三垂线定理

1. 三垂线定理 漳州第一中学 李两火

2. l D1 C1 M A1 B1 D C A B 思考下面问题： 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的实木中，如何过上底面内的一点M，在上底面内画一条直线l，使它与AM垂直？

3. P A O  a 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 已知 ：PO、PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，a ，a⊥ AO. 求证： a ⊥ PA.

4. P A O  a 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直. 已知：PO、PA分别 是平面 的垂线和斜线， AO是PA在平面 内的射 影, a   ,a⊥PA. 求证：a ⊥AO.

5. P A C O B 例1、在空间四边形PABC中，P在底面ABC内的射影 为O ，若PA⊥BC，PC⊥AB. 求证： O是△ABC的垂心，且PB⊥ AC.

6. P A C O B 变式1：在空间四边形PABC中， P在底面ABC内的射 影为O ，若O是△ABC的垂心，求证： （1）PA⊥BC，PC⊥AB，PB ⊥ AC. （2）A在面PBC内的射影也是△PBC的垂心. 证明:(1)连接AO，BO，CO， 由题意知PO⊥平面ABC， 则AO，BO，CO分别为PA， PB，PC在平面ABC上的射影， ∵O是△ ABC的垂心， ∴OA⊥BC，于是PA⊥BC， 同理PC⊥AB，PB ⊥ AC.

7. P A C O B 变式2：若P为平面ABC 外一点，且PA、PB、PC两两 互相垂直，则点P在底面ABC内的射影为O为 △ABC的 （ ） (A)外心(B)内心 (C)垂心 (D)重心

8. A H P C B 变式3：已知A是平面PBC 外一点， AP⊥平面 PBC ， PC ⊥ PB，且点P在平面ABC内的射影为H. 求证： H为△ABC的垂心.

9. A H P C B 变式4：已知A是平面PBC 外一点， AP⊥平面 PBC ， 且△PBC是锐角三角形，点P在平面ABC内的 射影为H. 问：点H能否是△ABC的垂心？证明你的结论.

10. P F E C A B 例2、已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面 ABC ， AB ⊥ BC，且点A在PB、PC上的射影分别为 E、F. 求证：EF ⊥ PC.

11. P D A C B E 例3、已知ABCD为长方形，且AB=1，BC=a (a>0) ， PA⊥平面ABCD ，在BC边上是否存在点E， 使得PE⊥ DE ？若存在，请求出a的取值范围； 若不存在，请说明理由.

12. P N A D M B C 例4、已知ABCD为矩形，PA ⊥平面ABCD，M，N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN ⊥CD; (2)若PA=AD，求证：MN ⊥平面PCD.

13. 定 理 线射垂直 线斜垂直 逆定理 课堂小结： 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理 ：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.

14. 作业： 1.《课本》P25 6 2.《课时训练》P25 三. 1 3.《教学测试》P210 8