Тригонометрични функции на остър ъгъл

1. Тригонометрични функции на остър ъгъл Определения Основни тригонометрични тъждества Тригонометрични функции на ъгли, които се допълват до 90° Стойности на тригонометричните функции на ъгли 30°, 60° и 45°

2. I.Определения С2 С1 С b2 а2 b1 а1 а b А c В А1 c1 В1 А2 c2 В2 Вече знаем, че всички правоъгълни триъгълници с един и същ остър ъгъл  са подобни (по І признак). Следователно, съответните им страни са пропорционални. Използвайки този факт и свойствата на пропорциите, получаваме следните равенства:

3. Отношенията в равенства (1), (2), (3) и (4) остават едни и същи, независимо от дължините на страните в триъгълниците. Тяхната стойност ще се промени, ако се промени големината на острия ъгъл  и се получат подобни правоъгълни триъгълници с други отношения на съответните страни.Определения: • В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл  отношението на срещулежащия на ъгъла катет към хипотенузата се нарича синус на ъгъл .Означава се sin . • В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл  отношението на прилежащия на ъгъла катет към хипотенузата се нарича косинус на ъгъл . Означава се cos . • В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл  отношението на срещулежащия към прилежащия на ъгъла катет се нарича тангенс на ъгъл .Означава се tg . • В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл  отношението на прилежащия към срещулежащия на ъгъла катет се нарича котангенс на ъгъл .Означава се cotg .

4. Изводи: • Отношенията, чрез които се определят числата sin, cos, tgи cotg, имат различни стойности за различните остри ъгли. Следователно, зависят от мярката на острия ъгъл. Те са числови функции, чиито аргумент е мярката на острия ъгъл. • Дефиниционна област D: x(0°; 90°). • Функцията, която на всеки ъгъл x  (0°; 90°) съпоставя: -числото sin x, се нарича синус; -числото cosx, се нарича косинус; -числото tg x, се нарича тангенс; -числото cotg x, се нарича котангенс. • Тъй като стойностите на тези функции се определят като отношения между страни в правоъгълен триъгълник, следва, че те са положителни числа. • Тъй като хипотенузата е най-дългата страна, отношенията, чрез които се определят синусът и косинусът на острия ъгъл, са числа, по-малки от 1. Следователно, за всеки остър ъгъл  са изпълнени неравенствата: sin < 1 и cos < 1. • Функциите sin x, cos x, tgxи cotg xсе наричат тригонометрични функции на остър ъгъл. Думата тригонометрия има древногръцки произход и означава измерване в триъгълника.

5. Задачи: ①Намерете стойностите на тригонометричните функции на острия ъгъл  в правоъгълен триъгълник с катети a, bи хипотенуза c,ако: a) a=3 cm; b=4 cm;c=5 cm б) a=6 cm; c=10 cm; в) a=5 cm; b=12 cm. ②Намерете неизвестните страни на правоъгълен триъгълник с остър ъгъл , катети a, bи хипотенуза c,ако: a)c=20 cm; sin = ; б) b=48 cm; cos = 0,48; в) a=2 cm; cotg = Определянето на тригонометричните функции на остър ъгъл чрез отношения на страни в правоъгълния триъгълник установява зависимости между страните и ъглите, които се наричат тригонометрични зависимости. С тяхна помощ можем да намираме не само стойностите на тригонометричните функции на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник, но и дължините на негови страни. Решения: ①a) б) ② a)

6. ІІ. Основни тригонометрични тъждества

7. Тъждества ① и ④ могат да се запишат и в следния вид: или или

8. Основните тригонометрични тъждества установяват връзки между тригонометричните функции на един и същ остър ъгъл. Те могат да се използват при опростяване на изрази, съдържащи тригонометрични функции на един и същ ъгъл; при намиране стойностите на тригонометричните функции на остър ъгъл, ако е известна само едната от тях; при доказване на тъждества между тригонометрични изрази; пресмятане на тригонометрични изрази и др. Примери: ①Опростете изразите: а)б)в) г) д) е) ж) Решение: а) б) в) е) Внимание!При опростяване на тригонометрични изрази с тях можем да извършваме същите тъждествени преобразувания, както с рационалните изрази(разкриване на скоби, формули за съкратено умножение, правила за действия, съкращаване на числителите и знаменателите и т.н.).

9. ②Докажете тъждествата: а) б) в) г) д) Доказателство: а) б) в) ③Намерете стойностите на останалите тригономет- рични функции на остър ъгъл  ако: а) б) в) г) Решение:а) в) Упътване: От основните тъждества: и като знаем, че tg = 5, съставяме и решаваме системата:

10. ІІІ. Тригонометрични функции на ъгли, които се допълват до 90° Сборът на острите ъгли в правоъгълния триъгълник е 90°, т.е. те се допълват до 90°. Ако мярката на единия остър ъгъл е , другият остър ъгъл е  = (90° - ). Ако, използвайки определенията, изразим тригонометричните функции на ъгъл , трябва да съобразим, че за него срещулежащ е катетът с дължина b, а прилежащ е катетът с дължинаa. Тогава: a b c

11. Двойките тригонометрични функции синус-косинус и тангенс-котангенс се наричат кофункции една на друга. Тогава връзката между тригонометричните функции на ъгли, допълващи се до 90° може да се формулира обобщено по следния начин: Ако два ъгъла се допълват до 90°, тригонометричните функции на единия ъгъл са равни на съответните им кофункции, но за другия ъгъл. Примери:

12. ІV. Тригонометрични функции на ъгли 30°, 60° и 45° B • В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 30° дължината на срещулежащия катет е два пъти по-малка от дължината на хипотенузата, т.е. c = 2a.От теорема на Питагор: b2= c2 - a2= 4a2 - a2 =3a2 b=√3a2 =a√3 Тогава: c=2a a A b=a√3 C

13. B • Ако един от острите ъгли в правоъгълния триъгълник е 45°, то и другият остър ъгъл е 45°, т.е. триъгълникът е равнобедрен. Следователно: От теорема на Питагор: Прилагайки определенията за тригонометрични функции на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник, получаваме: c=a√2 a C A a

14. Стойности на тригонометричните функции на забележителни остри ъгли – запомнете ги!

15. Задачи: ① Опростете изразите: а) б) в) г) Решение: а) б) ②Пресметнете: а)4.sin 30° - √2.cos 45°; б)6.tg 45° + √3.cotg 30°; в)2.cos 60°+ 2√3.cos 30°; г)sin2 57° + cos257°+5.tg12°.cotg12°; д)3sin274° + 3.cos274° - g10°.tg80°; е)sin225° + sin265° - 8.cos30°.tg60°. Решение: а) г) е) начало