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第 1 节 向量与向量的加减法

第 1 节 向量与向量的加减法. 第五章 平面与空间向量. 2. 向量的加法与减法 (1) 求两个向量和的运算，叫向量的加法，向量加法按平行四边形法则或三角形法则进行 . 加法满足交换律和结合律 . (2) 求两个向量差的运算，叫向量的减法 . 作法是连结两向量的终点，方向指向被减向量. 要点 · 疑点 · 考点. 1. 向量的有关概念 (1) 既有大小又有方向的量叫向量，长度为 0 的向量叫零向量，长度为 1 个单位长的向量，叫单位向量 . (2) 方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量 . 规定零向量与任一向量平行 .

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第 1 节 向量与向量的加减法

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  1. 第1节 向量与向量的加减法 第五章 平面与空间向量

  2. 2.向量的加法与减法 (1)求两个向量和的运算，叫向量的加法，向量加法按平行四边形法则或三角形法则进行.加法满足交换律和结合律. (2)求两个向量差的运算，叫向量的减法.作法是连结两向量的终点，方向指向被减向量. 要点·疑点·考点 1.向量的有关概念 (1)既有大小又有方向的量叫向量，长度为0的向量叫零向量，长度为1个单位长的向量，叫单位向量. (2)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量.规定零向量与任一向量平行. (3)长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

  3. 课 前 热 身 1.已知a,b方向相同，且|a|=3，|b|=7，则|2a-b|=_____. 2.如果AB=a,CD=b，则a=b是四点A、B、D、C构成平行四边形的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 3.a与b为非零向量，|a+b|=|a-b|成立的充要条件是( ) (A)a=b (B)a∥b (C)a⊥b (D)|a|=|b| 1 B C

  4. 4.下列算式中不正确的是( ) (A) AB+BC+CA=0 (B) AB-AC=BC (C) 0·AB=0(D)λ(μa)=(λμ)a 5.已知正方形ABCD边长为1，AB=a,BC=b,AC=c,则a+b+c的模等于( ) (A)0 (B)3 (C)22 (D)2 B C

  5. 1.给出下列命题：①若|a|=|b|，则a=b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB= DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a=b,b=c，则a=c；④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b；⑤若a∥b,b∥c，则a∥c. 其中，正确命题的序号是______ 能力·思维·方法 ②，③ 【解题回顾】本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多，因而容易遗忘.为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想.引导学生在理解的基础上加以记忆.

  6. 2.在平行四边形ABCD中，设对角线AC=a,BD=b，试用a,b表示AB，BC.2.在平行四边形ABCD中，设对角线AC=a,BD=b，试用a,b表示AB，BC. 【解题回顾】解法1系应用向量加、减法的定义直接求解；解法2则运用了求解含有未知向量x,y的方程组的方法

  7. 3.如果M是线段AB的中点，求证：对于任意一点O，有3.如果M是线段AB的中点，求证：对于任意一点O，有 OM= (OA+OB)

  8. 【解题回顾】选用本例的意图有二，其一，复习向量加法的平行四边形法则，向量减法的三角形法则；其二，向量内容中蕴涵了丰富的数学思想，如模型思想、形数结合思想、分类讨论思想、对应思想、化归思想等，复习中要注意梳理和领悟.本例深刻蕴涵了形数结合思想与分类讨论思想.

  9. 5.在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°,AB=(1，3)，分别求向量BC、AC5.在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°,AB=(1，3)，分别求向量BC、AC 4.对任意非零向量a,b，求证：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 【解题回顾】(1)以上证明实际上给出了所证不等式的几何解释； (2)注意本题证明中所涉猎的分类讨论思想、化归思想. 延伸·拓展 【解题回顾】充分利用等腰直角三角形这两个条件，转化为|AB|=|BC|，AB⊥BC

  10. 误解分析 1.在向量的有关习题中，零向量常被忽略(如能力·思维·方法1.⑤中)，从而导致错误 2.需要分类讨论的问题一定要层次清楚，不重复，不遗漏.

