Tra semplicità e complessità

1. Tra semplicitàe complessità Un breve percorsointorno al temadella comprensibilità del mondo Terza tappa Luca Mari, Università Cattaneo - LIUClmari@liuc.it

2. Il punto della situazione La “nuova complessità”: • sensibilità alle condizioni iniziali • non linearità nelle relazioni tra “cause” ed “effetti” • dipendenza dalla struttura e non (solo) dalla molteplicità

3. Un esempio: dinamica delle popolazioni Si studia la variazione del numero xi di individui della popolazione al variare del tempo i Prima ipotesi: xi+1 = k xi(dinamica secondo Malthus) Dunque descriviamo la dinamica del sistema mediante un’equazione “di transizione di stato” locale

4. AdamoBrunoCarloDanieleEttore padre_di(Bruno) = Adamo antenato_di(3,Ettore) = Bruno Locale e globale • La capacità di descrizione e previsione possono essere • “locali”, cioè a breve termine • oppure “globali”, cioè complessive e quindi anche a lungo termine Un esempio: • la funzione padre_di è locale • la funzione antenato_di è globale • La forma delle funzioni: • locali: xi+1 = f(xi) oppurex(t+Dt) = f(x(t)) • globali:xi = F(i,x0) oppurex(t) = F(t,x(t0)) • Da globale a locale: f(xi)=F(1,xi) • Da locale a globale: F(i,x0)=f(…f(f(xi))…) iterato i volte

5. per esempio:x(t)= A e-Bt cos(2pCt)l’equazione dell’oscillatorearmonico smorzato Equazioni dinamiche locali e globali • Le equazioni della fisica sono tipicamente globali, dunque della forma: x(t) = F(t,x(t0)) Equazioni di questo genere forniscono una conoscenza appunto globale sulla dinamica del sistema (e da esse sono agevolmente ricavabili le corrispondenti equazioni locali)

6. Equazioni dinamiche:da locali a globali? • Vale anche il viceversa?dalla conoscenza della dinamica locale f si può ricavare la dinamica globale F ? cioè da x(t+Dt) = f(x(t)) si riesce a ottenere x(t) = F(t,x(t0)) ? • L’esempio (banale) della dinamica malthusiana: xi+1 = f(xi) =k xi xi+2 = f(xi+1) = k xi+1 = f(f(xi)) = k 2xi xi+n= k nxi • La trasformazione locale  globale è sempre possibile?

7. Un esempio: dinamica delle popolazioni /2 Le risorse presenti nell’ambiente consentono il sostentamento di un numero massimo di individui (per convenzione scelto uguale a 1);quindi: xi+1 = k(1-xi)xi(dinamica secondo Verhulst) In questo caso, per esempio: xi+2 = f(xi+1) = k (xi+1 – x2i+1)= f(f(xi)) = k (k (xi–x2i)– k 2(xi–x2i)2) L’espressione analitica della dinamica globale F è talmente complessa che per calcolare F(t,x0) occorre, di fatto, calcolare l’iterazione f(…f(f(f(x0)))…) t volte

8. “Caos deterministico” • La dinamica del sistema non può essere prevista, e l’unico modo possibile per conoscerla è di “seguirla”, cioè di calcolarla passo-passo (e quindi iterativamente) • Si tratta di una imprevedibilità dovuta non alla presenza del caso ma alla conoscenza solo locale del sistema

9. Un nuovo paradigma • Tradizionalmente: • equazioni a variabili globali e continue(conoscibilità ideale sia macro sia micro) equazioni differenziali • Alternativamente: • equazioni a variabili locali e discrete(conoscibilità limitata sia macro sia micro) equazioni iterative

10. Iteratività: un esempio Indicando z=(x,y) e z0=(x0,y0): zi+1 = zi2 + z0 …