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8.2 线性变换的矩阵

8.2 线性变换的矩阵. 概念引入 线性变换与矩阵对应关系的性质 线性变换下的坐标变换 A ∈ L(V) 在不同基下的矩阵. 一 . 引入概念. 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间， ε 1 , ε 2 , ···, ε n 是 V 的一组基， A ∈L(V) ，则对任意的 ξ （∈ V ）， ξ= x 1 ε 1 +x 2 ε 2 + ···+x n ε n , 且其中系数是唯一确定的，称为向量 ξ 在基 ε 1 , ε 2 , ···, ε n 下的坐标 .

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8.2 线性变换的矩阵

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Presentation Transcript

  1. 8.2 线性变换的矩阵 概念引入 线性变换与矩阵对应关系的性质 线性变换下的坐标变换 A ∈L(V)在不同基下的矩阵

  2. 一. 引入概念 • 设V是数域P上n维线性空间，ε1, ε2, ···, εn是V的一组基，A ∈L(V)，则对任意的ξ（∈V）， ξ= x1ε1+x2ε2+ ···+xnεn , 且其中系数是唯一确定的，称为向量ξ在基ε1, ε2, ···, εn下的坐标. 由于 A ξ= A （ x1ε1+x2ε2+ ···+xnεn） = x1 A （ε1）+x2A （ε2）+ ···+xn A （εn）. → 故A ξ完全由A （ε1）,A （ε2）, ···, A （εn） → 有必要研究基ε1, ε2, ···, εn与其象 A （ε1）, A （ε2）, ···, A （εn）之间的相互联系.从而得到如下结论：

  3. 定理1设 ε1, ε2, ···, εn是V 的基 对任意的α1,α2,···,αn∈V, 存在唯一的A ∈L(V) , 使得 A εi=αi, i =1, 2, ···, n . • 分析证明思路：1) 存在性： 对任意的α1,α2,···,αn∈V, 存在A ∈L(V) , 使得 A εi=αi, i =1, 2, ···, n (即 P282，2.). 2) 唯一性：若另存在B∈L(V) ,Bεi=αi, i =1, 2, ···, n →A =B (即 P281，1.).

  4. 定理意义分析:

  5. ξ=x1ε1 + x2ε2 + ··· +xnεn A ξ=x1Aε1 + x2 Aε2 + ··· +xnAεn (2) 设ε1 ,ε2 , ···,εn是V的基，对任意的ξ∈V， A ∈L(V), 由此看出 研究A 的特征，关键在于研究εi与Aεi 的关系, 这里εi, Aεi∈V，i =1,2,···,n

  6. A L(V) A Pn×n V的基ε1 ,ε2 ,···,εn下

  7. 定理1的意义就在于证明了 是满射，从而是双射.这就为引入如下概念奠定了理论基础.

  8. V εm+1 , ···,εn A A W ε1,ε2 , ···, εn · 0

  9. 二 的性质

  10. L(V)≌Pn×n, 且保持加，减，乘，数乘，可逆性.

  11. Aξ ξ 三 线性变换下的坐标变换 向量ξ与Aξ在同一基 下的坐标变换公式 • 注意与基变换公式下的坐标变换公式的区别（见P6.4）

  12. B=X-1AX 同一A 在不 同基下的矩 阵之间的关 系式是完全 由基变换公 式所确定的 (η1 ,η2 , ···,ηn) = (ε1 ,ε2 , ···,εn)X B = X-1AX 三 A (∈L(V))在不同基下的矩阵 定理4A (∈L(V))在基ε1 ,ε2 , ···,εn下的矩阵是A A (∈L(V))在基η1 ,η2 , ···,ηn下的矩阵是B (η1 ,η2 , ···,ηn) = (ε1 ,ε2 , ···,εn)X A A

  13. 定义3 A,B∈Pn×n, 称A相似B，记A∽B，如果存在可逆矩阵X∈Pn×n, 使得 B=X－1AX 相似关系∽的性质： 1） 自反性：对任意的A∈Pn×n, A∽A. (存在E ∈Pn×n, A=E－1AE) 2） 对称性：A∽B，则 B∽A. (A∽B → 存在可逆阵X ∈Pn×n，B=X－1AX → XBX－1= X(X－1AX)X=A, 即存在Y=X－1，A=Y－1 BY → B∽A） 3） 传递性：A∽B, B∽C, 则 A∽C. (A∽B, B∽C → 存在可逆阵X,Y∈Pn×n, B=X－1AX , C= Y－1BY → C= Y－1(X－1AX )Y=(XY)－1A(XY) → A∽C ) 矩阵的相似关系是P上的等价关系.

  14. 4） X－1A1X + ··· + X－1Ar X = X－1(A1 + ··· + Ar )X (X－1AX)( X－1AX) ··· ( X－1AX) = X－1(A1A2 ··· Ar)X • 即 A1∽B1 ··· Ar∽Br , 则 A1+A2+···+Ar∽B1+B2+···+Br , A1A2 ··· Ar∽B1B2 ··· Br . 5） X－1(Ar )X = (X－1AX )r (是性质4的特例) 6）A∽B, 则 Ar ∽Br (A∽B → B=X－1AX → 据性质5, Br =(X－1AX )r =X－1(Ar )X → Ar ∽Br ). • 据以上性质得： A∽B, 则 f (A)∽ f (B),f (x)∈Pn×n . (设 f (x)= a0 + a1x + ··· + anxn , 因 A∽B → Ar ∽Ar , r = 0, 1, ···, n, 又由B=X－1AX得 kB=k(X－1AX )= X－1(kA)X,即 kA∽kB → 据性质4知 a0 A0+ a1A + ··· + anAn ∽ a0B0 + a1B + ··· + anBn，即 f (A)∽ f (B）).

  15. 7） （定理5） （1） A (∈L(V))在不同基下矩阵A，B相似； （2） A∽B（A , B∈Pn×n）, 则存在A (∈L(V))， 使A,B是 A 在不同基下的矩阵. 证明： 由定理4即知 (1) 成立. 这里仅证(2). A∽B → 存在可逆阵X, 使 B=X－1AX, 又据定理1, 有A (∈L(V)), A (ε1,ε2, ···,εn ) = (ε1,ε2, ···,εn )A → 设 (ε1,ε2, ···,εn )X = (η1,η2, ···,ηn ) → 因X可逆，故 (η1,η2, ···,ηn )X －1 = (ε1,ε2, ···,εn ) → {ε1,ε2, ···,εn }与 {η1,η2, ···,ηn }等价 → η1,η2, ···,ηn是V的基 , 且 A (η1,η2, ···,ηn ) = A ((ε1,ε2, ···,εn )X) = (A (ε1,ε2, ···,εn ))X= (ε1,ε2, ···,εn )AX = ((η1,η2, ···,ηn ) X－1)AX=(η1,η2, ···,ηn ) X－1AX = (η1,η2, ···,ηn )B → A, B分别是在基ε1,ε2, ···,εn 和基η1,η2, ···,ηn下的矩阵. □

  16. 基ε1,ε2,···,εn 基η1,η2,···,ηn L(V) A P n×n A ∽ B 矩阵的相似关系作为Pn×n上的等价关系把Pn×n分成若干个互不相交的子集 → 提出问题：对任意的A ∈L(V), 找到一个基，使在该基下的矩阵最简单？ （这是今后要讨论解决的一个问题）

  17. 利用矩阵相似性质可以简化矩阵的运算 （如利用如上例题可简化如下矩阵的计算） 作业：P321 习题6；7.1),2),5),6)；8； 9；10；11；13；15；16；17；18。

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