独自ルールを用いた “ハノイの塔”の拡張

1. 独自ルールを用いた“ハノイの塔”の拡張 立命館高校　３年９組 馬部　由美絵

2. ハノイの塔 • フランスの数学者エドゥアール・リュカが1883年に発売した数学のゲーム • ルールは以下の３つ 　・左から右の棒へ移動させる 　・一回につき一枚のみ移動可能 　・小さい円盤の上に大きい円盤は乗せれない

3. 目的 • ハノイの塔について、棒に刺さっているすべての円盤を、別の棒に移し替えるために必要な、最小の手数回数を求めるための一般項を求める。『ハノイの塔』のルールを変化させ、拡張する。

4. 一般的なハノイの塔 • ルール ・左から右の棒へ移動させる ・一回につき一枚のみ移動可能 ・小さい円盤の上に大きい円盤は乗せれない

5. 〈1枚〉n= 1a1= 1 〈2枚〉n= 2a2 = 3 〈3枚〉n= 3a3 = 7 〈4枚〉n= 4 a4 = 15 an-1 のときと同じ移動 一番下の円盤を隣の棒に移す移動

6. an= 2n–1・・・①( n= 1, 2, 3, ) 〈証明〉 (1) n = 1の時21 – 1 = 1 ゆえに、①は成り立つ。 (2) n = kの時①が成り立つと仮定する。 a k= 2k- 1・・・② n = k + 1の時を考えると、②より ak+1= 2k– 1 + 2 =2k+1- 1 ゆえに、①はn = k + 1の時も成り立つ。 (1) (2)より、①は全ての自然数nについて成り立つ。 したがって、求める一般項はan = 2n- 1

7. ＮＥＷルール① • ルール ・左から右の棒へ移動させる ・１回につき１枚のみ移動可能 ・小さい円盤の上に大きい円盤は乗せれない ・隣の棒にしか移動させることができない

8. 〈1枚〉n= 1a1= 2 〈2枚〉n= 2a2 = 8 〈3枚〉n= 3a3 = 26 〈4枚〉n= 4 a4 = 80 an-1 のときと同じ移動 一番下の円盤を隣の棒に移す移動

10. ＮＥＷルール② • ルール ・左から別の棒へ移動させる 　　→つまり真ん中の棒へ移動させる ・１回につき１枚のみ移動可能 ・小さい円盤の上に大きい円盤は乗せれない ・隣の棒にしか移動させることができない

11. 〈1枚〉n= 1a1= 1 〈2枚〉n= 2a2 = 4 〈3枚〉n= 3a3 = 13 〈4枚〉n= 4 a4 = 40 an-1 のときと同じ移動 一番下の円盤を隣の棒に移す移動

13. ＮＥｗルール③ • ルール ・左から別の棒へ移動させる →つまり真ん中の棒へ移動させる ・１回につき１枚のみ移動可能 ・小さい円盤の上に大きい円盤は乗せれない ・隣の棒にしか移動させることができない ・一方通行のみの移動

14. 〈1枚〉n= 1a1= 1 〈2枚〉n= 2a2 = 5 〈3枚〉n= 3a3 = 15 と同じ移動（下２枚より上に乗っている円盤を２個先の棒へ） 一番下の円盤を隣の棒に移す移動 二番目に下にある円盤を隣の棒に移す移動 an-1と同じ移動（下２枚より上に乗っている円盤を１個先の棒へ）

16. 考察 • ルール①と、一般的なルールの場合の一般項を比較すると、公比が異なるよく似た数式になることがわかります。どちらも等比数列の式から－１という式になります。シンプルできれいな数式になりました。 • 　ルール①と、ルール②の一般項を比較すると、ルール①の数の２分の１がルール②の時の数になることがわかります。円盤の移動先の棒の位置を、一つ手前に変えたことにより、数が２分の１になりました。ここから、もし円盤の異動先の棒の位置を、一つ先に変えると、ルール①の数の２倍になるのではないかと考えられます。 • 　ルール③の一般項は、他の一般項とは少し違っており、二段階の漸化式になりました。一般項に無理数が入っているのにも関わらず、自然数 n 代入すると整数となって出てきます。

17. 今後 • ルール③の時の一般項のｃ１、ｃ２を求める。 • 一般項ａｎの証明をする。 • 別の独自のルールを考えて拡張する。 • 今までは独自のルールによって円盤の移動の条件を限定してきたので、逆に円盤の移動の条件を広げられるような新しいルールを考える。

18. Thank you!