§11. 同态与不变子群

1. §11.同态与不变子群 • 11.1 自然同态 • 11.2 同态映射的核 • 11.3 同态基本定理 • 11.4 子群的同态像和逆像 不变子群，商群与同态映射之间存在几个极端重要的关系．知道了这几个关系，我们才能看出不变子群和商群的重要意义．

2. 定理１　一个群 同它的每一个商 群同态． 证明　我们规定 到 的一个法则 : 　这显然是 到 的一个满射．并且,对于 的 任意两个元 和 来说， 所以它是一个同态满射．证完． 上述 称为自然同态. 11.1 自然同态

3. 由群 的一个子群可以推测整个群 的性质．假如我们有一个不变子群 ，就同时有两个群可以供我们利用，一个是 本身，另一个是商群 ．现在定理１又告诉我们， 与 同态，这样帮助推测 的性质． 在一定意义之下，定理１的逆定理也是对的．

4. 定义　假定 是一个群 到另一个群 的一个同态 满射． 的单位元 在 之下的所有逆象所作成的 的子集叫做同态满射的核, 记为 ,即: ． 记 ,它有以下性质: (1) 是不变子群 (2) (3) (4) 11.2 同态映射的核

5. 证明: 1.分两步 1) 是子群 2) , 对于任意 2. 3. 同学自行给出. 4. 同学自行给出.

6. 定理２　 假定 和 是两个群，并且 同态，那么 这里 是同态满射的核. 证明: 证明的关键点是构造一个同构映射 (启发: 1.必然联想到 2. 离同构有多远? 3.写出 ) 可以证明 是一个 与 间的同构映射．因为： 11.3 同态基本定理

7. 1) 无歧义 ， 这就是说，在 之下 的一个元素只有一个唯一的象； 2) 是单映射.上面的过程可逆. 3) 是满射.给了 的一个任意元 ，在 里至少有一个元 满足条件 ，由定义， 这就是说， 是 到 的满射；

8. 4) 保持运算 综上所述, 证完 定理１告诉我们，一个群 和它的一个商群同态，定理２告诉我么，抽象地来看， 只能和它的商群同态，所以我们可以说，定理２正是定理１的反面．我们知道，当群 与群 同态的时候， 的性质并不同 的完全一样．但定理２告诉我们，这时我们一定找得到 的一个不变子群 ，使得 的性质和商群 的完全一样．从这里我们可以看出，不变子群和商群的重要意义．

9. 定义　假定 是集合 到集合 的一个映射． 1. 是 的一个子集, 称为 在 之下的象，它刚好包含所有 的元在 之下的象． 2. 是 的一个子集, 在 之下的逆象 刚好包含所有 中在 之下的像属于 的元. 11.4 子群的同态像和逆(原)像 回忆一个子集关于映射的像与逆像

10. 定理３　假定 和 是两个群，并且 与 同态．那么在这个同态满射之下的 （ⅰ） 的一个子群 的象 是 的一个子群； （ⅱ） 的一个不变子群 的象 是 的一个不变子群． 证明　我们用 来表示给定的同态满射 （ⅰ）假定 ， 是 的两个任意元，那么有 使得 ， 那么在 之下， (??)

11. (由于 是子群， ，因此由于 是 的在 之 下的象， ) 这样， 是 的一个子群． （ⅱ） 是 的一个不变子群，由（ⅰ），我们知 道 是 的一个子群．假定 是 的任意元， 是 的任意元，而且在 之下， (??) 是 的一个不变子群．证完．

12. 定理４　假定 和 是两个群，并且 与 同态．那么在这个同态满射之下的 （ⅰ） 的一个子群 的逆象 是 的一个子群； （ⅱ） 的一个不变子群 的逆象 是 的一个不变子群． 证明　我们用 来表示给定的同态满射． （ⅰ）假定 ， 是 的两个任意元，并且在 之下， 　　　　　　 　， ， 我们需要证明 .注意

13. 由于 是 的逆象，因而 ， ,进一步 (??),即: 所以 ．这样， 　　　　　， 是 的一个子群． （ⅱ） 既是 的一个不变子群，由（ⅰ），我们 知道 是 的一个子群．假定 是 的任意元， 是 的任意元，并且在 之下， 　　　　　　，

14. 我们需要证明 ,注意 所以 ．这样， 　　　　　　　　， 是 的一个不变子群．证完． 注: 同态满射的核是不变子群，这一件事实显然是定理４（ⅱ）的一个特例． 作业: P79: 2,3,4