  11. 第2节 实数与向量的积

  12. 要点·疑点·考点 1.实数与向量的积的概念 . (1)实数λ与向量a的积记作λa，其长度|λa|=|λ||a|；方向规定如下：当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0. (2)设λ、μ为实数，则有如下运算律：λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb 2共线定理.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa 3.平面向量基本定理 如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2 , 其中e1，e2叫基底.

  13. 1.设命题p：向量b与a共线，命题q:有且只有一个实数λ，使得b=λa,则p是q的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 2.给出下列命题：①若a,b共线且|a|=|b|，则(a-b)∥(a+b)；②已知a=2e,b=3e，则a=3b/2；③若a=e1-e2,b=-3e1+3e2，且e1≠e2，则|a|=3|b|；④在△ABC中，AD是BC上的中线，则AB+AC=2AD 其中，正确命题的序号是___________ 3.(1)在平行四边形ABCD中，AB=a,AD=b,那么用a和b表示向量AC+DB为( ) (2)已知平行四边形ABCD的对角线交于点E，设AB=e1，AD=e2，则用e1, e2表示ED的表达式为( ) (A)2a (B)2b (C)0(D)a+b 课 前 热 身 B ①，④ A B

  14. 4.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足OC=αOA+βOB，其中a、β∈R，且α+β=1,则点C的轨迹方程为( ) (A)3x+2y-11=0 (B)(x-1)2+(y-2)2=5 (C)2x-y=0 (D)x+2y-5=0 5.设P、Q是四边形ABCD对角线AC、BD中点，BC=a,DA=b，则 PQ=_____________ D

  15. 能力·思维·方法 1.已知AB=2e1+ke2,BC=e1+e2,CD=e1-2e2,其中e1,e2不共线， (1)若A、B、C三点共线，求k值； (2)若A、B、D三点共线，求k值. 【解题回顾】可利用向量共线的充要条件证明几何中的三点共线问题.

  16. 2.设△ABC的重心为G，点O是△ABC所在平面内一点，求证：2.设△ABC的重心为G，点O是△ABC所在平面内一点，求证： OG= (OA+OB+OC) 3.已知OA、OB不共线，设OP=aOA+bOB，求证：A、P、B三点共线的充要条件是a+b=1. 【解题回顾】由本题证明过程可知，若P是AB中点，则有 OP= (OA+OB).利用本题结论，可解决一些几何问题. 【解题回顾】当点O是△ABC重心时，有OA+OB+OC=0；反过来，若P是△ABC所在平面内一点，且PA+PB+PC=0，则P必为△ABC的重心.事实上，由PA+PB+PC=0得：(OA-OP)+(OB -OP)+(OC-OP)=0，所以OP= (OA+OB+OC)，故P是△ABC的重心

  17. 【解题回顾】利用例3结论，本题还可这样： 设AE=e1，AD=e2，∵D、F、E共线，∴可设AF=λe1+(1-λ)e2，又易知AC=3e1+e2根据A、F、C三点共线可得λ=3/4，故AF/FC=1/3.另外还可以用坐标运算的方法来解，略. 4.E是□ABCD的边AB上一点，AE/EB=1/2，DE与对角线AC交于F，求AF/FC.(用向量知识解答)

  18. 5.如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC=3AD，设BA=a,BC=b，以a,b为基底表示EF，DF，CD.5.如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC=3AD，设BA=a,BC=b，以a,b为基底表示EF，DF，CD. 【解题回顾】本题实际上是平面向量的基本定理的应用.由于BA与BC是不共线的两个向量，因此平面上的任何一个向量都可以用它们表示出来. 延伸·拓展

  19. 2.在能力·思维·方法3中，充要条件的证明极易混乱，一定要分清条件和结论.另外，向量上的箭头不要丢掉，如把0写成了0.2.在能力·思维·方法3中，充要条件的证明极易混乱，一定要分清条件和结论.另外，向量上的箭头不要丢掉，如把0写成了0. 误解分析 1.很多人认为“若a∥b，则存在唯一实数λ使b＝λa.”这是典型错误.事实上，它成立的前提是a≠0.同样，在向量基本定理中，若e1，e2是共线向量，则不能用e1，e2表示与它们不共线的向量.

