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一、问题的提出

一、问题的提出. 第三节 曲面及其方程. 1 ）曲面 S 上任一点 M(x,y,z) 的坐标均满足. F(x,y,z)=0 ;. 方程. 二 曲面方程. 1 定义：在空间直角坐标系下，设有曲面 S 与三元方程. F(x,y,z)=0 , 若满足. 2 ）不在曲面 S 上的点的坐标均不满足方 程 F(x,y,z)=0. 则称方程 F(x,y,z)=0 为曲面 S 的方程 。. 曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形。. 例 1 建立球心在点. 半径为 R 的球面方程。. 解：设 M(x,y,z) 为球面上的任意一点，则.

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一、问题的提出

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  1. 一、问题的提出 第三节 曲面及其方程

  2. 1）曲面S 上任一点M(x,y,z)的坐标均满足 F(x,y,z)=0 ; 方程 二 曲面方程 1 定义：在空间直角坐标系下，设有曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 ,若满足 2）不在曲面 S上的点的坐标均不满足方 程F(x,y,z)=0 则称方程F(x,y,z)=0为曲面 S的方程。 曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形。

  3. 例1 建立球心在点 半径为R的球面方程。 解：设M(x,y,z)为球面上的任意一点，则 例2 设有点 求线段 AB的垂直平分面. 设M(x,y,z)为中垂面面上的任意一点，

  4. 2、曲面和方程的两个主要问题： 1） 已知曲面S建立方程F(x ,y , z) = 0; 2） 已知方程F(x , y , z) = 0画出曲面S. 3、求曲面方程的一般步骤： 1） 选取坐标系; 2） 列出任意点满足的几何等式; 3） 代入点M(x , y , z)化简即得曲面方程.

  5. 1）设在 坐标平面上有一已知曲线C， 三 旋转曲面 1 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面。这条直线叫做旋转曲面的轴。 2 旋转曲面方程的求法 ： 把该曲线绕z 轴旋转一周，得一个以z轴为轴的旋转曲面。

  6. 为曲线C上的任意一点，则有 当曲线C绕z轴旋转时，点 也绕z轴转动到 点M到z轴的距离 此即为所求旋转曲面的方程。

  7. 求旋转曲面的方程技巧 在曲线C 的方程 中，只要将y改成 z不变， 便得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程 同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为：

  8. 2）xoy 面上的曲线C ： 绕X轴 绕Y轴 3）zox 面上的曲线C ： 绕X轴 绕Y轴

  9. Z Y 0 X 例2 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面。

  10. 例3 xoy面上的椭圆 绕X轴转得曲面： 绕y轴转得曲面： xoz面上的双曲线 绕z轴转得曲面： 绕x轴转得曲面：

  11. z 例5、方程 表示怎样的曲面？ y 0 x 例4

  12. 四 柱面 1 柱面的定义： 一般地，平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面。 动直线L叫做柱面的母线，定曲线C叫做柱面的准线。 1）一般地，只含x,y而缺Z 的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于Z轴的柱面，其准线为

  13. 例6、 母线平行于Z轴，准线 2）一般地，只含x,z而缺y的方程G(x,z)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于y轴的柱面，其准线为

  14. 例7、 母线平行于y轴的双曲柱面，准线为 3）一般地，只含y,z而缺x的方程H(y,z)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于x轴的柱面，其准线为 练习题: 下列方程在平面、空间直角坐标系中各表示什么图形，并画出其草图。

  15. 五 二次曲面 1 定义：三元二次方程表示的曲面,称为二次曲面。 如球面 圆锥面、旋转曲面等

  16. z y x 2、二次曲面的研究方法： (不能用描点法，而用截面法) 用平行于坐标面的平面去截曲面由所得截痕来 勾画曲面的大体形状。 1）对称性：关于坐标面，坐标轴 2）存在范围 3）曲面与坐标轴、坐标面的关系 4）曲面弯曲状况。 3、几种重要的二次曲面： 1）椭球面： (Ellipsoids)

  17. 特殊情形：1）当a=b=c时，此时为球面 2）当a=b时，此时为旋转曲面 3) 当a=c时，此时为旋转曲面 4) 当c=b时，此时为旋转曲面

  18. z (0,0,0) y x 2)抛物面 I) 椭圆抛物面 p=q时，成为旋转抛物面 II)双曲抛物面（马鞍面） (P>0,q>0)

  19. z o x y II)双曲抛物面（马鞍面）

  20. z y x

  21. z o y x 3) 双曲面 I)单叶双曲面

  22. z 0 y x II)双叶双曲面 或者

  23. 例6、指出下列方程所表示的曲面：

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