第五章线性规划

第五章线性规划 线性规划模型线性规划的图解单纯形法原理单纯形法单纯形表单纯形的理论分析人工变量法

§5.1　线性规划的数学模型 一、问题的提出例1：生产计划问题：问：甲乙各生产多少，使企业利润最大？

解:设产品甲、乙各生产x1 ， x2公斤 设总利润为Z，则：资源约束变量非负约束

二、线性规划模型的一般特点 1、决策变量：向量(x1…xn)T 2、目标函数：Z=ƒ(x1…xn)线性式，　　　　 3、约束条件：线性等式或不等式行动方案明确的目标要求，极大或极小反映了客观限制条件。 cj为价值系数线性规划模型的一般形式： Max(Min) z=c1x1+c2x2+……+cnxn a11x1+a12x2+……+a1nxn≥(=或≤)b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn≥(=或≤)b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn≥(=或≤)bm xj(j=1,…,n) ≥(≤) 0，或者没有限制约束方程 s.t. 变量约束

三、常用的线性规划模型 例2：资源合理利用问题：某厂生产A、B两种产品，都需用煤、金属材料、电力等资源，各产品对三种资源的消耗及可供利用的资源如表2示：表2：问：应如何安排生产，使企业获利最大？

解：设产品A、B产量分别为变量x1 ， x2（吨），则：

例3、合理下料问题： 有一批长度为180厘米的钢管，需截成70、52和35厘米3种管料。它们的需求量分别不少于100、150和100根。问如何下料才能使钢管的消耗量为最少？先找出各种可能的下料方式：（再在各种可能的下料方案中去选择）设在180厘米长的钢管上能下出u个70厘米管料，v个52厘米管料， w个35厘米，则满足约束条件： 70u+52v+35w≤180，其中，u，v，w只能是正整数。　从最大尺寸管料下起：

各种可能的下料方案：

解：设按第j种方案下料的原材料为xj根 minZ= 5x1 + 6x2＋23x3+5x4+24x5+6x6+23x7+5x8 2x1+ x2 +x3+x4≥100 2x2 +x3+ 3x5+2x6+x7 ≥150 x1+x3+3x4+ x6+3x7+5x8≥100 xi0 (i =1,…,8)，且为整数

例4：运输问题 问：如何安排运输，使运输费用最小？

解：设xij为第i个矿山运到第j个冶炼厂的矿石量 MinZ=1.5x11+2x12+0.3x13+3x14+7x21+0.8x22+1.4x23+2x24 +1.2x31+0.3x32+2x33+2.5x34 (万元) x11+x12+x13+x14=100 x21+x22+x23+x24=80 x31+x32+x33+x34=50 x11+x21+x31=50 x12+x22+x32=70 x13+x23+x33=80 x14+x24+x34=30 xij≥0(i=1,2,3。　j=1,2,3,4) 第i个矿山的产量第j个冶炼厂的需求量

例5：投资方案选择问题（0－1规划）

又要求：方案1和2只能选择其中一种，不能兼而实现，并且，选择方案2，则方案3必须与2同时选择，或者都不选择。又要求：方案1和2只能选择其中一种，不能兼而实现，并且，选择方案2，则方案3必须与2同时选择，或者都不选择。现该公司可供支配的资金总额为：第一年有650万元，第二年仅有460万元。要求技改后，至少增加出油能力500桶/天，但又不得超过1100桶/天，确定该公司总经济效益最大的投资方案。解：1）确定决策变量：方案的选择只有两种状态，选或不选，设xj（j=1,…,5）为第j方案的取舍，有： 2）目标函数： max Z=100x1+200x2+50x3+30x4+20x5

3) 约束条件：（投资总额约束（第一、二年），生产能力增加约束，方案制约约束，变量的取舍限制。 200x1+300x2+150x3+100x4+50x5≤650　（万元） 200x1+150x2+50x3+70x4+40x5≤460 500x1+1000x2+100x3+50x4+20x5≥500 500x1+1000x2+100x3+50x4+20x5≤1100 x1+x2≤1 -x2+x3=0 xj=1或0 (j=1,…5)

