Programabilitatea

1. Avantajele utilizării tehnicilor numerice în procesarea semnalelor se împart în mai multe categorii: • Programabilitate • Stabilitate • Repetabilitate • uşoara implementare a algoritmilor adoptivi • capacitatea de a implementa coduri de corecţie a erorilor şi funcţii speciale cum ar fi filtre liniare de fază.

2. Putem considera de asemenea transmisia de date, stocarea şi compresia ca domenii în care procesarea numerică are avantaje semnificative în comparaţie cu cea analogică.

3. Programabilitatea • Un motiv pentru înţelegerea universală a calculatorului numeric ( în forma PC-urilor ) este că ele sunt programabile şi reprogramabile. Noi luăm aceasta ca o recunoaştere şi putem utiliza această facilitate pentru a transforma calculatoarele din editoare de texte în console pentru jocuri în câteva semnale. Tehnologia microprocesoarelor dă acelaşi avantaj şi sistemelor de procesare numerică a semnalelor. • Este posibil să se proiecteze o cofiguraţie hardware care să poată fi programată să execute o mare varietate de operaţii de prelucrare a semnalelor, prin simpla încărcare a diferitelor programe. De exemplu, un filtru numeric poate fi reprogramat dintr-un filtru trece-jos într-un filtru trece-sus fără nici o modificare hardware. Într-un sistem analogic, întreaga proiectare necesită să fie schimbată. • În multe cazuri nu este necesară reprogramarea sistemului ci doar actualizarea operării sale. Exemplele pot include sistemele de ghidare a rachetelor unde utilizarea în condiţii de luptă poate scoate la iveală deficienţe care nu s-au văzut la experimentare. Posibilitatea de a executa aceste schimbări prin simpla înlocuire a unui dispozitiv de memorie este un avantaj semnificativ al DSP-urilor. În măsura în care se poate, actualizarea unui sistem analogic de prelucrare a semnalelor este făcută prin schimbarea valorii componentelor sale în general aceasta reducându-se la o operaţie de dezlipire şi lipire cu ciocanul de lipit. Există desigur o limită a performanţelor care pot fi modificate în acest fel.

4. Stabilitatea • Când privim înspre domeniul performanţelor ( de exemplu cum se comportă un sistem de-a lungul unei perioade de timp ), situaţia devine adesea mai proastă. Componentele incluzând rezistoare, condensatoare şi amplificatoare operaţionale, toate îşi schimbă caracteristicile o dată cu schimbarea temperaturii. Aceasta înseamnă că un circuit analogic poate lucra diferit de 0°C faţă de cum o face la 70°C. Din nou, circuitele numerice nu vor prezenta nici o variaţie cu temperatura de-a lungul gamei de temperatură în care ele sunt garantate. • O a treia formă de variaţie care afectează circuitele analogice este îmbătrânirea componentelor. În special condensatoarele sunt predispuse la îmbătrânire din cauza materialului dielctric. Aceasta va cauza o modificare a impedanţei şi o alterare a funcţionării a circuitului. Din aceste motive, în circuit trebuie prevăzute compensaţii pentru temperatură şi îmbătrânire a componentelor. Aceasta poate complica foarte mult procesul de proiectare şi poate compromite în întregime performanţele circuitului. • Privind din perspectivă, există mii de sisteme analogice utilizate pentru procesarea semnalelor, deci problemele nu sunt insurmontabile. • Totuşi ele există şi utilizarea unui procesor numeric de semnal înlătură aceste incoveniente. Pe deasupra, cicuitele DSP pot fi programate chiar să detcteze şi să compenseze anumiţi factori din partea analogică sau mecanică a unui sistem complet.

5. Repetabilitatea • Sistemele numerice sunt prin definiţie repetabile. Dacă veţi cere cinci sute de calculatoare numerice şi le veţi programa să efectueze o sumă, ele vor furniză acelaşi rezultat, exact acelaşi rezultat. Dacă veţi aplica un semnal la cinci sute de circuite analogice, construite folosind componente cu acelaşi caracteristici, cu siguranţă că nu veţi obţine acelaşi rezultat de la toate circuitele. • Motivul pentru care se întâmplă aceasta este foarte simplu-există o anumită toleranţă a performanţelor componentelor din sistemele analogice. Rezistoarele au o toleranţă specifică de aproximativ 5% din valoarea sa, însă componentele mai scumpe pot avea o toleranţă de 2% sau chiar de 1%. Condensatoarele tipice au o toleranţă de 20% sau mai slabă. În mod similar circuitele semiconductoare analogice ( sau liniare ) vor avea o gamă de specificaţii în care operarea lor este garantată, însă variaţiile din procesul de fabricaţie vor conduce la faptul că performanţele variază de la dispozitiv la dispozitiv. Aceasta înseamnă că este imposibil să se prevadă comportarea exactă a unui sistem analogic. Consecinţaacestui fapt este că, dacă este cerută o funcţionare extrem de precisă este necesară ajustarea performanţelor fiecărui sistem construit prin includerea de rezistoare sau condenstoare variabile în proiectarea sistemului şi ajustarea acestora în timpul testelor de calibrare

