科学计算软件第二章

科学计算软件第二章 基本概念 (上)

初学者易犯的错误 • 大小写错误 • 括号错误：三种括号的不同用途，注意括号要匹配 • 函数使用错误：Sinx • 空格符号错误：相乘时要加空格或用乘号 • 未清除某些变量的先前定义或赋值 • 建议 • 检查语法、拼写错误 • 出错时重启内核

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2.1 常数 • Pi或π：圆周率 • E或e：自然对数的底 • Degree：Pi/180，可用于将角度转化为弧度（mathematica中三角函数以弧度为单位） • GoldenRatio：黄金分割比，系统中默认的二维图形的宽高比 • Infinity或 ∞：无穷大，系统中作为一个特殊的常数 • EulerGamma：欧拉常数

2.1 常数 • 例1 计算出Pi的50位有效数字的近似值 N[Pi,50] • 例2

2.2 内置函数 • 函数可以用函数名表示，也可采用基本输入模板，如：Sqrt[x]或表示x的平方根。 • 注意下述语句的区别 2^(0.5) 2^(1/2) 2^(1/2.0) • 例3 Sqrt[1521]

2.2 内置函数 • 例4 高次方根 8^(1/3) (-8)^(1/3) • 例5 N[Sqrt[2]] N[Sqrt[2],50]

2.2 内置函数 • Abs[x]：求实数x的绝对值或复数x的模 • 例6 Abs[5] Abs[-5] Abs[5+12I]

2.2 内置函数 • Sign[x]:返回x的符号，0的符号为0 • 例7 Sign[-27.5] Sign[0] Sign[6.254] • Plot[Sign[x],{x,-2,2}]

2.2 内置函数 • 对正整数n，阶乘定义为n!=1*2*…*(n-1)*n，通常小数没有阶乘，像0.5！，0.65！都是错误的。 • 将Gamma函数定义为非整数的阶乘，因为当x是正整数n的时候，Gamma函数的值是n-1的阶乘。 • Γ(x)=∫e^(-t)*t^(x-1)dt (积分下限是零,上限是+∞) (x<>0,-1,-2,-3,……) • 可以证明Γ(x)＝(x-1)*Γ(x-1)，所以当x是整数n时，Γ(n)=(n-1)(n-2)……＝(n-1)!，这样Gamma 函数实际上就是阶乘的延拓。

2.2 内置函数 • Factorial[n]或n!给出n的阶乘 • 特别地，0的阶乘定义为0!=1 • 例8 5! 0! Factorial[3.5]

2.2 内置函数 • 随机数生成器在概率论与统计分析中非常有用 • Random[ ]：给出区间[0,1]上均匀分布的伪随机数 • Random[类型]：给出指定类型的均匀分布的伪随机数。类型包括Interger，Real和Complex。对整型和实型，返回值的范围为0到1，对复型，返回值范围为0和1+i确定的矩形内。 • Random[类型,范围]:返回指定范围内均匀分布的伪随机数 • Random[类型,范围,n]:返回指定范围内均匀分布的有n位有效数字的伪随机数

2.2 内置函数 • 例9 Random[Integer] Random[Real] Random[Complex] Random[Real,5] Random[Real,{3,5}] Random[Real,{3,5},10] Random[Integer,{1,10}] Random[Complex,{2+I,5+6I}]

2.2 内置函数 • prime [praim] • n. 最初, 青春, 精华 • adj. 主要的, 最初的, 有青春活力的, 最好的, 第一流的, 根本的, [数]素数的 • v. 预先准备好, <口>让人吃(喝)足, 灌注, 填装 • Prime[n]：给出第n个素数 • 例10 求出第7个素数 Prime[7]

2.2 内置函数 • Fibonacci • numbers[复][数]斐波纳契数列(一种整数数列, 其中每数等于前面两数之和) • 1，1，2，3，5，8，13，21 • Fibonacci[n]：给出第n个斐波纳契数 • 例 11 Fibonacci[7]

2.2 内置函数 • Mathematica中有三种对实数取整的方式 • Round[x]：返回最靠近x的整数，若小数部分恰好为0.5，则返回最靠近的偶数 • round vt. 弄圆, 使成圆形, 绕行, 四舍五入 • Floor[x]：返回不超过x的最大整数，或称为向负无穷方向取整 • floor n. (房间, 走廊等的)地面, 地板, 基底, (室内的)场地, 层, 海底, 议员席

