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4.7 子空间

4.7 子空间. 一、子空间 二、生成子空间 三、子空间的交与和、维数公式 四、子空间的直和. 一、子空间 ( Subspace ). 1. 子空间的 定义. 定义 4.18 设 W 是向量空间 V 的一个非空子集 . 如果 W 对于 V 的加法和数乘运算也作成一个向量空间，则称 W 是 V 的一个子空间. 注 ： ① 向量空间 V 的子空间 W 本身 也是一个向量空间，它也有基和维数的概念. ② 子空间的维数不超过整个空间的维数，即 dim W ≤ dim V. 2. 子空间的判定.

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4.7 子空间

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  1. 4.7 子空间 一、子空间 二、生成子空间 三、子空间的交与和、维数公式 四、子空间的直和

  2. 一、子空间(Subspace) 1.子空间的定义 定义4.18 设W是向量空间V 的一个非空子集. 如果W对于V的加法和数乘运算也作成一个向量空间，则称W是V的一个子空间. 注：①向量空间V 的子空间W 本身也是一个向量空间，它也有基和维数的概念. ② 子空间的维数不超过整个空间的维数，即 dimW ≤ dimV.

  3. 2. 子空间的判定 3. 零子空间、平凡子空间与非平凡子空间

  4. 二、生成子空间

  5. 又例，在Fn中， 为Fn的一组基， 事实上，任一有限维向量空间都是由它的一组基生成的 类似地，还有

  6. 基本事实：

  7. 三、子空间的交与和、维数公式 1. 子空间的交 设W1, W2是向量空间V的两个子空间.那么它们的交 也是V的子空间.

  8. 为向量空间V的子空间，则集合 进一步， 也是V的子空间.

  9. 2.子空间的和 设W1，W2是向量空间V的两个子空间. V的子集 称为子空间

  10. 也是V的子空间，称为 　　　 的和. 为向量空间V的子空间，则集合 进一步， 设

  11. 注意： V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如 都是R3的子空间，但是它们的并集 并不是R3的子空间,因为它对R3的加法不封闭：如 但是

  12. 3.维数公式

  13. 其中 则 由此还可得到， 是一直线. 注： 从维数公式中可以看到，子空间的和的维数 往往比子空间的维数的和要小. 例如，在R3中，设子空间 但是

  14. 四、子空间的直和

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