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主要内容

第四节 矩阵相似的条件. 主要内容. 引理. 矩阵相似的条件. 一、引理. 在求一个数字矩阵 A 的特征值和特征向量时曾. 出现过  - 矩阵  E - A ，我们称它为 A 的特征矩阵. 这一节的主要结果是证明两个 n  n 数字矩阵 A 和. B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵  E - A. 和  E - B 等价. 为了证明这一结论，先来证明下面. 两个引理. 引理 1 如果有 n  n 数字矩阵 P 0 , Q 0 使.

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Presentation Transcript

  1. 第四节 矩阵相似的条件 主要内容 引理 矩阵相似的条件

  2. 一、引理 在求一个数字矩阵 A的特征值和特征向量时曾 出现过 - 矩阵 E - A，我们称它为 A的特征矩阵. 这一节的主要结果是证明两个 n n数字矩阵 A和 B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵 E - A 和 E - B等价. 为了证明这一结论，先来证明下面 两个引理.

  3. 引理 1如果有 n n数字矩阵 P0 , Q0使 E - A = P0( E - B ) Q0 ， (1) 则 A与 B相似. 证明 因 P0( E - B ) Q0 = P0Q0 - P0BQ0， 它又与 E - A 相等，进行比较后应有 P0Q0 = E， P0BQ0 = A . 由此 Q0 = P0-1，而 A = P0BP0-1 . 故 A与 B相似.

  4. 引理 2对于任何不为零的 n n数字矩阵 A 和 - 矩阵 U() 与 V() ，一定存在 - 矩阵 Q() 与 R() 以及数字矩阵 U0和 V0使 U() = (E - A )Q() + U0， (2) V() = R() (E - A )+ V0， (3) 证明 把 U()改写成 U() = D0m + D1m -1 + … + Dm -1 + Dm. 这里 D0 , D1 , … , Dm 都是 n n数字矩阵，而且

  5. 如 m = 0，则令 Q() = 0 及 U0 = D0，它 D0  0 . 们显然满足引理 2 要求. 设 m > 0，令 Q() = Q0m -1 + Q1m -2 + … + Qm -2 + Qm -1 . 于是 这里 Qj都是待定的数字矩阵. ( E - A ) Q() = Q0m + (Q1 - AQ0)m -1 + ... + (Qk - AQk-1)m -k + ... + (Qm -1 - AQm -2) - AQm - 1 .

  6. 要想使等式 U() = ( E - A ) Q() + U0 成立，只需取 Q0 = D0， Q1 = D1 + AQ0， Q2 = D2 + AQ1， ………… Qk= Dk + AQk-1， ………… Qm-1= Dm-1 + AQm-2， U0 = Dm + AQm-1 . 用完全相同的办法可以求得 R() 和 V0 . 就行了. 证毕

  7. 二、矩阵相似的条件 定理 7设 A, B 是数域 P上两个 n n矩阵. A与 B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵 E - A 和 E - B 等价. 证明 由 可知 E - A 与 E - B 等价就是有可逆的 - 矩阵 U() 和 V()使 E - A = U() ( E - B ) V(). (4)

  8. 先证必要性 设 A与 B相似，即有可逆矩阵 T 使 A = T-1BT . 于是 E - A = E- T-1BT = T-1 (E - B ) T ， 从而 E - A 与 E - B 等价. 再证充分性 设 E - A 与 E - B 等价，即有 可逆的 - 矩阵 U() 和 V()使 E - A = U() ( E - B ) V() (4) 存在 - 矩阵 Q() 和 R() 由 成立.

  9. 以及数字矩阵 U0和 V0使 U() = ( E - A ) Q() + U0， (5) V() = R() ( E - A ) + V0， (6) 把 成立. E - A = U() ( E - B ) V() 改写成 U-1()(E - A)= ( E - B ) V() ， 式中的 V() 用 (6) 代入，再移项，得

  10. [U-1() - (E - B) R()] (E - A) = (E - B) V0 . 右端次数等于 1 或 V0 = O，因此 U-1() - (E - B) R() 是一个数字矩阵(后一种情况下应是零矩阵)，记作 T，即 T = U-1() - (E - B) R()， T (E - A) = (E - B) V0 . (7) 现在我们来证明 T是可逆的.

  11. 由 T = U-1() - (E - B) R()， 得 E = U()T + U() (E - B) R() = U()T + (E - A) V-1()R() (由 ) =[(E - A) Q() + U0]T (由 ) + (E - A) V-1()R() = U0T + (E - A) [Q() T + V-1()R()] . 等式右端的第二项必须为零，否则它的次数至少

  12. 是 1，由于 E和 U0T都是数字矩阵，等式不可能成 因此 立. E = U0T . 由 的第二式得 这就是说，T是可逆的. E - A = T-1(E - B )V0 . 再由 知，A与 B相似. 证毕

  13. 矩阵 A的特征矩阵 E - A 的不变因子以后就 因为两个 - 矩阵等价的充 简称为 A的不变因子. 分必要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理 7 即得 推论矩阵 A与 B相似的充分必要条件是它 们有相同的不变因子. 应该指出 n n矩阵的特征矩阵的秩一定是 n. 因此，n n矩阵的不变因子总是有 n 个，并且它 们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式.

  14. 以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量,以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量, 因此我们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因 子(它们与该矩阵的选取无关)定义为此线性变换的 不变因子.

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