第 7 章 线性代数基础

1. 第7章 线性代数基础

2. 7.1行列式

3. 8.1.1 行列式的定义

4. n阶行列式

5. 范德蒙 (Vandermonde)行列式

6. 8.1.3 克拉默法则(Cramer's rule) • 如果线性方程组 的系数行列式 D不等于零，即 则，方程组有唯一解

7. 其中 Dj(j=1,2,…,n) 是把系数行列式 D中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式。即 j 列 推论如果线性方程组无解或解不唯一，则它的系数行列式必为零。

8. 齐次方程组 线性方程组 右端的常数项全为零时，称为齐次方程组。

9. 非齐次方程组 右端的常数项 b1,b2,…,bn不全为零时，称为非齐次方程组。

10. 对齐次线性方程组的解 xi=0 (i=1,2,…,n) 一定是它的解，这个解叫做齐次方程组的零解。如果有一组不全为零的解是齐次方程组的解，则它叫做齐次方程组的非零解。

11. 定理 如果齐次线性方程组的系数行列式 D0，则齐次线性方程组没有非零解。 定理如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零。

12. 7.2 矩阵的概念和运算

13. 例 线性方程组 的系数也可排列成一个 m 行 n 列的数表。

14. 矩阵(matrix) 由 mn个数排成 m 行 n 列的数表 称为 mn矩阵，通常用大写英文字母表示，记作 Amn。其中 aij表示位于矩阵中第 i行第 j 列的数，称为矩阵的元素。在不需要将矩阵元素一一写出时，还可以将矩阵简单表示为 A=(aij)mn

15. 对角矩阵 方阵左上角 a11 到右下角 ann的直线段，称为方阵的主对角线。除了主对角线上的元素，其它元素均为零的方阵称为对角矩阵。即

16. 单位矩阵若主对角线上的元素全为1的对角矩阵，称为单位矩阵，记作 E。即

17. 上三角矩阵 主对角线下方的元素全为零的方阵，称为上三角矩阵。即

18. 下三角矩阵 主对角线上方的元素全为零的方阵，称为下三角矩阵。即

19. 矩阵的乘积 设 A,B分别为 ms和 sn矩阵 的元素 而 mn矩阵 则称矩阵 C为矩阵 A与 B的乘积，记作AB，即 C=AB

20. 注 （1）矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下，ABBA； （2）不能推出 或 ； （3）矩阵乘法不满足消去律，即在一般情况下， 若 ，且 ，不能推出 。

21. 矩阵乘法的运算规律： (1) (AB)C=A(BC)； (2) A(B+C)=AB+AC， (B+C)A=BA+CA； (3) (AB)=(A)B=A(B)； (4) 若 E是单位矩阵，则 AE=A，EB=B。 （A,B,C为矩阵， 为任意常数）

22. 幂设 A 是 n 阶方阵，则称 Ak=AA…A (k 个 A 相乘) 为矩阵 A 的 k 次幂。 注 矩阵幂的定义只有对方阵才有意义。 幂的运算规律： (1) AkAl=Ak+l； (2) (Ak)l=Akl。 （A 为矩阵，k,l为正整数）

23. 伴随矩阵行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij所构成的如下矩阵 称为矩阵 的伴随矩阵。 定理 对方阵 ，成立

24. 逆矩阵(inverse matrix) 设 A是方阵，若存在方阵 B，使得 则称 A是可逆的，B称为 A的逆矩阵，记为 ， 即

25. 逆阵的运算规律： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ( A,B均为 n 阶可逆方阵，0为任意常数)

26. 定理 方阵 A可逆的充要条件是 ，且当 A可逆时 其中 A* 为方阵 A的伴随矩阵。 奇异(singular)矩阵 (不可逆矩阵)对 n阶方阵 A，若行列式 detA=0，则称矩阵 为奇异矩阵或退化矩阵。 非奇异矩阵 对 n阶方阵 A，若行列式 ，则称方阵 A为非奇异矩阵或非退化矩阵。

27. 第三节 矩阵的初等变换

28. 矩阵的初等行变换 对矩阵 A 施以下面三种变换，称为矩阵的初等行变换： （1）互换 A 的两行； （2）将 A 的某行各元素乘以同一非零常数； （3）把 A 的某行各元素乘以非零常数后加到另一行相对应的元素上。

29. 矩阵的初等变换矩阵的初等行变换与列变换，统称为矩阵的初等变换。矩阵的初等变换矩阵的初等行变换与列变换，统称为矩阵的初等变换。 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换（以行变换为例）： （1）rirj rirj； (2) rik  ri1/k； (3) +krirj krirj

