13 多變數函數

1. 13 多變數函數 Functions of Several Variables

2. 13.1 多變數函數導論 13.2 極限與連續 13.3 偏導數 13.4 微分 13.5 多變數函數的連鎖規則 13.6 方向導數和梯度向量 13.7 切平面和法線 13.8 兩變數函數的極值 13.9 兩變數函數極值的應用 13.10 拉格朗日乘子法

3. P.534 Ch13 多變數函數 13.1 多變數函數導論(Introduction to function of several variables) 兩變數函數的定義 D 是一個有序實數對的集合。如果對 D 中任一個序對(x, y) (ordered pair)恆有唯一實數 f (x, y) 與之對應，則 f 就稱為一個 x和 y的函數。集合 D 是 f 的定義域，所對應的 f (x, y) 的全體稱為 f 的值域。 習慣上，我們以 z =f (x, y) 表一個兩變數的函數，其中 x 和 y 稱為自變數(independent variable)，z 稱為因變數 (dependent variable)。

4. P.535 Ch13 多變數函數 例 1多變數函數的定義域 求下列函數的定義域。 a. b. 解 a.函數 f 對所有滿足 x≠0 和 x2 + y2≥ 9 的點 (x, y) 都有定義，因此，f 的定義域是扣掉圓 x2 + y2 = 9 的內部和 y 軸之後剩下的點，如圖13.1所示。 b.函數 g 對所有滿足 x2 + y2 + z2 < 9 的點 (x, y, z) 都有定義，因此，g 的定義域是球心在原點，半徑為 3 的球體內部。

5. P.535 Ch13 多變數函數 圖13.1

6. P.536 Ch13 多變數函數 兩變數函數的圖形 描繪兩變數函數的圖形可增進我們對該函數的瞭解。 一個兩變數函數 f 的圖形是空間中所有的點 (x, y, z) 滿 足 (x, y) 在 f 的定義域且 z =f (x, y)。 在圖13.2 中，注意到 z = f (x, y) 的圖形是一個曲面， 該曲面在 xy-平面上的投影恰好是 f 的定義域 D。對 D 中的每一個點 (x, y)，都有一點 (x, y, z) 出現在曲面上， 反之，曲面上的點 (x, y, z) 也對應了 D 上的一點 (x, y)， 換句話說，圖形所形成的曲面和定義域 D 的關係是一 對一的對應。

7. P.536 Ch13 多變數函數 圖13.2

8. P.536 Ch13 多變數函數 例 2描述兩變數函數的圖形 描述　　　　　　　　　　的圖形，並說明 f (x, y) 的 值域。 解　從 f 方程式可推得定義域 D 是滿足 16 – 4x2 – y2≥ 0 的點集 (x, y)，所以 D 是所有在橢圓之上或內部的點。 f 的值域是所有的 z 滿足 z =f (x, y)，也就是 或者 0 ≤ z ≤ 4

9. P.536 Ch13 多變數函數 例 2（續） 點 (x, y, z) 出現在 f 圖形上的充要條件是 從 10.6 節可理解 f 圖形是橢球面的上半部，見圖13.3。

10. P.536 Ch13 多變數函數 圖13.3的圖形是橢圓球面的上半部。

11. P.536 Ch13 多變數函數 圖13.4例 2 的電腦圖。

12. P.537 Ch13 多變數函數 等高線(Level curves) 另一個瞭解兩變數函數的方式是將 z =f (x, y) 看成 是賦予平面上的點 (x, y) 一個純量場（例如在 (x, y) 的 溫度是 f (x, y)）。純量場 f (x, y) 取到同一個常數的曲線 稱為等高線或輪廓線(contour lines)。例如圖13.5 是一幅 天氣圖，圖中等高線即所謂等壓線(isobars)。如果等高 線代表的是等溫度(isotherms)的點集合，該等高線就稱 為等溫線，如圖13.6 所示。若等高線是代表電位相等的 點集合，該等高線就稱等位線(equipotential lines)。 由等高線組成的地形輪廓圖通常用來表示地球表面 的區域，其中等高線表示與海平面比較高度相等的點集 合，此類地圖稱為地形圖(topographic map)。例如，圖 13.7 的山脈表成為圖13.8 的地形圖。