  20. 第3节 平面向量的坐标表示

  21. 要点·疑点·考点 1.平面向量的坐标表示 (1)a＝(x，y)叫向量的坐标表示，其中x叫a在x轴上的坐标，y叫a在y轴上的坐标. (2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R. 则a+b＝(x1+x2，y1+y2)， a-b＝(x1-x2，y1-y2)， λa＝(λx1，λy1) (3)a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2-x2y1＝0

  22. 3.平移 设原坐标P(x，y)按向量a(h，k)平移后得到新坐标 则 2.线段的定比分点 (1)定义：设P1、P2是直线l上的两点，点P是l上不同于P1、P2的任一点，则存在一个实数λ，使P1P＝λPP2，λ叫点P分有向线段P1P2所成的比，点P叫定比分点. (2)公式：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P＝λPP2，则 当λ＝1时， 为中点坐标公式.

  23. 1.设A(x1，y1)、B(x2，y2)是不同的两点，点P(x，y)的坐1.设A(x1，y1)、B(x2，y2)是不同的两点，点P(x，y)的坐 标由公式 确定.当λ∈R且λ≠-1 时有( ) (A)P表示直线AB上的所有点 (B)P表示直线AB上除去A的所有点 (C)P表示直线AB上除去B的所有点 (D)P表示直线AB上除去A、B的所有点 课 前 热 身 C 2.若对n个向量a1、a2、…、an，存在n个不全为零的实数k1、k2、…、kn，使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立，则称向量a1、a2、…、an为“线性相关”，依此规定，能使a1=(1,0)，a2=(1,-1)，a3=(2,2)“线性相关”的实数k1、k2、k3依次可取的值是 ___________(写出一组数值即可，不必考虑所有情况) -4，2，1

  24. 4.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，则c等于( ) 3.三点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)共线的充要条件是( ) (A)x1y2-x2y1＝0 (B)(x2-x1)(x3-x1)＝(y2-y1)(y3-y1) (C)(x2-x1)(y3-y1)＝(x3-x1)(y2-y1) (D)x1y3-x3y1＝0 C B 5.函数y=x2的图象按向量a=(2,1)平移后得到的图象的函数表达式为( ) (A)y=(x-2)2-1 (B)y=(x+2)2-1 (C)y=(x-2)2+1 (D)y=(x+2)2+1 C

  25. 能力·思维·方法 1.设x、y为实数，分别按下列条件，用xa+yb的形式表示c. (1)若给定a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(-3，-5)； (2)若给定a＝(5，2)，b＝(-4，3)，c＝(-3，-5). 【解题回顾】任何两个不共线的向量都可作为基底，i＝(1，0)，j＝(0，1)分别是直角坐标系横、纵两个方向的单位向量，用i、j表示向量时，xi+yj中的x、y是惟一的，即为向量的(直角)坐标.两个向量用坐标表示时，当且仅当两个向量横、纵坐标分别相等时，两个向量相等.

  26. 2.已知在梯形ABCD中，AB∥CD，A(1，1)，B(3，-2)，C(-3，-7)，若AD∥(BC-2AB)，求D点坐标. 【解题回顾】设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若b≠0，则a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.用坐标形式来表示就是a∥b<=>x1y2-x2y1＝0.而x1/x2＝y1/y2是a∥b的充分不必要条件. 3.已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB上取一点P，过P作直线与BC平行交AC于Q，△APQ与梯形PQCB的面积之比是4∶5，求点P的坐标.

  27. 4.若函数y＝log2(2x-4)+1的图象按a平移后图象的解析式为y＝log22x，求a. 【解题回顾】一般地，函数y＝f(ωx)的图象按a＝(h，k)平移后所得图象的解析式为y-k＝f[ω(x-h)]，即y＝f[ω(x-h)]+k.

