1 / 20

İŞLEM ve MODÜLER ARİTMETİK

İŞLEM ve MODÜLER ARİTMETİK. İŞLEM ve MODÜLER ARİTMETİK. İŞLEM :. 5 + 3 = 8 olduğunu biliyoruz. Eşitliğin solunda iki sayı olduğu halde,eşitliğin sağında bir sayı vardır. Eşitliğin solundaki iki sayıyı (5,3) ikilisi biçiminde yazalım.

meir
Download Presentation

İŞLEM ve MODÜLER ARİTMETİK

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. İŞLEM ve MODÜLER ARİTMETİK

  2. İŞLEM ve MODÜLER ARİTMETİK İŞLEM : 5 + 3 = 8 olduğunu biliyoruz. Eşitliğin solunda iki sayı olduğu halde,eşitliğin sağında bir sayı vardır. Eşitliğin solundaki iki sayıyı (5,3) ikilisi biçiminde yazalım. Şimdi bu ikiliyi 8’e eşleyen bir f fonksiyonu düşünebilirsiniz. f(5,3) = 5+3 olur. Reel sayılar kümesinde yaptığımız, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri reel sayılar kümesinin kartezyen çarpımının bir alt kümesinden reel sayılar kümesine birer fonksiyondur. Tanım : Boş olmayan A,B,C kümeleri verilmiş olsun AxB nin bir alt kümesinden C ye tanımlı her fonksiyona işlem denir. AxA nın bir alt kümesinden A’ya tanımlı her fonksiyona A kümesinde bir işlem denir. İşlemi göstermek için *, +, -, ,,, ... gibi işaretler kullanılır.

  3. Örnek : A={ -1,0, 1} AxA={ (-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,1) } f:AxA A fonksiyonu; f(x,y)= x.y olsun. Bu fonksiyon A kümesinde tanımlı bir işlemdir. Bu işlemi  ile gösterirsek, x y =x.y dir. Tablodan -1-1 = 1, 0 1= 0, 0 0=0 olduğunu bulunuz.

  4. Örnek : Reel sayılar kümesinde , x #y =2x-2y+xy olmak üzere, # işlemi tanımlanıyor. a. (2 #3) #4 işleminin sonucu nedir? b. (2 #x) #2=16 eşitliğini sağlayan x değeri nedir? Çözüm : a. 2#3= 4-3.3 +2.3 =1 olduğundan; ( 2 #3 ) #4= 1 #4= 2-12+4= -6 b. 2 #x=4-3x+2x=4-x olduğundan; (2 #x) #2= (4-x) #2 =2(4-x)-6+( 4-x) #2 =8-2x-6+8-2x =-4x+10 -4x+10=16 -4x=6 x=-6/4 bulunur.

  5. İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ : • A boş olmayan bir küme ve , A’ da tanımlı bir işlem olsun; • x, y  A için x y A ise A kümesi  işlemine göre kapalıdır. • x,y  A için x  y= y  x ise işlemin değişme özelliği vardır. • x,y,z  A için (x  y)  z=x (y  z) ise işlemin birleşme özelliği vardır. • x  A için x  e= e  x=x olacak şekilde bir e  A varsa e’ ye etkisiz eleman denir. • A kümesinin  işlemine göre etkisiz elemanı e olsun. x  A için x  x-1= x-1 x=e olacak şekilde bir x-1A varsa x-1 ‘e x’in  işlemine göre tersi denir. • * A da tanımlı bir işlem olsun. x,y,z  A için, x (y*z)= (x y)*(z x) eşitlikleri sağlanıyorsa  işlemini * işlemi üzerine dağılma özelliği vardır denir.

  6. Örnek : Z ‘ de  işlemi x,y,z  A için ; x y=(x+y) / 2 şeklinde tanımlanıyor.  işlemine göre Z kümesi kapalımıdır. Çözüm : x,y,z  A için, x x,y,z  A için y Z dir. Çünkü toplamı çift olan sayıların ikiye bölümü tam sayıya karşılık gelirken, toplamı tek olan sayıların ikiye bölümü tam sayı değildir. Mesela; 2,7 z için 2 7= (2+7) /2= 9 / 2 Z dir.

  7. Örnek :  a b c d e a d e a b c b e a b c d c a b c d e d b c d e a e c d e a b KÖŞEGEN • A= { a,b,c,d,e} kümesinde  işlemi yukarıdaki tablo ile tanımlanıyor. • A kümesi  işlemine göre kapalı mıdır? •  işlemi değişme özelliğine sahip midir? •  işlemine göre etkisiz eleman nedir? • b’ nin tersi nedir?

  8. Çözüm : •  işlemine göre A kümesinin herhangi iki elemanının sonucu yine A kümesinin bir elemanı olduğu için A kümesi kapalıdır. •  x,y A için x y=y x olduğundan  işlemi değişmelidir. •  x A için x c=c x=x olduğu için c etkisiz elemandır. Gerçekten a c=a, b c=b, c c=c, d c=d, e c=e dir. • b’nin tersi olsun. b x=c olmalıdır. x=d olduğu tabloda görülür.

  9. Örnek: • x,yR için x y=x+y+2xy işlemi tanımlanıyor. •  işlemi değişmeli midir? •  işlemine göre etkisiz eleman nedir? •  işlemine göre aR olmak şartıyla a’nın tersi nedir? • Çözüm: • x y= x + y+ 2xy = y + x + 2yx = y x • O halde  değişmelidir. • Etkisiz eleman e olsun. x e = x olmalıdır. x+e+2xe = x e+2xe =0 e(1+2x) =0 1+2x0 ise e=0 dır. Bu durumda etkisiz eleman 0’dır.