例6：人员分派问题数模（0－1规划） 每项工作只能由一个人承担，每人做每项工作的工作效率如上表所示，现在怎样安排工作使总的效率最大。

解：设xij为第i个人做第j项工作，（xij=1或0） Max Z＝0.6x11+0.2x12+0.3x13+0.1x14+0.7x21+0.4x22+0.3x23+0.2x24 +0.8x31+x32+0.7x33+0.3x34 +0.7x41+0.7x42+0.5x43+0.4x44 x11+x12+x13+x14=1 x21+x22+x23+x24=1 x31+x32+x33+x34=1 x41+x42+x43+x44=1 x11+x21+x31+x41=1 x12+x22+x32+x42=1 x13+x23+x33+x43=1 x14+x24+x34+x44=1 xij=1或0(i=1,….,4。　j=1,…,4）每个人只做一项工作每一项工作都有人做

线性规划建模小结 • 线性规划的共同点： • 要解决的问题的目标可以用数值指标反映 • 对于要实现的目标有多种方案可选择 • 有影响决策的若干约束条件 • 线性规划建立模型步骤： • 确定一组决策变量 • 确定目标函数 • 确定对决策变量的约束条件

作业：现有一家公司准备制定一个广告宣传计划来宣传开发的新产品，以使尽可能多的未来顾客特别是女顾客得知。现可利用的广告渠道有电视、广播和报纸，根据市场调查整理得到下面的数据：作业：现有一家公司准备制定一个广告宣传计划来宣传开发的新产品，以使尽可能多的未来顾客特别是女顾客得知。现可利用的广告渠道有电视、广播和报纸，根据市场调查整理得到下面的数据： • 该企业计划用于此项广告宣传的经费预算是80万元，此外要求： • 至少有200万人次妇女接触广告宣传； • 电视广告费用不得超过50万元, • 电视广告至少占用三个单元一般时间和两个单元黄金时间, • 广播和报纸广告单元均不少于5个单元而不超过10个单元。 • 试为该企业制定广告计划，使得广告所接触的未来顾客总数尽可能多，建立线性规划数学模型。

§5.2　线性规划的图解法 一、图解法求最优解的步骤对于简单的线性规划问题(只有两个决策变量的线性规划问题),我们通过图解法可以对它进行求解。思路：在直角坐标系中，描绘出约束条件和变量限制的公共区域，然后通过观察确定符合目标要求的变量的取值。求解例1中的生产计划问题：

① ② ③ ④ 1、绘出约束方程的图形 2、确定可行解域 3、绘出目标函数图形 4、确定最优解及目标函数值 x2 ④ Q8 Q4 目标函数变形得：  目标函数等值线 Q3 60  Q7 最优解   30 Q2(75,15)  ④ Q5 Q6     90 Q1 80 O 70 x1 ② ① 可行解域 ③

几个概念： • 可行解：满足线性规划所有约束条件（含约束方程与变量约束）的点。 • 可行解域：所在可行解的集合。 • 最优解：使目标函数得到极值的可行解。最优解包括：唯一最优解和无穷多最优解。 • 等值线：具有相同目标函数值的直线。 • 法向量(梯度):由目标函数系数组成的与等值线垂直的向量。

二、二维线性规划问题解的形式 1、唯一最优解 x2 2、无穷多个最优解 Max Z=x1+2x2 x1+x2≤6 x1+2x2≤8 x2≤3 xi≥0(i=1,2) 6 可行解域 4 Q3(2,3) 3 Q2(4,2) C(1,2) 目标函数的等值线 x1 6 8

