Trigonometría

1. Trigonometría Pamela Mena Romano

2. Introducción • En el siglo III a.C. los griegos, estudiando las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo, dieron inicio a una nueva rama de la matemática llamada Trigonometría y que significa medida del triángulo. Esta ciencia tuvo un notable éxito por sus aplicaciones directas a la astronomía, navegación y agrimensura. • Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el triángulo, es decir, a encontrar los tres elementos.

3. c b b a c a c b b a c a c a b Teorema de Pitágoras • “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.” Demostración: El área del cuadrado grande es: (a+b)2 y el del pequeño, c2. Por otra parte el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área de un triángulo, será el área del cuadrado grande. c2+4(ab)/2=(a+b)2 → c2+2ab=a2+2ab+b2 Finalmente: a2+b2=c2

4. C a b A B c Razones Trigonométricas • Consideremos el triángulo rectángulo. Las razones trigonométricas del ángulo B son:

5. Ejemplo: Una escalera de 5 metros de largo está colocada con su pie a 3 metros de distancia de la pared de una casa y llega precisamente hasta la base de una ventana. Hállense la altura de la base de la ventana y el seno y la tangente del ángulo que la escalera forma con la pared. Cada relación tiene su recíproco dados por:

6. a 5 x 3 Para despejar la incógnita usamos el Teorema de Pitágoras: Recordando la definición de seno y tangente, tenemos:

7. Medida de Ángulo Para medir ángulos primero debemos escoger alguna unidad fija, y para ello se definen tres sistemas de medida angular. • Sistema Sexagesimal: En este sistema el ángulo recto se divide en 90 partes iguales o 90 grados; cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. • Sistema Centesimal: En este sistema el ángulo recto se divide en 100 partes iguales o 100 grados centesimales; cada grado se divide en 100 minutos centesimales y cada minuto en 100 segundos centesimales. • Sistema Circular: En este sistema los ángulos se expresan en radianes y es muy útil para calcular medidas de arcos, o en física, para calcular velocidades angulares.

8. B r B a r b O A a r O A El radián • El radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio con que fue descrito. Es decir el arco AB es igual a la recta OA. • Para expresar un ángulo en radianes basta calcular las veces que el radio cabe en el arco que comprende entre sus lados. Designando el arco por b se obtiene:

9. p/2 II I p 0 III IV 3p/2 El Círculo Unitario • Es un círculo de radio unitario. • En cualquier círculo, 360º equivalen a 2p (radianes). Podemos dividir el círculo en 4 cuadrantes Como 360º=2p, la longitud del arco máximo en el círculo unitario, se tiene xrad es la medida en radianes de un ángulo x con 0≤ x ≤ 360

10. tangente 1 seno a -1 coseno -1 Las principales relaciones trigonométricas en el círculo unitario. El signo de las funciones trigonométricas en cada cuadrante. Recordando la definición de paridad, ¿qué paridad poseen el coseno y el seno?

11. Ángulos Recurrentes

12. Gráfico del Seno

13. Gráfico del Coseno

14. Gráfico de la Tangente

15. Gráfico de la Cosecante

16. Gráfico de la Secante

17. Gráfico de la Cotangente

18. C b a b a A B c Identidades Trigonométricas • A partir del triángulo demuestre que: Escribamos el seno y el coseno Por teorema de Pitágoras:

19. C a D B b a O A E Suma de Ángulos • Probemos la siguiente relación: sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b) • A partir de la figura tenemos:

20. Probemos ahora: cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) Haciendo un procedimiento análogo al anterior: • Exprese como suma de ángulos lo siguiente: • sin (2a) • cos a

21. C a D B b a a-b O A E Resta de Ángulos • De la misma forma que en la suma de ángulos se puede demostrar: sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) A partir de la figura podemos expresar sin(a-b) Ejercicio: Pruebe cos(a-b)=cosacosb+senasenb

22. Identidades Trigonométricas Las identidades son igualdades que se cumplen para cualquiera de los valores del ángulo que aparece en la igualdad. Una estrategia para probar identidades, es expresar todos los términos de la igualdad en función del seno y coseno para luego efectuar las operaciones indicadas, consiguiéndose con esto, la identidad de ambos miembros. Ejercicio: Demuestre la siguiente relación:

23. Funciones Trigonométricas • La función seno: sin : R→[-1,1]; x → sin(x). • La función coseno: cos : R→[-1,1]; x → cos(x). • La función tangente: tg ; x → tg(x) = sin(x)/cos(x), está definida para todos los x ∈ R donde no se anula la función cos(x).

24. B b r y a O C A Función Trigonométrica Inversa • En el círculo unitario al ángulo a corresponde el arco b que permite medir el ángulo en radianes. En la figura la perpendicular BC, representa el seno del ángulo a. Siendo b la medida del arco que permite, a su vez, medir el ángulo a, al designar por “y” el seno de este ángulo, se obtiene: sin b = y

25. Función Trigonométrica Inversa Además, al ser “b” el arco cuyo seno es “y”, se puede escribir: En forma análoga a la anterior se define: • b = arc cos y • b = arc tg y b = arc sen y Función Inversa del Seno. Lo que indica que: “b” es el arco del ángulo cuyo seno es “y”. Función Inversa del Coseno. Función Inversa de la Tangente.

26. B a A O Periodicidad • Sea el ángulo a engendrado por el radio móvil OB; entre los lados del ángulo queda el arco AB. Este mismo arco corresponde a los ángulos a, a + 360º, a + 2 ∙ 360º, a + k ∙ 360º, siendo k ≥ 0, k ∈ Z. Aplicando lo anterior para el seno y el coseno se encuentra que los valores se repiten para cada vuelta completa del radio móvil OB (360º). En cambio, el valor de la tangente se repite cada 180º. Por lo tanto el período para el seno y coseno es 2p (2p = 360º) y para la tangente es p (p=180º).

27. Periodicidad de las Funciones Trigonométricas. • En el sistema circular se puede escribir la periodicidad de las funciones trigonométricas como:

28. C g b a hC hB a b A B c Teorema del Seno • “En un triángulo cualquiera los lados son entre sí como los senos de los ángulos opuestos”. Haciendo lo mismo con a y g se obtiene:

29. D g h z b A a B C y d Problema • ¿Cuál es la altura de un cerro si las visuales dirigidas a la cumbre desde dos puntos situados a 100 metros (d) forman con la horizontal un ángulo de 30º (a) y 50º (b) respectivamente? Por geometría tenemos que el ángulo g vale 20º. Usando el teorema del seno, se tiene: Del segundo triángulo,

30. C b a h a b c D A B q p Teorema del Coseno • “En cualquier triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.” Por teorema de Pitágoras: Pero p=c-q, reemplazando y desarrollando:

31. 13 7 b a 8 Problema • Del siguiente triángulo, encuentre el valor del ángulo a. Por teorema del coseno: Usando la función inversa de coseno para despejar b:

32. Ecuaciones Trigonométricas • Son aquellas en las cuales la incógnita aparece como ángulo de funciones trigonométricas. Usando la fórmula de la ecuación cuadrática, para encontrar x,