第三讲

第三讲 线性码与线性分组码

编码与译码 • 对二进制(n, k)码，信息数量（或合法码字数）为2k，可用编码空间的点数为2n个。 • 任一种2k信息集合到二进制序列集合(2n)的映射都是一种(n, k)码。因此总共可能的编码方案有种。如，共有1029种(100,50)码。 • 译码运算量：如果直接用最大似然序列译码，对一般性的编码而言，正比于n* 2k ，对(100,50)码，则为1017。几乎是不可能译码的。

为什么要引入线性码 • 发现或构造好码是信道编码研究的主要问题 • 编码方案太多，以至全局搜索是不可能的 • 现实的做法是对编码方案加以一定的约束，在一个子集中寻找局部最优 • 这种约束即要能包含尽可能好的码，又要便于分析，便于译码 • 目前对线性系统的研究远比非线性系统充分

线性码的定义 • 码字集中的元之间的任意线性组合仍是合法码字，即对线性组合运算封闭的码字集，称为线性码 • 因此，为了构成线性空间，必须首先定义运算

群——定义了一种运算的集合 • 群 • 运算封闭 • 有恒等元 • 有逆元 • 满足结合律 • 交换群 • 满足交换律的群

环——定义了两种运算的集合 • 按第一种运算（不妨称为加法）构成交换群 • 第二种运算（不妨称为乘法）满足以下条件 • 封闭性 • 结合律 • 与加法间满足分配律

域——一种特殊的环 • 乘法有恒等元（称为1元），且除了加法的恒等元（称为0元）以外有逆的环 • 除0元外，对乘法构成交换群 • 无限域和有限域 • 有理数、实数和复数都是无限域 • 信道编码中用到的是有限域，GF(q) • 两者在空间意义上有很强的可类比性

子群与陪集 • 就给定群G所定义的（加法）运算封闭的非空子集H，称H为G的子群 • G中任一元g与H相加得到的子集称为H的陪集 • 举例 • 陪集不相交 • 陪集首 • 商集 • 整数群的子群 • m的所有倍数 • 剩余类

线性空间、线性码与线性分组码 • 利用线性空间中的子空间作为许用码字的编码称线性码 • 当线性空间为有限维空间时即为线性分组码 • GF(q)上的n维线性空间Vn中的一个k维子空间Vn,k称为(n,k)线性分组码

线性分组码的特点 • 全零序列是许用码字 • 与任一码字的距离谱都相同 • 只须考虑重量谱 • 自由距就是最小码重量 • 平均差错概率就是当发全零序列时的条件差错概率：Pe=x1P(x1)P(e|x1)= P(e|全零)

码的球半径和覆盖半径 • 码空间中以许用码字为中心半径相等的互不相交的球，其最大半径称为码的球半径 s(C)， • 对自由距为d的码，球半径为s(C) = (d-1)/2 • 可以覆盖整个码空间的以许用码字为中心半径相等的球，其最小半径称为码的覆盖半径 t(C)， • 显然球半径不大于覆盖半径 • 当相等时称为完备码，在k和d相不变的码中n最小 • 当给定编码参数n和k时，覆盖半径越小码距就可以越大

线性码的矢量与矩阵表示 • (n,k)线性分组码是GF(q)上的n维线性空间中k个线性无关的向量c1,c2,……,ck张成的 • 对码空间中任一个码字C0可表示为 • 将所有矢量写成行向量的形式：c0=d*G 生成矩阵

校验矩阵 • 若C是n维线性空间的一个k维子空间，则必存在一个的n-k维子空间H，它与C互为零空间。即CH，或CH=。 • 中任一矢量r是许用码字的充要条件是校验矩阵

对偶码 • 用校验矩阵H中行矢量张成的子空间是一个(n ,n-k)线性分组码，它与码C互为对偶码

自由距与校验矩阵 • 校验矩阵的秩为df -1 • 例：纠一个错的码设计 • 自由距至少为3 • 校验矩阵的秩至少为2，即任两个列矢量不同 • 当冗余位数m固定时，最多的非零列矢量个数为2m -1 • 最高效率为(2m-1，2m-1-m，3)码，称为汉明码，是完备码 • 汉明码的对偶码为2 (2m-1，m，2m-1)码，等价于m序列，又称极长码，如果用BPSK，并看成2m进制调制时，是一种自相关性最好的调制方式

我们能得到多大的自由距？ • 在大部分情况下，自由距是码设计的首选目标 • 它代表了渐近性能 • 大部分分组译码算法的译码能力也限于自由距 • 普洛特金限（Plotkin）,自由距小于平均距： dnqk-1(q-1)/(qk-1) 或 k/n1-2d/n • 汉明限，球包限：k/n1-H2(d/2n) • 沃尔沙莫夫-吉尔伯特（V-G）限，H阵的秩与距离的关系：k/n1-H2(d/n) • 其中 H2(x) = -xlog2x – (1-x)log2(1-x)

最大的自由距存在区间

线性分组码译码的基本方法 • 码C作为一个子群，它的每一个陪集在码C的正交空间H中的投影是一个点，而不同的陪集投影不同。 • 每一个陪集有一个最小码重，作为陪集首，代表最可能的错误图案。 • 这就引出了伴随式译码：s=rHT，将s与最可能的e建一张表，即可通过查表法实现译码。

小结：引入线性码的好处 • 简化了分析：距离谱变成了重量谱 • 简化了译码： • 随机分组码译码需要2k次长为n的距离计算及比较 • 线性分组码译码需要n-k次长为n的矢量内积和一张大小为2n-k宽度为n的表 • 说明约束起了作用，但还不够，需要进一步引入其它约束

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