  28. 5.已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OP＝OA+tAB，试问： (1)t为何值时，P在x轴上?在y轴上?P在第二象限? (2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由. 延伸·拓展 【解题回顾】本题(2)是一道开放题，求解开放题的一般途径是假定命题成立.解出存在的值(如无解，则不存在)，再验证求出的解，如不矛盾，则存在.

  29. 误解分析 1.利用定比分点解题时，一定要先把定比λ先明确，λ的意义是起点到分点的数量除以分点到终点的数量，不能算错. 2.利用平移公式解题时，一定要分清原坐标与新坐标之间关系.

  30. 第4节 平面向量的数量积

  31. 1.平面向量的数量积的定义 (1)设两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫a与b的夹角，其范围是[0，π]，|b|cosθ叫b在a上的投影. (2)|a||b|cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ. (3)几何意义是：a·b等于|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的积. 要点·疑点·考点 2.平面向量的数量积的运算律 (1)a·b＝b·a (2)(λa)·b＝λ·(a·b)＝a·(λ·b) (3)(a+b)·c＝a·c+b·c

  32. 3.平面向量的数量积的性质 设a、b是非零向量，e是单位向量，θ是a与e的夹角，则 (1)e·a＝a·e＝|a|cosθ (2)a⊥b  a·b＝0 (3)a·b＝±|a|·|b|(a与b同向取正，反向取负) (4)a·a＝|a|2 或 |a|＝√a·a (5) (6)|a·b|≤|a||b|

  33. 4.平面向量的数量积的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2+y1y2， |a|2＝x21+y21，|a|＝√x21+y21，a⊥b <=>x1x2+y1y2＝0 (2) (3)设a起点(x1，y1)，终点(x2，y2)则

  34. 1.若向量a、b的坐标满足a+b=(-2,-1),a-b=(4,-3)，则a·b等于( ) (A)-5 (B)5 (C)7 (D)-1 2.若a、b、c是非零的平面向量，其中任意两个向量都不共线，则( ) (A)(a)2·(b)2=(a·b)2 (B)|a+b|＞|a-b| (C)(a·b)·c-(b·c)·a与b垂直 (D)(a·b)·c-(b·c)·a=0 3.设有非零向量a, b, c，则以下四个结论 (1)a·(b+c)=a·b+a·c； (2)a·(b·c)=(a·b)·c; (3)a=ba·c=b·c；(4)a·b=a·b.其中正确的是( ) (A)(1)、(3) (B)(2)、(3) (C)(1)、(4) (D)(2)、(4) 课 前 热 身 A C A

  35. 4.设a=(1,0),b=(1,1)，且(a+λb)⊥b，则实数λ的值是( ) (A)2 (B)0 (C)1 (D)-1/2 5.已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·(b/5) ＝-36，则a与b的夹角是( ) (A)60° (B)120° (C)135° (D)150° D B

  36. 能力·思维·方法 1.已知a=(1,2),b=(-2,n)，a与b的夹角是45° (1)求b； (2)若c与b同向，且c-a与a垂直，求c 【解题回顾】利用夹角公式待定n，利用垂直充要条件求c.

  37. 2.已知x＝a+b，y＝2a+b且|a|＝|b|＝1，a⊥b. (1)求|x|及|y|；(2)求x、y的夹角. 【解题回顾】(1)向量模的计算方法常用的有两种，一是用距离公式，一是用a2＝|a|2把模的问题转化为平面向量的数量积的问题. (2)向量夹角的取值范围是[0，π].

  38. 3.如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PECF是矩形，用向量法证明：3.如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PECF是矩形，用向量法证明： (1)PA＝EF；(2)PA⊥EF. 【解题回顾】本题中，通过建 立恰当的坐标系，赋予几何图 形有关点与向量具体的坐标，将有关几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.应深刻领悟到其中的形数结合思想.此外，题中坐标系建立的恰当与否很重要，它关系到运算的繁 与简.