3、有可行解但无最优解 max Z=x1+x2 -2x1+x2≤4 x1-x2≤2 x1,x2≥0 可行解域 x2 (1,1) 4 -2 2 x1 -2

4、无可行解 MinZ＝x1+2x2 s.t. x1+x2≤1 2x1+x2≥4 x1,x2≥0 可行域为空集，无可行解! x2 4 (1,2) 1 1 2 x1

x2 ④ Q8 Q4  Q3 60  Q7 最优解 Q2(75,15)  ④ Q5 Q6    Q1 O x1 ② ① ③ 三、线性规划的几何意义 • 线性规划的可行解域为凸多边形（凸集）。 • 可行解域凸多边形有若干个顶点，顶点的个数是有限的。 • 线性规划问题若存在最优解，则最优解必可在其可行域的某一顶点上得到。

四、单纯形法原理 　找可行解域顶点的计算方法，但不是计算所有的顶点，而是从凸集的一个顶点出发，沿着凸集的边缘逐个验算所遇到的顶点，直到找到目标函数为最优的顶点为止。如从O→ Q1→ Q2或从O→ Q4→ Q3 → Q2。 x2 ④ Q8 Q4  Q3 60  Q7 最优解 Q2(75,15)  ④ Q5 Q6    Q1 O x1 ② ①

§5.3　线性规划标准型和规范型 §1.3　单纯形法原理一、线性规划的标准型 ①约束方程均为等式方程。 ②右边常数bi为正数。 ③所有变量均为非负变量。 ④目标函数求max 1、一般形式：

或写成累加和形式： 标准型的一般形式

或写成矩阵形式： 其中：

2、化线性规划问题为标准型 (1) 约束条件为等式 ①约束方程为“≤“号，　在方程式的左端“＋”一个变量（变量≥0，称为松驰变量），原不等式化为等式约束。 ②约束方程为“≥”号　在方程式的左端“－”一个变量（变量≥0，称为剩余变量），原不等式化为等式约束。

（2）变量非负约束 若xk为无约束变量（即可≥0，也可≤0），引进两个变量xk’,xk”（均≥0），令xk=xk’－xk”。在规划模型中去掉xk这个变量。（3）约束方程右边常数非负约束在方程两边同时乘以（-1）使得约束方程右边常数变为非负

例1：把下面的线性规划模型化为标准型： 标准型为：

例2：把下面的线性规划模型化为标准型： (1)　用x4－x5替换x3，其中x4，x5≥0 (2)在第一个约束不等式≤号左端加上松驰变量x6 (3)在第二个约束不等式左边减去松驰变量x7 (4)令D＝－Z,把求min Z化成max D 得到该问题的标准型为：

二、线性规划的规范型 　　要用单纯形法求解线性规划数学模型，还需要把数学模型化成规范型。 1．基、基变量与非基变量设线性规划模型的标准型：基：设A是约束方程组的m×n维系数矩阵，B是矩阵A中m阶方阵（行列式的值不为0），则称B是线性规划问题的一个基。基变量与非基变量：与基B对应的变量为基变量。其余变量为非基变量。

例1： 　　请列举出其中的三个基及对应的基变量与非基变量。个。解：从约束系数矩阵可看出，该模型的基不超过对应的基变量为x3,x4,x5,非基变量为x1,x2。

对应的基变量为x1,x3,x4，非基变量为x2,x5。 对应的基变量为x1,x2,x3，非基变量为x4,x5。

2．基本解和基本可行解 基本解：对某一确定的基，令非基变量等于0，可求出m个约束方程的基变量的值，则这组解称为基本解。基本可行解：若基本解还满足决策变量非负要求，则这组基本解称为基本可行解（也称基可行解）。

