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DÍA 16 * 1º BAD CT

DÍA 16 * 1º BAD CT. IDENTIDADES. FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS. 90º. ECUACIÓN FUNDAMENTAL Se observa en el triángulo OAB, que al ser la hipotenusa r=1, los catetos son líneas trigonométricas: AB=sen α OB=cos α Por Pitágoras: AB 2 +OB 2 =OA 2 sen 2 α + cos 2 α = r 2

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Presentation Transcript

  1. DÍA 16 * 1º BAD CT IDENTIDADES Matemáticas 1º Bachillerato CT

  2. FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 90º • ECUACIÓN FUNDAMENTAL • Se observa en el triángulo OAB, que al ser la hipotenusa r=1, los catetos son líneas trigonométricas: • AB=sen α • OB=cos α • Por Pitágoras: • AB2+OB2=OA2 • sen2 α + cos2α = r2 • sen2 α + cos2α = 1 • Cualquiera que sea el valor del ángulo. E F C A r=1 α 180º 0º O B D 270º Matemáticas 1º Bachillerato CT

  3. FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 90º • OTRA ECUACIÓN • Se observa en el triángulo OCD, que al ser la hipotenusa r=1, los catetos son líneas trigonométricas: • CD=tg α • OC=sec α • OD=r=1 • Por Pitágoras: • OD2+CD2=OC2 • 12+tg2α = sec2 α • 1 + tg2α = sec2 α • Cualquiera que sea el valor del ángulo. E F C A r=1 α 180º 0º O B D 270º Matemáticas 1º Bachillerato CT

  4. FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 90º • OTRA ECUACIÓN • Se observa en el triángulo OEF, que al ser la hipotenusa r=1, los catetos son líneas trigonométricas: • EF=cotg α • OF=cosec α • OE=r=1 • Por Pitágoras: • OE2+EF2=OF2 • 12+cotg2α = cosec2 α • 1 + cotg2α = cosec2 α • Cualquiera que sea el valor del ángulo. E F C A r=1 α 180º 0º O B D 270º Matemáticas 1º Bachillerato CT

  5. FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 90º • ECUACIÓN TANGENTE • Se observa en el triángulo OAB es semejante al triángulo OCD por tener los tres ángulos iguales. • OB AB cos α sen α • ---- = ----  -------- = ---------- • OD CD 1 tg α • Operando: • tg α . cos α = sen α • senα • tg α = --------- • cos α E F C A r=1 α 180º 0º O B D 270º Matemáticas 1º Bachillerato CT

  6. Ejercicios • Ejemplo 1 • Sabiendo que el seno de un ángulo del 2º Cuadrante vale 0’6, hallar el valor de las restantes razones trigonométricas. • Como sen2 α + cos2α = 1  (0’6)2 + cos2α = 1 • 0,36 + cos2α = 1  cos2α = 0,64  cos α = ±√0,64 = = ±0’8 • cos α = – 0’8 por estar en el 2º Cuadrante. • tg α = sen α / cos α = 0,6 / (-0,8) = - 0,75 • sec α = 1 / cos α = 1 /(-0’8) = - 1,25 • cosec α = 1 / sen α = 1 /0’6) = 5/3 • cotg α = 1 / tg α = 1 /(-0,75) = - 4/3 Matemáticas 1º Bachillerato CT

  7. Ejemplo 2 • Sabiendo que el coseno de un ángulo del 3º Cuadrante vale - 0’707, hallar el valor de las restantes razones trigonométricas. • Como sen2 α + cos2α = 1  sen2 α+ (-0,707)2 = 1 • sen2α + 0,5 = 1  sen2α = 0,5  sen α = ±√0,5 = = ±0’707 • sen α = – 0’707 por estar en el 3º Cuadrante. • tg α = sen α / cos α = - 0,707 / (-0,707) = 1 • Ejemplo 3 • Sabiendo que la tangente de un ángulo del 4º Cuadrante vale - 2, hallar el valor de las restantes razones trigonométricas. • Como 1 + tg2 α = sec2α 1 + (-2)2 = sec2α • sec2α = 5  secα = ±√5 • sec α = √5 por estar en el 4º Cuadrante. • cos α = 1 / sec α = 1 / √5 = √5 / 5 • Como sen2 α + cos2α = 1  sen2 α+ (√5 / 5)2 = 1 • sen2 α+ 1/5 = 1  sen2 α= 4/5  senα= ±2/√5senα= – 2√5/5 Matemáticas 1º Bachillerato CT

