初中数学教学中容易混淆的几个问题 福建省三明市三元区教师进修学校 徐建平

1. 初中数学教学中容易混淆的几个问题 福建省三明市三元区教师进修学校 徐建平

2. 一、“近似数260000”和“近似数26万”

3. 一、“近似数260000”和“近似数26万” 近似数260000，精确到个位，有6个有效数字，它的精确值 满足259999.5≤ ＜260000.5；而近似数26万，精确到万位，有2个有效数字，它的精确值x满足25.5万≤ ＜26.5万．前者约等于26万个1，后者约等于26个万，两者是不相同的.

4. 例4：据中国统计信息网公布的2000年中国第五次人口普查资料表明，我国的人口总数为1295330000人.请按要求分别取这个数的近似数,并指出近似数的有效数字(数据来源:www.stats.gov.cn)例4：据中国统计信息网公布的2000年中国第五次人口普查资料表明，我国的人口总数为1295330000人.请按要求分别取这个数的近似数,并指出近似数的有效数字(数据来源:www.stats.gov.cn) ⑴精确到百万位；　⑵精确到千万位； ⑶精确到亿位； ⑷精确到十亿位； 教科书本例的解答是： 解 ⑴精确到百万位，就得到近似数1295000000，用科学记数法记作1.295× .这个数有4个有效数字,分别是1，２，９，５； 　　 ⑵、 ⑶ 、⑷略． (12.95亿)

5. 据生物学统计,一个健康的成年女子体内每毫升血液中红细胞的数量约为420万个，用科学记数法可表示为（ ）. 参考答案是4.2×106个.

6. 二、“”和“”

7. 二、“”和“” 在 中，已知的分式是 ，由于x有等于零的可能，所以 不能变为 ；而 中，已知的分式是 ，这就隐含着条件x≠0，所以 可以变形为 ．教学中，容易因 不成立，而误认为 也不成立． 二、“”和“” 在 中，已知的分式是 ，由于x有等于零的可能，所以 不能变为 ；而 中，已知的分式是 ，这就隐含着条件x≠0，所以 可以变形为 ．教学中，容易因 不成立，而误认为 也不成立． 二、“”和“” 在 中，已知的分式是 ，由于x有等于零的可能，所以 不能变为 ；而 中，已知的分式是 ，这就隐含着条件x≠0，所以 可以变形为 ．教学中，容易因 不成立，而误认为 也不成立． 二、“”和“” 在 中，已知的分式是 ，由于x有等于零的可能，所以 不能变为 ；而 中，已知的分式是 ，这就隐含着条件x≠0，所以 可以变形为 ．教学中，容易因 不成立，而误认为 也不成立．

8. 例１⑵解 例２⑵解 习题第1题解

9. 三、“数的判别”和“式的判别”

10. 三、“数的判别”和“式的判别” 数的判别，应以数的实质来确定．例如，不能因它带有根号而认为是无理数，应根据 ＝2的实质确定它是有理数；而式的判别，应以式子所呈现的表面形式来确定．例如， 的表面形式是两个单项式的和，尽管它化简的结果是单项式 ，但 仍应看作多项式．同样， 和 +1在 取实数时是恒等的，但前者称为分式，后者称为整式．教学中，常有教师将数的判别方法类比为式的判别方法，而导致错误．

12. 四、“ ＝±2”和“ ≠±2”

13. 四、“ ＝±2”和“ ≠±2” ＝±2是 ＝2或 ＝-2的合并写法，也可以写成 ＝2, ＝-2；而 ≠±2则是 ≠2且 ≠-2的合并法．在这里，既有等号与不等号的区别，也有“或”与“且”这两个连接词的区别．

14. 设关于 的一元二次方程的两个根的值分别为 ，则方程的两个根可表示为： ⑴ ⑵　　　　　　　 （逗号可以省去）； ⑶ 注意不要用“ ”这种形式，不能用“ ”这种形式. 当 互为相反数时,还可以表示为 (或 )的形式.