  10. a’nın tersi a-1 olsun. a a-1=0 olmalıdır. a+a-1 + 2a.a-1=0 a-1(1+2a)=-a a-1 =-a/(1+2a) bulunur. • Örnek : • işlemi R+ da tanımlı bir işlem olmak üzere, 1/m  n2 = m.n ise 4 9 neye eşittir? Çözüm : 4 9= 1/ (1/4)  32 =1/4. 3 = 3/4‘ tür.

  11. Örnek : R2 de tanımlanan (a,b) (c,d) =( a+c,b+d) işleminin etkisiz elemanı nedir? Çözüm : Etkisiz eleman (x. Y) olsun. İşlem değişme özelliğine sahip olduğu için; (a,b) (x,y)=(a,b) olmalıdır. (a+x,b+y)= (a,b) ise a+x=a ve b+x= b x=0 , y=0 bulunur. Demek ki etkisiz eleman (0,0) ‘dır.

  12. MODÜLER ARİTMETİK : Z ‘ de  ={ x,y} : m(x-y)}, m1 ve m Z+ bağıntısı denklik bağıntısıdır. O halde (x ,y)  için x y (mod m) Örnek : Z de ={ x,y : 5 (x-y)} denklik bağıntısını inceleyelim. Çözüm : , farklı 5’e bölünen tamsayı ikililerinden oluşmaktadır. Yani (1,6), (74, 69) ...  denklik bağıntısı olduğu için x(x,y)   için xy (mod 5) Mesela; (1,6)  olduğu için 16 (mod 5) (74, 69)   olduğu için 74 69 (mod 5).....

  13. Z’ de m=5 modülüne göre  ‘nın denklik sınıflarını ( kalan sınıfları) oluşturalım. 0={....., -10 , -5, 0, 5,10,.....} 1={....., -9 , -4, 1, 6, 11,.....} 2={....., -8 , -3 , 2, 7,12.....} 3={....., -7, -2 , 3, 8, 13,......} 4={....., -6 , -1, 4, 9, 14,......} 5 modülüne göre kalan sınıflarıdır. Z/m={ 0,1 ,2, 3........... (m-1)} dir. • ÖZELLİKLER : xy ( mod m) ve u= v olsun. • x ve y nin ( u ve y in ) m’ ye bölümünden kalan eşittir. • x-y , (u-v) m2 ye tam olarak bölünür.

  14. x+ u  y+v (mod m) • x-u y-v (mod m) • x.u y. v ( mod m) • c.x c.y (mod m) , c Z • xn y-n ( mod m ) , n Z+ • Z/m ‘ de Toplama ve Çıkarma : •  x ,y Z/m için • x +y = x+y • x . y = x.y

  15. Örnek : • Z/5 de 4. ( 2+ 4) +3 işleminin sonucu nedir? • Çözüm : • ( 2+ 4) +3 =4. ( 2+ 4)+ 3 • =4. 6+ 3 • =4. 1+ 3 • =4+3 • =7 = 2

  16. Örnek : 71962 x ( mod 11) ise x nedir? Çözüm : 710= 1 dir. Buna göre , 71964 (710)196 . 72  11196 . 72  5 (mod 11) MATEMATİK SİSTEMLER : Tanım: A boş olmayan bir küme olmak şartıyla  A ‘ da tanımlı bir işlem olsun . ( A, ) ikilisine bir matematik sistem denir. * ‘ da A ‘ da tanımlı bir işlem ise ( A, ,*) üçlüsüne de bir matematik sistem denir.

  17. Tanım : G, boş olmayan bir küme olmak şartıyla  A da tanımlı bir işlem olsun. (G, ) sistemi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa grup adını alır. • Kapalılık özelliği; • Birleşme özelliği; • Etkisiz eleman özelliği ; • Ters eleman özelliği ; Tanım : (G, ) grubu değişme özelliği sağlıyorsa değişmeli grup adını alır. Örneğin (Z, +), (R, .), (Z/5, +) sistemleri birer değişmeli gruptur fakat ( N, +), (Z, .) (Z/4, .) sistemleri birer değişmeli grup değildir.

  18. Tanım : • (H, , &) matematik sistemi aşağıdaki şartları sağlıyorsa halka • adını alır. • (H, ) değişmeli gruptur. • H kümesi & işlemine göre kapalıdır. • & işlemine göre birleşme özelliği vardır. • & işleminin  işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. • Tanım : • (H, ,&) halka olmak şartıyla; • & işlemi değişme özelliğine sahipse, (H, ,&) değişmeli halka • adını alır. • & işleminde etkisiz eleman özelliği varsa (H, ,&) birimli halka • adını alır.

  19. Örnek : • (Z, +, .) değişmeli ve birimli halkadır. • Tanım : • (C, ,&) matematik sistemi aşağıdaki şartları sağlıyorsa, bir cisim adını • alır. • (C, ) sistemi değişmeli grup ve birim elemanı e’ dir. • (C-{e}, &) sistemi değişmeli gruptur. • & işleminin  işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. • Tanım : • ( C, ,&) bir cisim olsun. & işleminin değişme özelliği varsa ( C, ,&) • Sistemi değişmeli cisim adını alır.

  20. KAYNAKÇA : ÖSS ve ÖYS'YE HAZIRLIK MATEMATİK 1-2 GÜVENDER YAYINLARI SET-2 TÜMAY YAYINLARI

More Related