，把 变成等腰直角三角形（ ），则此时平形四边形ABCD为正方形 △AEF、△DFH、△CHG、S△BGE为全等三角形，命题得证.

  9. 一、仿射几何与平面几何 例1.2求证：三角形的三条中线共点.

  10. 一、仿射几何与平面几何 的面积为 例1.3 求证椭圆 .

  11. 一、仿射几何与平面几何 例1.4 能否在三角形ABC中找一个内接四边形PQRS，如图，使得 ？

  12. 二、算术-几何平均不等式与最值单调定理 数学奥林匹克中不等式的题目甚多，几乎每届IMO与CMO都有一道不等式. 在我国高中联赛中，不等式也是屡见不鲜.

  13. 二、算术-几何平均不等式与最值单调定理

  14. 二、算术-几何平均不等式与最值单调定理

  15. 二、算术-几何平均不等式与最值单调定理

  16. 二、算术-几何平均不等式与最值单调定理

  17. 二、算术-几何平均不等式与最值单调定理

  18. 二、算术-几何平均不等式与最值单调定理

  19. 三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理

  20. 三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理

  21. 三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理

  22. 三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理

  23. 三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理

  24. 三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理

  25. 三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理

  26. 三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理

  27. 三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理

  28. 三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理

  29. 三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理

  30. 三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理

  31. 四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明

  32. 四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明

  33. 四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明

  34. 四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明

  35. 四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明

  36. 四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明

  37. 五、对称条件与非对称结果

  38. 五、对称条件与非对称结果

  39. 五、对称条件与非对称结果

  40. 五、对称条件与非对称结果 参考文献 [1]杨拥良.荀洋滔.伸缩变换的一个重要结论及其应用.中等数学，2009年2期，P.8-11. [2]何作发.仿射几何的几点应用.湖北大学成人教育学院学报，2004年第8期，P.76-78. [3]张小明，褚玉明.解析不等式新论.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009年6月. [4]Albert W．Marshall,Ingram Olkin. Inequalities:theory of majorization and its applications[M]． New York :Academic Press,Inc,1979． [5]王伯英．控制不等式基础[M]．北京：北京师范大学出版社，1990年． [6]张小明.三角形不等式的“B-C”证法．不等式研究（杨学枝主编），拉萨：西藏人民出版社，2000年6月. [7]杨学枝.两个三元不等式及其应用.中国初等数学研究，2009年第1期，P.7-16. [8]Vasile Cirtoaje.Old and New Methods.GIL Publishing House (Zalau, Romania),2006. [9]http://www.irgoc.org/viewtopic.php?f=25&t=23&sid=5a884a2ab0d6108cb568b1faa4cd8c82 作者介绍： 张小明，浙江电大海宁学院数学副教授，校科研督导处主任，安徽大学93届硕士毕业生，全国不等式研究会常务理 事、秘书长，全国初等数学研究会常务理事，《中国初等数学研究》编委.在国内外发表学术论文五十多篇，出版学 术专著两本.

  41. 谢谢您的关注

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