  8. Reducción al 1º Cuadrante • REDUCCIÓN AL 1º CUADRANTE • Reducir un ángulo, β, al 1º Cuad. es expresar el valor de sus razones trigonométricas en función de las razones trigonométricas de un ángulo, α, del 1º Cuad. • Para ello se toma el afijo del ángulo βsobre la circunferencia y se construye un triángulo rectángulo. • Los catetos serán los valores del seno y coseno de dicho ángulo β. • Dicho triángulo será siempre semejante a otro situado en el 1º Cuadrante, por tener los ángulos iguales y la hipotenusa la misma. • Al ser ambos triángulos semejantes, podemos identificar sus lados, obteniendo siempre una de esas dos propiedades: • |sen β| = |sen α| y |cos β| = |cos α| ; o • |sen β| = |cos α| y |cos β| = |sen α| • Siendo β un ángulo cualquiera y α un ángulo del 1º Cuadrante. 90º β β α β 0º 180º β β β β 270º Matemáticas 1º Bachillerato CT

  9. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS • ANGULOS COMPLEMENTARIOS • Se llaman ángulos complementarios los que suman 90º. • En la figura: α + β = 90º • En ellos • sen α = cos β • cos α = sen β • O expresado de otra manera: • sen (90º – α) = cos α • cos (90º – α) = sen α • EJEMPLOS • sen 30º = sen (90º - 60º) = cos 60º • cos 45º = cos (90º - 45º) = sen 45º • sen 15º = sen (90º - 75º) = cos 75º • cos 22,5º = cos (90º - 22,5º) = sen 67,5º 90º β α 0º 180º 270º Matemáticas 1º Bachillerato CT

  10. ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 90º • ANGULOS QUE DIFIEREN EN 90º • En general uno de ellos estará en el 2º Cuadrante y el otro en el 1º Cuadrante. • En la figura: β – α = 90º • En ellos • sen α = - cos β • cos α = sen β • O expresado de otra manera: • sen (90º + α) = cos α • cos (90º + α) = - sen α • EJEMPLOS • sen 105º = sen (90º + 15º) = cos 15º • cos 120º = cos (90º + 30º) = - sen 30º • sen 135º = sen (90º + 45º) = cos 45º • cos 112,5º = cos (90º + 22,5º) = - sen 22,5º β 90º α 0º 180º 270º Matemáticas 1º Bachillerato CT

  11. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS • ANGULOS SUPLEMENTARIOS • Se llaman ángulos suplementarios los que suman 180º. • En la figura: α + β = 180º • En ellos • sen α = sen β • cos α = - cos β • O expresado de otra manera: • sen (180º – α) = sen α • cos (180º – α) = - cos α • EJEMPLOS • sen 120º = sen (180º - 60º) = sen 60º • cos 135º = cos (180º - 45º) = - cos 45º • sen 150º = sen (180º - 30º) = sen 30º • cos 105º = cos (180º - 15º) = - cos 15º 90º α β 0º 180º 270º Matemáticas 1º Bachillerato CT

  12. ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º • ANGULOS QUE DIFIEREN EN 180º • Uno de ellos estará en el 1º Cuadrante y el otro en el 3º Cuadrante. • En la figura: β – α = 180º • En ellos • sen α = - sen β • cos α = - cos β • O expresado de otra manera: • sen (180º + α) = - sen α • cos (180º + α) = - cos α • EJEMPLOS • sen 210º = sen (180º + 30º) = - sen 30º • cos 225º = cos (180º + 45º) = - cos 45º • sen 240º = sen (180º + 60º) = - sen 60º • cos 195º = cos (180º + 15º) = - cos 15º 90º α 0º 180º β 270º Matemáticas 1º Bachillerato CT

  13. ÁNGULOS QUE SUMAN 360º • ANGULOS QUE SUMAN 360º • Uno de ellos estará en el 1º Cuadrante y el otro en el 4º Cuadrante. • En la figura: α + β = 360º • En ellos • sen α = - cos β • cos α = sen β • O expresado de otra manera: • sen (360º - α) = - cos α • cos (360º - α) = sen α • EJEMPLOS • sen 300º = sen (360º - 30º) = - cos 30º • cos 315º = cos (360º - 45º) = sen 45º • sen 330º = sen (360º - 30º) = - cos 30º • cos 345º = cos (360º - 15º) = sen 15º 90º α 0º 180º 270º β Matemáticas 1º Bachillerato CT

  14. ÁNGULOS NEGATIVOS • ANGULOS NEGATIVOS • Todo ángulo negativo se corresponde con otro positivo, simétrico respecto al eje de abscisas. • En general el ángulo negativo estará en el 4º Cuadrante y su simétrico en el 1º Cuadrante. • En la figura: α = - β • En ellos • sen α = - sen β • cos α = cos β • O expresado de otra manera: • sen (- α) = - sen α • cos ( - α) = cos α • EJEMPLOS • sen ( - 30º) = - sen 30º • cos (- 45º) = cos 45º 90º α 0º 180º β 270º Matemáticas 1º Bachillerato CT

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