15. 五、“函数 =2 +3（ ≥0）”和“函数 =2 +3（0≤ ≤6）”

16. 五、“函数 =2 +3（ ≥0）”和“函数 =2 +3（0≤ ≤6）” 函数y=2 +3( ≥0)的图象是一条射 线；而函数y=2 +3 (0≤ ≤6)的图象是一条线段．因此它们是两个不同的函数，也就是说，如果两个函数的自变量取值范围不同，那么不管它们的解析式是否相同，都应是不同的函数．

17. 第80页的案例和教学建议是：例 已知摄氏温度（ＯC）和华氏温度（ＯF）有如下关系： 在平面直角坐标系中，通过描点观察点的分布情况，建立满足上述关系的函数表达式.

18. 教学中，可指导学生开展如下的活动： ① 描点：根据表中的数据在平面直角坐标系中描出相应的点. ② 判断：判断各点的位置是否在同一直线上.(可以用直尺去试，或顺次连接各点，观察所有的点是否在同一直线上) ③ 求解：在判断出这些点在同一直线上的情况下，选择两个点的坐标，求出一次函数的表达式． ④ 验证：验证其余的点的坐标是否满足所求的一次函数表达式．

19. 教学建议中本案例的解答产生漏解．虽然求出的一次函数表达式满足条件，但是由于案例给出的条件不是所求函数为一次函数的充分条件，因此建立的函数表达式不一定就是一次函数．例如，函数表达式教学建议中本案例的解答产生漏解．虽然求出的一次函数表达式满足条件，但是由于案例给出的条件不是所求函数为一次函数的充分条件，因此建立的函数表达式不一定就是一次函数．例如，函数表达式 也满足条件．事实上，满足条件的函数表达式有无数个，都要一一求出是不可能的，因此案例本身也不严谨．若将原案例改为：“……，建立满足上述关系的一个函数表达式．” 解答者就能根据自己的知识结构解答本案例．

20. 根据下列表格中 与 的对应数值, ⑴在直角坐标系中,描点画出图象; ⑵试求所得图象的函数解析式,并写出自变量 的取值范围. （ ＞0）

21. 六、“二次函数 的图象与 轴有一个交点”和“函数 的图象与 轴有一个交点”

22. 六、“二次函数 的图象与 轴有一个交点”和“函数 的图象与 轴有一个交点” 二次函数 的图象与 轴有一个交 点，已指明 是二次函数,这就包含着条件 ，二次函数 的图象与 轴的交点为 ;而函数 的图象与 轴有一个交点，没有指明 是二次函数，因此存在两种情况：(1)当 时,二次函数 的图象与 轴的交点为 .(2)当 时，一次函数 的图象与 轴的交点为 ．教学中，容易将后者混同于前者，而产生漏解.

23. 小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回．父亲看了10分报纸后，用了15分返回家．下面的图形中哪一个表示父亲离家的时间与距离之间的关系？哪一个表示母亲离家的时间与距离之间的关系？小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回．父亲看了10分报纸后，用了15分返回家．下面的图形中哪一个表示父亲离家的时间与距离之间的关系？哪一个表示母亲离家的时间与距离之间的关系？

24. 1．缺少条件“匀速”.若从家到报亭（或返回）不是匀速散步，则易知表示这个时段内离家的时间与距离之间关系的图象不是一条线段．然而，题目所提供的四个备选图形中表示这个时段内的图象却都是一条线段，即没有一个符合要求．

25. 2. 混淆概念“距离”与“路程”.若散步的路 线不呈直线形，不妨设为AB 弧（如图2），则由图2可以 看出，从家到报亭（或返回） 的散步过程中离家的距离AP （而不是路程AP弧）先由小变 大再由大变小，因此表示这个时段内离家的时间与距离之间关系的图象不是一条线段，所以题目所提供的四个备选图形没有一个符合要求．事实上，无论散步的路线是否呈直线形，在匀速条件下都有路程＝速度×时间，而不是距离＝速度×时间．显然，这里将“距离”与“路程”混为一谈.