  39. 4.已知a=(x,0),b=(1,y),且(a+ b)⊥(a- b). (1)求点P(x,y)的轨迹方程C的方程. (2)若直线l:y=kx+m(m≠0)与曲线C交于A、B两点，D(0，1)，且有｜AD｜=｜BD｜,试求实数m 的取值范围. 【解题回顾】这是一道关于向量与解析几何的综合题，解题的关键在于将问题合理地转化 ，回避了复杂的计算.

  40. 延伸·拓展 5.已知向量a=(x,x-4)，向量b=(x2,3x/2),x∈[-4，2] (1)试用x表示a·b (2)求a·b的最大值，并求此时a、b夹角的大小. 【解题回顾】本题将向量与三次函数的最值问题溶于一体，考查知识的综合应用.

  41. 6.在△ABC中，(1)若CA＝a，CB＝b，求证△ABC 的面积 (2)若CA＝(a1，a2 )，CB＝(b1，b2 )，求证：△ABC 的面积 【解题回顾】(1)是用数量积给出的三角形面积公式，(2)则是用向量坐标给出的三角形面积公式.

  42. 误解分析 1．数量积作为向量的一种特殊运算，其运算律中结合律及消去律不成立，即a·(b·c)≠(a·b)·c，a·b＝a·c不能推出b＝c，除非是零向量. 2．a⊥b的充要条件不能与a∥b的充要条件混淆，夹角的范围是[0，π]，不能记错.求模时不要忘了开方，以上是造成不全对的主要原因.

  43. 第5节 空间向量及其运算

  44. 3.若a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2}，则 a·b=x1x2+y1y2+z1z2 要点·疑点·考点 1.若a、b是空间两个非零向量，它们的夹角为θ(0≤θ≤ π)，则把a、b的数量积定义为|a||b|cosθ，记作a·b.即a·b=|a||b|cosθ. 2.a·b=b·a，(a+b)·c=a·c+b·c

  45. 1.在以下四个式子：a+b·c，a·(b·c)，a(b·c)，|a·b|=|a|·|b|1.在以下四个式子：a+b·c，a·(b·c)，a(b·c)，|a·b|=|a|·|b| 中正确的有( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)0个 2.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9)，如果a与b为共线向量，则( ) (A)x=1 , y=1 (B) (C) (D) 3.已知四边形ABCD中，AB=a-2c，CD=5a+6b-8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF=_______________ 课 前 热 身 A C 3a+3b-5c

  46. 4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下面给出四个命题： ①(A1A+A1D1+A1B1)2=3(A1B1)2②A1C·(A1B1-A1A)=0.③AD1与A1B的夹角为60°④此正方体体积为：|AB·AB1·AD| 则错误命题的序号是______(填出所有错误命题的序号).  5.若A、B、C三点在同一条直线上，对空间任意一点O，存在m、n∈R，满足OC=m·OA+n·OB，则m+n=___. ③、④ 1

  47. 1.已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b，OC=c，试用a , b , c 来表示OG. 【解题回顾】(1)此例用到的常用结 论为：若AD是△ABC的中线，则有 (2)此例是常用结论即重心定理：当 OA、OB、OC两两垂直时，在空间直角坐标系中，重心坐标公式为： 能力·思维·方法

  48. 【解题回顾】要证PG⊥BC，只 要证PG·BC=0，应选择适当的基 底：PA，PB，PC. 2.已知正三棱锥P—ABC中，M，N分别是PA，BC的中点，G是MN的中点.求证：PG⊥BC.

  49. 3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC交BD于O，G为CC1中点. 求证：A1O⊥平面GBD. 【解题回顾】欲证A1O⊥平面GBD，只要证A1O垂直于面BDG中两条相交直线，易看出A1O⊥BD，而OG与A1O垂直较为易证.(注：此题亦可用空间坐标来证明).

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