2.2 内置函数 • Mathematica中有三种对实数取整的方式 • Ceiling[x]：返回不小于x的最小整数，又称为向正无穷方向取整 • ceiling n.天花板, 最高限度 • 例 12 Round[5.75] Floor[5.75] Ceiling[5.75]

2.2 内置函数 • IntegerPart[x]：返回x的整数部分 • integer n. 整数 • FractionalPart[x]：返回x的小数部分 • fractional adj. 部分的, 碎片的, 分数的, 小数的 • IntegerPart[x]+FractionalPart[x]=x • 例 13 IntegerPart[4.67] FractionalPart[4.67] IntegerPart[4.67]+ FractionalPart[4.67]

2.2 内置函数 • Quotient[m,n]：返回m除以n得到的商 • quotient n. 商, 份额 • Mod[m,n]：返回m除以n得到的余数 • 例14 Quotient[17,3] Mod[17,3]

2.2 内置函数 • GCD[m,n]：返回m与n的最大公约数 • LCM[m,n]：返回m与n的最小公倍数 • FactorInteger[n]：给出n的素数分解 • 自行练习

2.2 内置函数 • Timing[表达式]：计算表达式，并返回内核所花费的CPU时间 • 例18 为了计算第1 000 000个素数，内核需要花费多少时间？ • Prime[1000000]//Timing • Timing的结果与具体机器性能有关

2.2 内置函数 • Log[x]：求x的自然对数；Log[b,x]: 求x以b为底的对数 • Exp[x]：自然指数函数 • 例 20 计算log2100 Log[100] Log[2,100] Log[2,100]//N • 注：Mathematica总是给出精确的答案

2.2 内置函数 • 基本三角函数 • 正弦、余弦、正切、正割、余割、余切 • Sin,Cos,Tan,Sec,Csc,Cot • 双曲函数 • Sinh,Cosh,Tanh,Sech,Csch,Coth • 反双曲函数 • 以上内容请同学们自学

2.2 内置函数 • 注：Mathematica中三角函数的参数以弧度为单位，可通过基本输入模板上的按钮输入角度，或者用角度乘内置常数Degree(Pi/180)以转换为弧度。 • 例23 计算sin 60o的平方 Sin[60 Degree]^2

2.2 内置函数 • Print[表达式]：显示表达式，后接分行符 • Print[表达式1,表达式2,…]：显示表达式1,表达式2,…，然后只接一个分行符 • 例27 输出字符 Print["This prints a line of text."] • 看看去掉引号会怎样？Mathematica支持中文吗

2.2 内置函数 • 例28 a=1;b=2;c=3;d=4;e=5; Print[a,b,c,d,e] • 试试将a、b、c、d、e写成列表再用Print输出

2.2 内置函数 • Mathematica中有一类函数以字母Q结尾，这些函数用来检测特定的条件，并返回逻辑值 • DigitQ • EvenQ • OddQ • SameQ • SrtingQ • IntegerQ

2.2 内置函数 • 例 29 ? PrimeQ PrimeQ[5] PrimeQ[6] • 例 30 多项式的判断 ? PolynomialQ PolynomialQ[x^2 y+x+Sqrt[y],x] PolynomialQ[x^2 y+x+Sqrt[y],y]

2.3 基本的算术操作 • 加：Plus[a,b,……]; • 乘：Times[a,b,……]; • 减：Subtract[a,b]; • 除：Divide[a,b] • 相反数：Minus[a] • 幂：Power[a,b]，Power[a,b,c]等价于a^(b^c)

2.3 基本的算术操作 • 例31 Plus[2,3,4] Times[2,3,4] Power[2,3,4]

2.3 基本的算术操作 • FullForm[表达式]：显示表达式的内部形式 • 例32 FullForm[a+b+c] FullForm[a-b] FullForm[(a*b)^c]

