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第五章 設計中的能量法

第五章 設計中的能量法. 5.2 應變能. 拉伸試片的應力－應變圖（圖 5.1 ）中曲線下的面積就是應變能密度，用 來標示，因此 (5.1a) 應力－應變曲線上方的面積為 附加能量密度 (5.2). 在線彈性材料的例子中，從原點到比例限， 以 代入，可得 (5.1b) 而且兩面積相等， ，如圖 5.1a 所表示出。. 類似的，應變能密度為 (5.3) 當一個物體處在一般應力狀態下，總應變能密度相等於之前式，簡單的相加。可得 (5.4) 代入廣義的虎克定律得到下面的這個方程式，只和應力與彈性常數有關 (5.5).

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第五章 設計中的能量法

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  1. 第五章 設計中的能量法

  2. 5.2 應變能 • 拉伸試片的應力－應變圖（圖5.1）中曲線下的面積就是應變能密度，用來標示，因此 (5.1a) • 應力－應變曲線上方的面積為附加能量密度 (5.2)

  3. 在線彈性材料的例子中，從原點到比例限， 以 代入，可得 (5.1b) 而且兩面積相等， ，如圖5.1a所表示出。

  4. 類似的，應變能密度為 (5.3) • 當一個物體處在一般應力狀態下，總應變能密度相等於之前式，簡單的相加。可得 (5.4) • 代入廣義的虎克定律得到下面的這個方程式，只和應力與彈性常數有關 (5.5)

  5. 當主應力軸用以做為坐標時，剪應力為0，前式則變為 (5.6) 其中 、 與 為主應力。 • 儲存在彈性體裡的彈性應變能 U 可由在體積 V 中的應變能密度積分得之，於是 (5.7)

  6. 5.3 應變能分量 • 應變能密度可經由代入(5.6)式中來得到。在如此的處置下，可得 (5.8) • 形變的應變能密度可以很容易由前述(5.6)式中的減項得到 (5.9)

  7. 範例 5.1

  8. 5.4 常用零件中的應變能

  9. 將(5.1)式代入(5.7)式，並且設dV = Adx，可得 (5.10) 對於滑動棒，代入大小為P的端點力， (5.10)式變成 (5.11) 符號E代表彈性模數，而L為桿件的長度。

  10. 範例 5.2

  11. 代入(5.7)式，得到由扭轉所造成的應變能為 (5.13) • 由定義知，括號中的項為截面積的極慣性矩J，因此 (5.14) 對於一棒件施以扭矩T（圖3.6），(5.14)式變為 (5.15) 其中L為棒件長度。

  12. 使用(5.1)式，應變能為 僅為 x的函數，可得 (5.16) • 括號中的積分項定義為在截面上對於中性軸的貫性矩 I，因彎矩造成的應變能為 (5.17) 此為沿著樑長度 L積分得到所要求的值。

  13. 對於一根具有不變彎曲剛性 EI的樑，(5.7)式可以用(4.14)式撓度的方式寫成如下 (5.18) • 在具有截面積 A的樑上對其體積積分，結果為剪力狀態下的樑之應變能為 (5.19) 由前述，剪力形狀係數為 (5.20) 此式表示對一給定截面幾合形狀的特徵無因次量。

  14. 將(5.4)式與(2.6)式代入(5.7)式，可得 (5.25) • 對具有一定厚度之平板，此式可透過(4.46)式與(4.49)式改寫成以撓度w表示之形式。如此可得到 (5.26) • 此式為受彎矩之平板之應變能，可寫為下列之另一形式 (5.27) 對於平板之表面面積 A積分可得所要求之量。

  15. 5.5 功能法 • 總功為W， ，與結構體所得到的應變能相等，其中假設無能量損失，於是 (5.28) 換句話說，負載作用於結構體所作之功等同於彈性應變能。 • 考慮一受到單一集中負載P之構造件，(5.28)式變成 (5.29)

  16. 為力P作用下的位移量，以類似的方式，則可有下列之表示 (5.30) (5.31) 注意M（或T）或 （或 ）代表結構體上一點之彎矩（或扭矩）以及斜率（或扭轉角）。

  17. 範例 5.4

  18. 5.6 卡氏定理 • 卡氏定理 (5.33) 對於一個線性結構，應變能對一個所施加一力之偏微分導數會相等於施力該處之位移分量，並且和力具有相同的方向。

  19. 卡氏定理可以用類似的形式表示用於施加結構體之彎矩M（或扭矩T）和其造成之斜率 （或扭轉角 ），因此 (5.34) (5.35)

  20. 要得到相對應於負載之撓度，通常積分符號裡之微分會較為簡化，如此做，我們可得 (5.36) 類似的，斜率可表示成 (5.37)

  21. 使用(5.33)式在構件上任何一點的位移量可以很方便的利用下式得到 (5.38) 式子中的最後一項僅應用在圓形棒件上。

  22. 有一桁架包含了m個具有軸向剛度，長度為的構件，並受到軸向力。可以由(5.11)式找出其應變能為 (5.42) • 受到負載作用的節點之位移 可以由(5.42)式代入卡氏定理的(5.33)式變為 (5.43) 上述討論的方法適用於靜定與靜不定的線性彈性桁架。

  23. 5.7 靜不定問題 • 先將應變能以 和給定的負載表示出，再將(5.36)式使用於移除支承的結構中，並使其與給定的位移相等 (5.45) 這個方法解出了贅力 。然後，可以使用靜力方程式解出其餘的支承反力。

  24. 使用類似的方法，以具有n度靜不定反力的靜不定結構為例，假設沒有支承移動，可利用下述形式表示 (5.46) 解這些方程式可以得到贅力的值，剩下的支承反力可由靜力平衡方程式求得。

  25. 5.8 虛功和位能 • 虛功 在一個具有虛位移的構件上，是由表面力造成的，可表式成 (5.49) 量A為邊界的表面積， 、 和 代表虛構位移的x-、y-與z-方向上之分量。

  26. 相同的，虛應變能 可在一體積 V的構件上由虛構應變得到，表示成如下 (5.50) 全部由虛位移所造成的功可被證明為 0[1, 4]： 。因此 (5.51) 這個被稱為虛功原理。

  27. 因為虛位移不改變構件的形狀，而且表面力都考慮為不變，(5.51)式可以寫成以下形式因為虛位移不改變構件的形狀，而且表面力都考慮為不變，(5.51)式可以寫成以下形式 (5.52) 由前述，我們可得 (5.53) 符號 代表構件之位能。

  28. 由(5.51)式，可得 。在此限制下，虛功原理的結果為 (5.54) 這個被稱為卡氏第一定理(：對於一個線性或非線性的結構，應變能對虛位移的偏微分相等於該點處與位移方向相同的施加負載。相似地，可證明出 (5.55) 其中 為角旋轉量，而 為導致它的轉矩。

  29. *5.9 三角函數級數於能量法之使用 • 撓度曲線可以被表示為傅立葉正弦級數 (5.56) • 將(5.56)式代入(5.18)式，把樑之應變能表示為以下形式 (a)

  30. 由力P在A處作用一個虛擬位移所做之虛功，使樑之應變能增加。使用由(5.51)式可知由力P在A處作用一個虛擬位移所做之虛功，使樑之應變能增加。使用由(5.51)式可知 (b)

  31. 撓度曲線的方程式 (5.59) 　使用這個無限級數，我們可以得到任意一個指定的x值處之撓度。

  32. *5.10 瑞雪－黎次法 • 由於平衡時位能必須是最小，瑞雷－黎次法指出下列形式 (5.62) 　前述表示出了一組代數方程式來解出係數。

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