第三章动量及动量守恒定律

第三章 动量及动量守恒定律

3-1、质点和质点系的动量定理 1、动量（描述质点运动状态，矢量）大小：mv 方向：速度的方向单位：kgm/s 量纲：MLT－1 2、冲量（力的作用对时间的积累，矢量）方向：速度变化的方向单位：N∙s 量纲：MLT－1 （1）恒力的冲量

注意：冲量 的方向和瞬时力的方向不同! （2）变力的冲量把作用时间分成 n个很小的时段ti，每个时段的力可看作恒力当力连续变化时

+ 0 t 在数值上等于冲量的几何意义：冲量图线与坐标轴所围的面积。 I x ~ F t x 分量式：（注意可取 +-号）

3、质点的动量定理 质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量。这个结论称为动量定理。冲量有两种求法： F 为恒力时，可以得出I＝F t F 作用时间很短时，可用力的平均值来代替。

（1）由动量的增量来求冲量； （2）进而求平均冲力，注意：1、动量为状态量； 2、冲量为过程量，是力的作用对时间的积累。 3、动量定理可写成分量式，即： 4、质点的动量定理的应用增大作用时间，缓冲

两式相加 4、质点系的动量定理一、质点系的动量定理质点系（内力 f、外力F ） • 两个质点（ m1、m2 ）的系统

以 F 和P 表示系统的合外力和总动量，上式可写为： • n个质点的系统 • 由于内力总是成对出现的，其矢量和为零。所以：由此可得“质点系的动量定理”：微分形式积分形式内力不改变系统的总动量，但会使系统内部动量重新分配。只有外力才能改变系统的总动量。

v2 30o n 45o v1 例1、质量为2.5g的乒乓球以10 m/s 的速率飞来，被板推挡后，又以 20 m/s 的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为 45o 和30o，求：（1）乒乓球得到的冲量；（2）若撞击时间为0.01s，求板====施于球的平均冲力的大小====和方向。

解法一：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为 则有： y v2 O x 30o n 45o v1 mv2 mv1 mv1 取坐标系，将上式投影，有：

mv2 mv1 mv1 为 I 与x 方向的夹角解法二应用余弦定理、正弦定理解三角形

o x 例2一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重力的三倍。

o x 证明：取如图坐标，设t 时刻已有x长的柔绳落至桌面，随后的dt时间内将有质量为dx（Mdx/L)的柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：一维运动可用标量

而根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：柔绳对桌面的冲力F＝－F’即：而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L 所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg

即 3-2、动量守恒定律一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量就保持不变。 —— 这就是动量守恒定律，其条件是：系统所受合外力为零:

注意： 1、动量守恒定律只适用于惯性系。定律中的速度应 ===是对同一惯性系的速度，动量和应是同一时刻的===动量之和。 2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。 3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 ===中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）—======——近似守恒条件。 4、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方===向为零。）——部分守恒条件 5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿===定律更普遍的最基本的定律

分析：冲量 I=∫Fdt 是一矢量式，当质点在作圆周运动时，拉力T 的方向是时刻改变的，因此，直接由拉力来求冲量是困难的；但是，若采用转换的方法，先分别求出合力Fr 和重力P 的冲量，再利用矢量合成的平行四边形法则，即可求得拉力的冲量。虽然合力Fr仍是一变力，但它在任意 dt 时间内的冲量dIr 均指向圆心。当计算一周内的冲量时，由于各 dIr 的对称性， Ir =∮Frdt=0 。而重力是恒力，只需知道它运动一周的时间就能算出其冲量，则拉力的冲量IT =Ir – IP 解1一周内重力P 的冲量为 IP = ∮Pdt = -mg tk= -mg2R/u k T Fr ●m Ir =0 ，∴IT=-IP=mg2R/u k P 例3 质量为m的质点作圆锥摆运动，质点的速率为u，圆半径为R，圆锥母线与轴线之间的夹角为α，计算拉力在一周内的冲量。

解2根据动量定理，一周内合力的冲量为 IF = IT + IP =mu –mu =0 则 IT = - IP = mg 2R/u k 注意：一周内合力的冲量为零，并不是说明一周内质点的动量时时处处守恒，只是终点又恢复到起点的动量，这不叫动量守恒；所以，动量守恒的条件，不能说是“系统所收合外力的冲量为零”。

y v2 h v1 为第一块落地时间 h S1 x 例4 一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点 h＝19.6 m 处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸后 1 秒钟落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发射点的距离S1＝100米,问另一块落地点与发射点的距离是多少？（空气阻力不计，g=9.8m/s2) 解：已知第一块方向竖直向下

mv2/2 mvx y v2 mv1/2 h v1 h S1 x 爆炸中（忽略重力）系统动量守恒

mv2/2 mvx 落地时， mv1/2 （舍去）第二块作斜抛运动可得第二块碎片落地点的水平位置：

也就是流入与流出水的动量的增量 ; 此动量的变化是管壁在时间△t 内对其作用冲量的结果. 依据动量定理可求得该段水受到管壁的冲力；由牛顿第三定律, 自然就得到水流对管壁的作用力 . 例5如图所示, 在水平地面上，有一横截面 S = 0. 20m2 的直角弯管, 管中有流速为v =3. 0m.s-1的水通过, 求弯管所受力的大小和方向. 分析: 对于弯管部分AB段内的水而言, 由于流速一定, 在时间△t 内, 从其一端流入的水量等于从另一端流出的水量. 因此，对这部分水来说, 在时间△t 内动量的增量

依据动量定理 , 解: 在时间△t 内, 从管一端流入( 或流出）水的质量为弯管部分AB段内的水的动量的增量则为得到管壁对这部分水的平均冲力从而可得水流对管壁作用力的大小为作用力的方向则沿直角平分线指向管外侧.

第三章 动量及动量守恒定律