2.3 基本的算术操作 • 几个在特殊场合(常见于循环控制)非常有用的命令 • Increment[x]或x++：x的值自加1，返回x的原值 • Decrement[x]或x--：x的值自减1，返回x的原值 • PreIncrement[x]或++ x ： x的值自加1，返回新值 • PreDecrement[x]或--x：x的值自减1，返回新值 • AddTo[x,y]或x+=y：使x的值增加y，返回x的新值 • SubtractFrom[x,y]：使x的值减少y，返回x的新值 • TimeBy[x,y]或x*=y：将x*y的结果存入x中 • DivideBy[x,y]或x/=y：将x/y的结果存入x中

2.3 基本的算术操作 • 例33 x=3； x++ x=3 ++x 等价于 x=3; x x=x+1; 等价于 x=x+1

2.3 基本的算术操作 • 例 34 x=3;y=4; x+y x x=3;y=4; x+=y x 等价于 x=x+y

2.4 字符串 • StringLength[字符串]：求字符串长度 • StringJoin[字符串1,字符串2......]：连接字符串 • StringTake[字符串,{m,n}]：从第m个字符开始取n个字符 • StringDrop[字符串,{m,n}]：删除字符串中从第m个字符开始的n个字符 • StringInsert[字符串1,字符串2,n]：将字符串2插入字符串1的第n个字符前生成一个新字符串 • 自学

2.5 赋值、替换与逻辑关系 • Mathematica提供了两种类型的赋值 • lhs = rhs：即时赋值语句，在进行赋值时计算rhs • lhs : = rhs：延时赋值语句，以后调用时才计算rhs • 例 38 用递归定义函数时(第2.9节)，必须用“:=” f[0] = 1; f[n_] := n f[n-1] • 此处使用“=”会出错，因为这时函数还没有定义完

计算过程 f[5] ? 5 f[4] ->f[4] ? 4 f[3] ->f[3] ? 3 f[2] ->f[2] ? 2 f[1] ->f[1]=1 f[0] = 1; f[n_] := n f[n-1]

2.5 赋值、替换与逻辑关系 • 例 39 定义分段函数时(第2.9节)，必须使用“:=” g[x_] := x^2/;x>=0 g[x_] := -x^2/;x<0 • 定义时并不计算，只有具体代入x的值后才计算 • 第一章的例子 x=3 f[x_]=Sin[x] Plot[f[x],{x,0,2 Pi}] • 问题出现在哪里？

2.5 赋值、替换与逻辑关系 • 替换：要计算表达式的值，而又不想给某个符号赋值，可以使用替换符号/. • 例 41 假设要计算x=3时表达式x^2+5x+6的值，而又不想给x赋值 x^2+5x+6/. x->3 ?x • 如果x之前有值，这样处理可不可行？

2.5 赋值、替换与逻辑关系 • /.也可以用来把一个表达式替换为另一个表达式 • 例 42 Sqrt[2x+3]+(2x+3)^2/.2x+3->3y+5 • 例 43 一次进行多个替换 2x+3y/.{y->x,x->y}

2.5 赋值、替换与逻辑关系 • 逻辑关系(比较关系) • Equal[x,y]或x==y：等值判断 • Unequal[x,y]或x!=y：不等值判断 • Less[x,y]或x<y：小于关系判断 • Greater[x,y]或x>y：大于关系判断 • LessEqual[x,y]或x<=y：小于等于关系判断 • GreaterEqual[x,y]或x>=y ：大于等于关系判断 • 注1：Equal和Unequal可用于非数值量的比较 • 注2：“=”表示赋值或定义，“==”表示判断

2.5 赋值、替换与逻辑关系 • 例 44 1 == 2 1 != 2 1 <= 2 a+a == 2a 2 == 2 2 != 2 2 <= 2 a < a

2.5 赋值、替换与逻辑关系 • 逻辑运算 • And[p,q]或p&&q或p∧q：逻辑与 • Or[p,q]或p||q或p∨ q：逻辑或 • Xor[p,q]或p：逻辑异或 • Not[p]或 !p 或 ¬p：逻辑非 • Implies[p,q] p ⇒ q：逻辑蕴含

2.5 赋值、替换与逻辑关系 • 例 45 利用Mathematica验证逻辑分配律 p ∧ (q ∨ r)=(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) lhs=p&&(q || r); rhs=(p&&q)||(p&&r); lhs == rhs *逻辑表达式可使用LogicalExpand命令进行比较* LogicalExpand[lhs] ŠLogicalExpand[rhs]

科学计算软件 第二章