26. 3．缺少条件“原路返回”.若从报亭到家不是按原路返回，不妨设从家到报亭的路线为AB弧（如图2），返回的路线为线段BA，则返程BA＜AB弧＝900米.但是，题目所提供的四个备选图形中表示的返程却都是900米，即没有一个符合要求．3．缺少条件“原路返回”.若从报亭到家不是按原路返回，不妨设从家到报亭的路线为AB弧（如图2），返回的路线为线段BA，则返程BA＜AB弧＝900米.但是，题目所提供的四个备选图形中表示的返程却都是900米，即没有一个符合要求．

27. 综上所述，可以将此题改为：小明的父母出去散步，从家匀速走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即原速原路返回．父亲看了10分报纸后，用了15分匀速原路返回.下面的图形中哪一个表示父亲离家的路程与时间之间的关系？哪一个表示母亲离家的路程与时间之间的关系？综上所述，可以将此题改为：小明的父母出去散步，从家匀速走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即原速原路返回．父亲看了10分报纸后，用了15分匀速原路返回.下面的图形中哪一个表示父亲离家的路程与时间之间的关系？哪一个表示母亲离家的路程与时间之间的关系？

28. 七、“作图”和“画图”

29. 七、“作图”和“画图” 几何中，作图规定只准用直尺和圆规为工具；而画图则不受工具限制，除了直尺、圆规外，还可以用三角尺、刻度尺、量角器等．因此作图不等同于画图．教学中，若不注意它们之间的关系，学生容易误认为作图和画图没有区别，可以在“作中画”,“画中作”.

30. 例1　经过平移，△ABC的顶点A移到了点D(如图1)，作出平移后的三角形. 解：如图2，过B，C点分别作线段BE，CF，使得它们与线段AD平行且相等,连结DE，DF，EF， △DEF就是△ABC平移后的图形．

31. 例1 解答中的“过B，C点分别作线段BE，CF，使得它们与线段AD平行且相等”，超出了《数学课程标准》中“会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线”的要求．

32. 例2　如图3，将字母A按箭头所指的方向平移3cm，作出平移后的图形．例2　如图3，将字母A按箭头所指的方向平移3cm，作出平移后的图形． 解：在字母A上，找出关键的5个点(如图4所示)，分别过这5个点按箭头所指的方向作5条长3cm的线段，将所作线段的另5个端点按原来的方式连接，即可得到字母A平移后的图形.

33. 例2解答中的“作5条长3cm的线段”,这是只用直尺和圆规无法作出的，它实际上是一个作图不能问题，只能用刻度尺画出．例2解答中的“作5条长3cm的线段”,这是只用直尺和圆规无法作出的，它实际上是一个作图不能问题，只能用刻度尺画出． 由此不难看出，教科书混淆了“作图”与“画图”这两个不同的概念，把原本想要表达的“画图问题”错误地表示成“作图问题”.类似的错误这套教科书中还出现多处，在此不一一列举．

34. 事实上，教科书中的上述错误源于《数学课程标准》.其第41页图形的平移②是“能按要求作出简单平面图形平移后的图形”,然而在作简单平面图形平移后的图形时, 必须用到过已知直线外一点作这条直线的平行线，这与《数学课程标准》第38页相交线与平行线⑥“会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线” 的要求不相符． 很明显，《数学课程标准》错误地把“作图”等同于“画图”，从而导致同一阶段的教学要求前后不相符．因此应将“能按要求作出简单平面图形平移后的图形”中的“作出”改为“画出”.

35. 八、“一般梯形”和“非特殊梯形”

36. 八、“一般梯形”和“非特殊梯形” 无论是梯形还是一般梯形都是指所有的梯形，即一般梯形包含了特殊梯形（等腰梯形和直角梯形）和非特殊梯形两大类；而非特殊梯形是指等腰梯形和直角梯形之外的其它梯形.因此一般梯形与非特殊梯形之间不是同一关系，而是从属关系．教学中，常有教师错误地将梯形分类为：一般梯形、等腰梯形和直角梯形．

37. 已知:如图,线段AM//DN,直线 与AM、DN分别交于点B、C，直线 绕BC的中点P旋转（点C由D点向N点方向移动）， ⑴线段BC与AD、AB、CD围成的图形，在初始状态下，形状是△ABD（即△ABC）,请你写出变化过程中其余的各种特殊四边形名称， ⑵略 命题者给出的标准答案是：一般梯形、等腰梯形、直角梯形和平行四边形.