，则可以得到一个基本解 对基B1来说，令非基变量，故因为是基可行解。对基B2来说，令非基变量，则可以得到一个基本解，故因为也是基可行解。

，则可以得到一个基本解 对基B3来说，令非基变量，故因为不是基可行解。对基B4来说，令非基变量 , 则可得基本解，故因为也不是基可行解。

3．基可行解与可行解域顶点的关系 x2 ④ Q8 Q4  Q3 60 X(1)对应原点O, X(2)对应顶点Q1, X(3)对应Q7.  Q7 最优解 X(4)对应? Q2(75,15)  ④ Q5 Q6    Q1 O x1 ② ①

x2 ④ Q8 Q4  Q3 60 ①  Q7 最优解 ② ③ Q2(75,15)  Q5 Q6 x1    90 Q1 80 O ③ ② ①

定理1：线性规划的基本可行解对应于可行解域的顶 点。　　从定理1和单纯形的几何意义知，用单纯形法寻求最优解，就可从基本可行解（顶点）出发，在基本可行解（顶点）之间变换，如果L.P.有最优解，则最优解一定可在某一基本可行解（顶点）上得到。这个方法可用来求有任意多个变量的线性规划模型！ x2 ④ Q8 Q4  Q3 60 最优解  Q7 Q2(75,15)  ④ Q5 Q6    Q1 O x1 ② ① ③

4、线性规划的规范型 规范型条件： ①已是标准型；　 ②含单位基；　 ③目标函数用非基变量表示。例1：得初始基本可行解：X(1）=(0,0,540,450,720) T,Z=0。特点（1）基变量的值刚好是约束方程右边的常数；　　（2）目标函数Z的值就是目标函数表达式中的常数。

若取基变量x3,x4,x1,则基解及目标函数值？ 可把模型化成以基变量系数矩阵为单位阵的规范型：，得到基本可行解：

§5.4　单纯形法步骤 引例1：求解下列线性规划模型的最优解 ① ② ③ 解：1、确定初始基可行解取B1＝（P3P4P5）＝I，令非基变量x1,x2=0，得 X(1)＝（0,0,540,450,720）T， Z(1)＝0；（解的含义？）从规范型出发

2、判定解是否最优 目标函数　Max Z＝0+70x1+30x2 检验数：用非基变量表达的目标函数中变量前的系数Rj（判别数或检验数）。当x1从0↗或x2从0↗， Z从0↗，∴ X(1)不是最优解 3、由一个基可行解→另一个基可行解。 (1) 确定入基变量可选Rj＞0的任一变量入基。（意义？）一般地，选择max{Rj}的变量入基，选x1从0↗，保持x2 =0 (2)确定出基变量　

① ② ③ 问题：确定入基变量x1增加的上界：从约束方程组怎样求解？在①②③中，继续令x2为非基变量，即x2＝0，求出当前每个基变量出基能使x1增大的上界值。即： x3=540－3x1≥0x1≤180=540/3 x4=450－5x1≥0 x1≤90=450/5 x5=720 －9x1 ≥0 x1≤80=720/9

x3=540－3x1≥0x1≤180 x4=450－5x1≥0 x1≤90 x5=720 －9x1 ≥0 x1≤80 θ＝min{180 ,90,80}= min{540/3 ,450/5,720/9}= 80, x5出基(变为0)，即x1的取值受第三种资源的约束。 θ规则：入基变量满足约束条件下取最大值。（大中取小） (3)　求出新的基可行解新的基变量为x3,x4,x1，怎样求出新的基可行解？把模型变成以基变量的系数矩阵为单位阵的规范型。

以基变量x3,x4,x5的系数矩阵为单位阵的规范型: 新的基变量为x3,x4,x1 （1）从出基变量x5所在的方程开始：方程两边同时除以入基变量x1的系数9，得：（2）方程①②中消去x1（入基变量）：方程③两边同时乘以某个数，加到方程①②上。（3）目标函数中消去x1：从方程③中解出x1的值代入目标函数中：本质：就是线性代数中的高斯消去法——方程组同解变形.

通过以上方程的变换，原线性规划模型等价于以下模型（得到当前基表示的规范型）：通过以上方程的变换，原线性规划模型等价于以下模型（得到当前基表示的规范型）： 1’、确定出新的基可行解 X(2)＝（80,0,300,50,0）T　， Z(2)＝5600；对应图形上的Q1点。

第五章 线性规划