TRANSPORMASI

1. TRANSPORMASI LAPLACE

2. Ditemukan oleh Piere Simon Maequis de Laplace tahun (1747-1827) seorang ahli astronomi dan matematika Prancis • Menurut; fungsi waktu atau f(t) dapat ditranspormasi menjadi fungsi komplek atau F(s) • Dimana s bilangan komplek dari s = s + j2pf atau s + j • = frekuensi neper = neper/detik •  = frekuensi radian = radian/detik

3. Hasil TL dari f(t) di beri nama F(s) • Tanda TL diberikan dengan £ atau L, dan fungsinya di tulis f(t): nilai komplek dari fungsi sebuah fariabel t F(s): Nilai komplek dari fungsi sebuah fariabel s

4. Inverse Transformasi Laplace • Inverse (Bilateral) Transform • Notation F(s) = L{f(t)} variable t tersirat untuk L f(t) = L-1{F(s)} variable s tersirat untuk L-1

5. Contoh: Transpormasi Laplace • f(t) = A • Jawab

6. Contoh 2. f(t) = At Jawab Dibantu dengan formula integral partsiel yaitu

8. Contoh 3 f(t) = e-at jawab

9. Contoh 4 : f(t) = t.e-at

11. f(t) = Sin(t) • f(t) = Cos (t) • f(t) = Sin(t+) • f(t) = e-at.Sin(t)

12. Contoh 9; • f(0+) artinya harga nol untuk fungsi, jika didekati dari arah positif

13. Contoh 10;

16. f(t) F(s)=L[f(t)] Some useful Laplace transforms

17. f(t) F(s)=L[f(t)] Some useful Laplace transforms

18. f(t) L F(s) Laplace Transform Properties • Linear atau Nonlinear? • Linear operator

19. contoh • Seperti gambar disamping, muatan awal kapasitor = 0. Tentukan persamaan arusnya;

20. Transpormasi Laplace

22. Pembalikan transpormasi laplace • Lihat tabel

23. Contoh 2 • Gambar RL seperti gambar disamping, jika saklar s di on-kan maka tentukan persamaan arunya

24. Persamaan rangkaian • Transpormasi Laplace

25. Transpormasi dari cos t

26. Laplace transform f(t) t Definition of function f(t) • f(t)=0 for t<0 • defined for t>=0 • possibly with discontinuities • f(t)<Mexp(t)[exponential order] • s: real or complex Examples Definition of Laplace transform

27. Laplace transform f(t) Dirac t f(t) t Examples

28. Laplace transform Heaviside f(t) t f(t) t Examples

29. Laplace transform f(t) Ramp t Examples

30. Laplace transform properties •Linearity

31. Example Laplace transform properties • Translation a) if F(s)=L[f(t)]

32. Example Laplace transform properties g(t) f(t) • Translation b) if g(t) = f(t-a) for t>a = 0 for t<a t a

33. Example Laplace transform properties •Change of time scale

34. Laplace transform properties • Derivatives

35. •If discontinuity in a Laplace transform properties • Derivatives

36. Laplace transform properties • Derivatives examples

37. Remarques sur la dérivation Deux cas à prévoir a) En intégrant par parties b) Si f(t) et toutes ses dérivées sont nulles pour t<0, alors on peut ne pas tenir compte des valeurs initiales pour étudier le comportement

38. Laplace transform properties • Integral

39. More general Laplace transform properties Multiplication by t Leibnitz’s rule

40. Laplace transform properties Division by t

41. Laplace transform properties • Periodic function

42. Hint

43. Laplace transform properties Sine and cosine are periodic functions

44. Laplace transform properties Example f(t) 1 t 3 1 0 2 -1

45. Laplace transform properties Periodic function

46. Laplace transform properties Example 1 t 0 1 2 3

47. Laplace transform properties

48. Exponential order Laplace transform properties •Limit behaviour Initial value

49. Laplace transform properties •Limit behaviour Final value

50. Equation describing the circuit RC circuit R Laplace transform v(t) e0.(t) C Laplace transform applications