38. 第1题．如图1是由六个全 等的正三角形围成的图形．图 中有几个等腰梯形？简述你的 理由． 教师教学用书第141页给 出的解答为： 六个等腰梯形．如四边形ABEF是等腰 梯形，理由可以是：由∠ABO+∠BAF=3× = ，∠ABO+∠FEO= 得，对边AF, BE平行，对边AB,EF不平行，四边形ABEF是 梯形；又由∠ABO=∠FEO= ,可得这个梯 形是等腰梯形．

39. 此解的错误在于由∠ABO+∠BAF=3× = 直接得出结论对边AF,BE平行，这里必须先说明B、O、E三点在同一条直线上，只有当B、O、E三点在同一条直线上时才能得出对边AF,BE平行．此题的正确解法应是：

40. 六个等腰梯形．如四边形ABEF是等腰梯形，理由可以是：由∠BOA+∠AOF+∠FOE = 3× = 得，B、O、E三点在同一条直 线上．由∠ABO+∠BAF=3× = ，∠ABO +∠FEO= 得，对边AF,BE平行，对边AB,FE 不平行，四边形ABEF是梯形．又∠ABO=∠FEO = ，可得这个梯形是等腰梯形．同理，四边 形ABCD、四边形ABCF、四边形BCDE、四边形 CDEF、四边形DEFA是等腰梯形．

41. 第2题．如图2，在梯形 ABCD中，AB∥CD．若OA=OB， OC=OD，则梯形ABCD是等腰 梯形吗？为什么？ 教师教学用书第142页给 出的解答为： 是等腰梯形．理由是：由条件可得△AOD≌△BOC，因而AD=BC．

42. 此解的错误在于由条件直接得出结论△AOD≌△BOC，显然这里仅凭图形就认为∠AOD与∠BOC是对顶角，但是题目中并没有明确AC与BD相交于点O这个条件，因而∠AOD与∠BOC不一定是对顶角．此题的正确解法应是：

43. 是等腰梯形．理由是：过点O作EF∥AB，分别交AD、BC于点E、F（如图2）．由AB∥DC，得EF∥DC，因此∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8．而OA=OB，OC=OD，则∠1=∠3,∠5=∠7，由此∠2=∠4 ,∠6=∠8，于是∠2+∠6=∠4+∠8,即∠AOD=∠BOC.所以△AOD≌△BOC，因而AD=BC，故梯形ABCD是等腰梯形．

44. 第3题．如图3，AE=BE， DE=CE．四边形ABCD是等腰 梯形吗？为什么？ 教师教学用书第142页 给出的解答为： 是等腰梯形．理由是：由已知可得△EDC和△EAB都是等腰三角形，且顶角相同，所以∠EDC=∠A，因而DC∥AB，又由∠A=∠B，所以四边形ABCD是等腰梯形．

45. 此解的错误在于说明了DC∥AB,∠A=∠B后直接得出结论四边形ABCD是等腰梯形，而忽略了说明AD与BC不平行,这是用梯形的定义判定一个四边形是梯形的必备条件．此题的正确解法应是：此解的错误在于说明了DC∥AB,∠A=∠B后直接得出结论四边形ABCD是等腰梯形，而忽略了说明AD与BC不平行,这是用梯形的定义判定一个四边形是梯形的必备条件．此题的正确解法应是： 是等腰梯形．理由是：由已知可得△EDC和△EAB都是等腰三角形，且顶角相同，所以∠EDC=∠A，因而DC∥AB．而AD与BC交于点E，因此AD与BC不平行．又由∠A=∠B，所以四边形ABCD是等腰梯形．

46. 九、“轴对称”和“轴对称图形”

47. 九、“轴对称”和“轴对称图形” 轴对称是说两个图形的位置关系,涉及两个图形；而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形，是对一个图形说的．因此它们是不同的，当然它们也有联系，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形.反过来,如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就是关于这条直线成轴对称.

48. 十、“△ ∽△ ”和“△ 与△ 相似”

49. 十、“△ ∽△ ”和“△ 与△ 相似” △ ∽△,不仅明确了这两个三角形的相似关系,还限定了这两个三角形的对应关系,即： , , ;而△ 与△ 相似，只明确这两个三角形的相似关系,并不限定这两个三角形的对应关系，有下列六种情况:△ ∽ △ △ ∽ △ ,△∽△ , △ ∽△ △ ∽ △ , △ ∽△ ．教学中应注意，前者不需要分类讨论，而后者需要分类讨论．

50. 十一、“圆”和“圆面”