600 likes | 802 Views
TRANSPORMASI. LAPLACE. Ditemukan oleh Piere Simon Maequis de Laplace tahun (1747-1827) seorang ahli astronomi dan matematika Prancis Menurut; fungsi waktu atau f(t) dapat ditranspormasi menjadi fungsi komplek atau F(s) Dimana s bilangan komplek dari s = s + j 2 p f atau s + j
E N D
TRANSPORMASI LAPLACE
Ditemukan oleh Piere Simon Maequis de Laplace tahun (1747-1827) seorang ahli astronomi dan matematika Prancis • Menurut; fungsi waktu atau f(t) dapat ditranspormasi menjadi fungsi komplek atau F(s) • Dimana s bilangan komplek dari s = s + j2pf atau s + j • = frekuensi neper = neper/detik • = frekuensi radian = radian/detik
Hasil TL dari f(t) di beri nama F(s) • Tanda TL diberikan dengan £ atau L, dan fungsinya di tulis f(t): nilai komplek dari fungsi sebuah fariabel t F(s): Nilai komplek dari fungsi sebuah fariabel s
Inverse Transformasi Laplace • Inverse (Bilateral) Transform • Notation F(s) = L{f(t)} variable t tersirat untuk L f(t) = L-1{F(s)} variable s tersirat untuk L-1
Contoh: Transpormasi Laplace • f(t) = A • Jawab
Contoh 2. f(t) = At Jawab Dibantu dengan formula integral partsiel yaitu
Contoh 3 f(t) = e-at jawab
f(t) = Sin(t) • f(t) = Cos (t) • f(t) = Sin(t+) • f(t) = e-at.Sin(t)
Contoh 9; • f(0+) artinya harga nol untuk fungsi, jika didekati dari arah positif
f(t) F(s)=L[f(t)] Some useful Laplace transforms
f(t) F(s)=L[f(t)] Some useful Laplace transforms
f(t) L F(s) Laplace Transform Properties • Linear atau Nonlinear? • Linear operator
contoh • Seperti gambar disamping, muatan awal kapasitor = 0. Tentukan persamaan arusnya;
Pembalikan transpormasi laplace • Lihat tabel
Contoh 2 • Gambar RL seperti gambar disamping, jika saklar s di on-kan maka tentukan persamaan arunya
Persamaan rangkaian • Transpormasi Laplace
Laplace transform f(t) t Definition of function f(t) • f(t)=0 for t<0 • defined for t>=0 • possibly with discontinuities • f(t)<Mexp(t)[exponential order] • s: real or complex Examples Definition of Laplace transform
Laplace transform f(t) Dirac t f(t) t Examples
Laplace transform Heaviside f(t) t f(t) t Examples
Laplace transform f(t) Ramp t Examples
Laplace transform properties •Linearity
Example Laplace transform properties • Translation a) if F(s)=L[f(t)]
Example Laplace transform properties g(t) f(t) • Translation b) if g(t) = f(t-a) for t>a = 0 for t<a t a
Example Laplace transform properties •Change of time scale
Laplace transform properties • Derivatives
•If discontinuity in a Laplace transform properties • Derivatives
Laplace transform properties • Derivatives examples
Remarques sur la dérivation Deux cas à prévoir a) En intégrant par parties b) Si f(t) et toutes ses dérivées sont nulles pour t<0, alors on peut ne pas tenir compte des valeurs initiales pour étudier le comportement
Laplace transform properties • Integral
More general Laplace transform properties Multiplication by t Leibnitz’s rule
Laplace transform properties Division by t
Laplace transform properties • Periodic function
Laplace transform properties Sine and cosine are periodic functions
Laplace transform properties Example f(t) 1 t 3 1 0 2 -1
Laplace transform properties Periodic function
Laplace transform properties Example 1 t 0 1 2 3
Exponential order Laplace transform properties •Limit behaviour Initial value
Laplace transform properties •Limit behaviour Final value
Equation describing the circuit RC circuit R Laplace transform v(t) e0.(t) C Laplace transform applications