13. P.537 Ch13 多變數函數 圖13.5等高線即等壓線的情形，單位是毫巴，1013 毫巴約相當於76 公分汞柱高的大氣壓。

14. P.537 Ch13 多變數函數 圖13.6等高線即等溫線的情形，單位是華氏度。

15. P.537 Ch13 多變數函數 圖13.7

16. P.537 Ch13 多變數函數 圖13.8

17. P.538 Ch13 多變數函數 例 3描繪輪廓圖(Sketching a contour map) 的圖形是一個上半球面，如圖 13.9 所示。利用對應於 c = 0, 1, 2, ..., 8 的等高線描繪曲 面 f (x, y) 的輪廓圖。 解　對任一個 c 值，方程式 f (x, y) = c 代表 xy-平面上的一個圓（或一個點）。例如，當 c1 = 0 時，等高線是 x2 + y2 = 64 代表一個半徑為 8 的圓。圖 13.10 顯示對應於上半球面 的 9 條等高線。

18. P.538 Ch13 多變數函數 圖13.9上半球面。

19. P.538 Ch13 多變數函數 圖13.10輪廓圖。

20. P.538 Ch13 多變數函數 例 4描繪輪廓圖 圖13.13 是一個由 z = y2 – x2所定出的雙曲拋物面，請畫此 曲面的輪廓圖。 解　對任一個 c 值，令 f (x, y) = c，然後在 xy-平面畫此曲線 （等高線）。當 c ≠ 0 時，每條等高線都是以直線 y =±x 為漸近線的雙曲線。若 c < 0，貫軸是水平的，例如 c = –4 時，等高線的方程式為 若 c > 0，貫軸是鉛直的，例如 c = 4 時等高線方程式為 如果 c = 0，等高線是兩條相交的漸近線 y =±x 代表退化的 情形，請見圖13.12。

21. P.538 Ch13 多變數函數 圖13.13雙曲拋物面。

22. P.538 Ch13 多變數函數 圖13.12雙曲等高線（間距為2)。

23. P.539 Ch13 多變數函數 例 5Cobb-Douglas 生產函數 廠商估計生產函數為 f (x, y) = 100x0.6y0.4，其中 x 代表勞 力，y 代表資本。請對 x = 1000，y = 500 和 x = 2000， y = 1000 兩種狀況下的產量作比較。 解　當 x = 1000 和 x = 500 時，產量是 f (1000, 5000) = 100(10000.6)(5000.4) ≈ 75,786 而當 x = 2000 和 y = 1000 時，產量是 f (2000, 1000) = 100(20000.6)(10000.4) ≈ 151,572 圖13.13 顯示 z =f (x, y) 的等高線。注意到當 x 和 y 同時 加倍的時候，產量只是加倍而已。

24. P.539 Ch13 多變數函數 圖13.13等高線（間距 10,000)。

25. P.539 Ch13 多變數函數 等位面 若將等高線的概念擴充一個維度，就得到等位面。 當 f 是三個變數的函數並且 c 是一個常數，方程式 f (x, y, z) = c 所定出的圖形是函數 f 的一個等位面，如圖 13.14 所示。 工程師和科學家利用電腦發展其他的方法來觀察三 變數的函數。圖13.15 是以電腦模擬用不同的顏色表示 車門上各點在應變時受力分佈的最適狀態。

26. P.539 Ch13 多變數函數 圖13.14f 的等位面。

27. P.539 Ch13 多變數函數 圖13.15

28. 描述函數 f (x, y, z) = 4x2 + y2 + z2的等位面。 解　每一個等位面都由方程式 4x2 + y2 + z2 = c定出， 因此等位面是橢球面（其平行於 yz-平面的截痕是圓） 。當 c 遞增的時候，圓形截痕的半徑隨著 c 的平方根遞 增，例如，對應於 c = 0，c = 4 和 c = 16 的等位面方程 式是 4x2 + y2 + z2 = 0 圖13.16 顯示相關的等位面。 P.540 Ch13 多變數函數 例 6等位面

29. P.540 Ch13 多變數函數 圖13.16

30. P.540 Ch13 多變數函數 電腦繪圖(Computer graphs) 電腦可以幫助繪製空間中曲面的圖形。繪圖軟體雖然不 只一套，但是大部分都利用對截痕的分析來給出三度空 間的圖。使用這類軟體時，通常需要輸入曲面方程式， 輸入曲面需要蓋住的 xy-平面區域，和要取多少截痕。 例如，畫此圖時 f (x, y) = (x2 + y2)e1 – x2 – y2 可能取出 x, y, z 的界限如下。 圖13.17 顯示刻上了 26 個平行 yz-平面的截痕的電腦繪 圖。為加強空間效果，軟體使用「隱線法」，亦即在前 端（對應最大可能的 x 值）先畫上截痕，然後，再畫新 的截痕時，軟體會決定是否只呈現截痕的一部分。

31. P.540 Ch13 多變數函數 圖13.17

32. P.541 Ch13 多變數函數 電腦曲面圖

33. P.541 Ch13 多變數函數 電腦曲面圖

34. P.541 Ch13 多變數函數 電腦曲面圖