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第一章 矢量与坐标

第一章 矢量与坐标. 1.1 矢量及其线性运算 1.2 矢量的线性关系 1.3 标架与坐标投影 1.4 数性积、矢性积、混合积. 1.1 矢量及其线性运算. | |. 或. 向量的大小. 向量的模：. 或. §1.1 矢量及其线性运算. 定义 1.1.1 既有大小又有方向的量叫做 向量 ，或称 矢量. 两类量 : 数量 ( 标量 ): 可用一个数值来描述的量 ;. 向量 ( 矢量 ) 既有大小又有方向的量. 有向线段. 向量的几何表示：. 有向线段的长度表示 向量 的大小 ,.

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第一章 矢量与坐标

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  1. 第一章 矢量与坐标 • 1.1 矢量及其线性运算 • 1.2 矢量的线性关系 • 1.3 标架与坐标投影 • 1.4 数性积、矢性积、混合积

  2. 1.1 矢量及其线性运算

  3. | | 或 向量的大小. 向量的模： 或 §1.1 矢量及其线性运算 定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量. 两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量; 向量(矢量)既有大小又有方向的量. 有向线段 向量的几何表示： 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.

  4. 或 定义1.1.2如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量.记为 单位向量： 模为1的向量. 零向量： 模为0的向量. ＝ 所有的零向量都相等. 定义1.1.3两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量.

  5. 定义1.1.4平行于同一直线的一组向量叫做共线向量.定义1.1.4平行于同一直线的一组向量叫做共线向量. 零向量与任何共线的向量组共线. 定义1.1.5 平行于同一平面的一组向量叫做共面向量. 零向量与任何共面的向量组共面.

  6. 定理1.1.1如果把两个向量 为邻边组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量 B O A 这种求两个向量和的方法叫三角形法则.

  7. B C O A 这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则 定理1.1.2向量的加法满足下面的运算规律： （1）交换律： （2）结合律： （3）

  8. A4 A1 A3 A2 An-1 O An 这种求和的方法叫做多边形法则

  9. 向量减法

  10. C A B

  11. 定理1.1.3 数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： （2）第一分配律： （3）第二分配律： 两个向量的平行关系

  12. ‖ 证 充分性显然； 必要性 两式相减，得

  13. 按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.

  14. A C M B (图1.11) 例2 设AM是三角形ABC的中线，求证: 证 如图 因为 所以 但 因而 即

  15. 例3用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.例3用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半. 证 设ΔABC两边AB，AC之中点分别为M，N，那么 所以 且

  16. 1.2 向量的线性关系

  17. §1.2 向量的线性关系

  18. 定理 如果向量 不共线，那么向量 与 1 . 2 . 2 e , e r 1 2 共面的充要条件是 可以用向量 线性表示， e , e r e , e 1 2 1 2 或者说向量 可以分解成 的线性组合，即 r e , e 1 2 = + （ － ） r x e y e 1 . 2 2 1 2 并且系数 被 唯一确定 x , y e , e , r . 1 2 这时 叫做平面上向量的基底 e , e . 1 2

  19. 这时 叫做空间向量的基底 e , e , e . 1 2 3 定理 如果向量 不共面，那么空间 1 . 2 . 3 e , e , e 1 2 3 任意向量 可以由向量 线性表示，或说空间 r e , e , e 1 2 3 任意向量 可以分解成向量 的线性组合，即 r e , e , e 1 2 3 = + + - r x e y e z e , ( 1 . 2 3 ) 1 2 3 并且其中系数 被 唯一确定 x , y , z e , e , e , r . 1 2 3

  20. 证 设四面体 一组 ABCD 对边 的中点 的连 AB , CD E , F 线为 它的中点为 其余 EF , P , 1 两组对边中点分别为 P , P , 2 3 下只需证 三点重合 P , P , P 1 2 3 就可以了 取不共面的三向量 . = = = AB e , AC e , AD e , 1 2 3 先求 用 ， ， 线性表示的 AP e e e 1 1 2 3 关系式 . 例2证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分. D e3 F P1 C e2 A E e1 B

  21. 连接AF，因为AP1是△AEF 的中线，所以有 又因为AF是△ACD 的中线，所以又有

  22. ³ 定义 对于 个向量 ，如果存 1 . 2 . 2 n ( n 1 ) a , a , , a L 1 2 n l l l 在不全为零的 个数 使得 n , , , L 1 2 n l + l + + l - ＝ （ a a a 0 , 1 . 2 4 ) L 1 1 2 2 n n 那么 个向量 叫做线性相关，不是线 性相 n a , a , , a L 1 2 n 关的向量叫做线性无关 . = 推论 一个向量 线性相关的充要条件为 a a 0 . ³ 定理 在 时，向量 线性相关的 1 . 2 . 4 n 2 a , a , , a L 1 2 n 充要条件是其中有一个 向量是其余向量的线性 组合 . 定理 如果一组向量中的一部 分向量线性相关 1 . 2 . 5 那么这一组向量就线性 相关 .

  23. 推论 一组向量如果含有零向 量，那么这组向量必 线性相关 . 定理1.2.6两向量共线的充要条件是它们线性相关 定理1.2.7三个向量共面的充要条件是它们线性相关. 定理1.2.8空间任何四个向量总是线性相关

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