30. 若矩阵 A 中的所有 r+1 阶子式全等于0时，那么由行列式的性质知，所有高于 r+1 阶的子式也全等于0，因此，矩阵 A 的秩 r(A) 就是矩阵 A 中不等于0的子式的最高阶数。 行阶梯形矩阵 若矩阵中每行的左边第一个非零元素出现在上一行左边第一个非零元素的右边，称此矩阵为行阶梯形矩阵。 满秩矩阵若 A 是 n 阶方阵，则当 r(A)=n 时，称 A 是满秩矩阵，否则称 A 是降秩矩阵。 由于满秩矩阵的 n 阶子式即行列式 detA≠0，因此满秩矩阵是可逆矩阵，而降秩矩阵是不可逆矩阵。

31. 例行阶梯形矩阵 r(A)=4

32. 例行阶梯形矩阵 r(A)=3

33. 定理矩阵经初等变换后，其秩不变。 求矩阵的秩的简便方法 对矩阵 A 作初等行变换将其化为行阶梯形矩阵，则非零行向量的个数即是矩阵 r(A) 的秩。

34. 定理 若 A 是可逆矩阵，则将 A 化为单位矩阵 E 的初等行变换恰好将 化为 注（1）对矩阵 只能施以行初等变换求逆阵，不得出现列初等变换； （2）若不知矩阵 A 是否可逆，也可对矩阵 施以行初等变换，如果左边子块中有一行（或列）的元素都为零，则 A 不可逆。

35. 线性方程组中

36. 则方程组可表示为矩阵形式 AX=b

37. 增广矩阵

38. 标准阶梯形把增广矩阵 化为阶梯形，而且通过初等行变换，还可以使阶梯形每行第一个非零元素为1，并且这个1的同列其他元素都为零，这样的矩阵称为标准阶梯形。

39. 定理 设线性方程组 AX=B 的系数矩阵为 A，增广矩阵为 (A:B)，则 （1）当 r(A:B)>r(A)，方程组无解； （2）当 r(A:B)=r(A)=n，方程组有唯一解； （3）当 r(A:B)=r(A)=r<n，方程组有无穷多解（有 n-r 个自由未知量）

40. 推论设有齐次线性方程组 的系数矩阵为 A，则 （1）当 r(A)=n，方程组仅有唯一零解； （2）当 r(A)=r<n，方程组有无穷多解（有 n-r 个自由未知量）。

41. 相容的 设线性方程组 AX=B 的系数矩阵为 A，增广矩阵为 (A:B)，当 r(A:B)=r(A) 时，称方程组 AX=B 是相容的，当 r(A:B)>r(A) 时，称方程组 AX=B 是不相容的。

42. 线性组合(linear combination) 若1,2,…,m 是 m 个 n 维向量，k1,k2,…,km 是 m 个实数，则称k11+k22+…+kmm为向量组1,2,…,m 的线性组合。 线性表出(linear expression)若和1,2,…,m 都是 n 维向量，k1,k2,…,km 是 m 个实数，满足 =k11+k22+…+kmm 即 为向量组1,2,…,m 的线性组合,则称可由向量组1,2,…,m线性表出.

43. 线性相关(linear dependence)设1,2,…,m 是 m 个 n 维向量，若存在一组不全为零的数k1,k2,…,km，使得 k11+k22+…+kmm=0 成立，则称向量组1,2,…,m 线性相关；若上式当且仅当k1=k2=…=km=0 时成立，则称向量组 1,2,…,m 线性无关(linear independence)。

44. 定理（1）m 个 n 维向量 1,2,…,m 线性相关的充要条件是其中一个向量可由其余 m1 个向量线性表出。 （2）两个 n 维向量线性相关的充要条件是对应的分量成比例； （3）一个向量线性相关的充要条件是这个向量为零向量。

45. 齐次线性方程组 也可表示为向量形式

46. 齐次方程组是否有非零解，就相当于是否存在一组不全为零的数：x1=k1, x2=k2 ,…, xm=km使线性关系式k11k22…kmm=0成立。

47. 定理m 个 n 维向量 线性相关的充要条件是齐次线性方程组

48. 有非零解，也等价于矩阵 的秩。

49. 例设为向量空间中的一组向量, 则 为子空间.

50. 等价 设两个 n 维向量组(I) 1,2,…,s (II) 1,2,…,t 若向量组(I)中的每个向量可由向量组(II)线性表出，而向量组(II)中的每个向量也可由向量组(I)线性表出，则称向量组(I)与向量组(II)等价。 向量组(I)和(II)等价 等价关系的性质： （1）反身性： （2）对称性： （3）传递性： （A,B,C为三个向量组，～表示等价）