6. Implementarea uşoară a algoritmilor adaptivi • Cu ani în urmă, sistemele DSP s-au dezvoltat datorită faptului că puteau reduce zgomotul in cabina maşinii, elicopterului sau avionului. În cazul maşinii, zgomotul care este redus sau anulat este cauzat iniţial de către motor şi se creează rezonanţe prin vibraţia acestuia. Anularea zgomotului ia ca mărime de referinţă viteza motorului şi încearcă să producă un semnal “anti-zgomot” pentru a anula zgomotul din cabină. Există instalate microfoane în fiecare loc ce ar putea determina succesul acestei încercări. Bazat pe schimbările detectate de către microfoane, sistemul schimbă caracteristicile semnalului “anti-zgomot” până când este realizată cea mai bună reducere a zgomotului. Când viteza motorului se schimbă, sistemul se adaptează încă o dată la noua viteză a motorului. • Un sistem DSP poate să se adapteze cu uşurinţă schimbărilor învariabile externe. Algoritmul adaptiv calculează pur şi simplu noii parametrii ceruţi şi îi stochează în memoriew, sărind peste valorile precedente. În sistemele analogice este posibil doar un nivel foarte scăzut de adaptare, însă schimbarea completă a unui set complet de caracteristici a unui filtru ( cum este acela utilizat în anularea zgomotului ) este de acum înainte scopul practic al procesării analogice a semnalelor.

7. Coduri de corecţie a erorilor • Aplicarea detectării erorilor şi a corectării acestora în timpul receptării sau transmiterii datelor a devenit o problemă vitală. Compact discurile şi modemurile de date demonstrează scopul aplicării detectării erorilor şi a codurilor de corecţie. • Sistemele de recepţie şi de transmitere a datelor suferă din cauza unui număr de forme potenţiale de erori. În cazul unui compact disc este stricarea suprafeţei defecte de fabricaţie sau nealinieri ( imperfecţiuni ) mecanice. În cazul unui modem de date poate exista zgomot sau ecou pe linie, în special acolo unde linia telefonică este analogică. • Cu informaţia în forma numerică sau binară vom putea construi cu uşurinţă într-un şir de date nişte biţi adiţionali redundanţi, care sunt utilizaţi pentru a detecta când anume s-a produs o eroare în datele principale. În sistemele mai sofisticate sunt aplicati algoritmi în generarea biţilor redundanţi care vor permite să se reconstruiască datele principale originale. Primul caz nu poate fi nimic mai mult decât o veificare a parităţii; cel de-al doilea caz implică tehnici mai complexe cum ar fi coduri bloc şi corecţie de erori. Este un subiect tehnic de actualitate care este tratat in majoritatea cărţilor de transmisii numerice ( vezi cap.6 ). Texte de specialitate accesibile nu sunt uşor de găsit, şi cu toate acestea Arazi ( 1988 ) poate fi considerată ca o completă introducere în materie.

8. Funcţii speciale • Există anumite tehnici valoroase de prelucrare a semnalelor care nu pot fi executate de sistemele analogice. exemplul clasic este acela al filtrelor liniare de fază. • Un filtru digital cu răspuns la impuls finit cu o simetrie pară conjugată a coeficienţilor în jurul punctului median va poseda un răspuns de fază liniar cu frecvenţa. Un alt tip de filtru care poate cu uşurinţă să fie implementat numeric este un filtru de crestătură cu tăiere abruptă. În capitolul 4 este o explicaţie completă a filtrelor numerice incluzând un studiu detaliat a diferitelor tipuri de filtre şi utilizarea acestora. • Sistemele de control furnizează viitoare exemple care pot fi realizate doar cu tehnici numerice. Un exemplu este cunoscut sub numele de regulator factor mort ( deadbeat controller ). Acesta este utilizat acolo unde este necesar un timp de stabilire foarte rapid. • Controlerele numerice sunt de asemenea capabile să deducă viteza de la ieşirea unui encider astfel încât nu mai este necesar un tahometru separat. Aceasta în mod evident reduce costul sistemului şi-i poate creşte fiabilitatea. • Am menţionat deja compresia de date fără pierderi în transmisia şi stocarea numerică a datelor. Compresia fără pierderi nu este posibilă cu procesarea analogică a semnalului.

9. Transmisia şi stocarea datelor • Deşi anumiţi “experţi” nu sunt de acord, pentru majoritatea oamenilor, invazia cpmact discurilor aduce în casă un zgomot fidel şi de înaltă calitate. Discul negru din plastic cu pocniturile şi şuierăturile sale este din ce în ce mai mult încredinţat muzeelor. Este clar că fidelitatea unui mediu numeric este mai mare decât a unuia analogic. Capacitatea sistemelor de înregistrare redare de a introduce erori grosolane în muzică ( exemplu: pocnituri ) este binecunoscută. În afară de cazul în care un CD-player primeşte lovituri mecanice serioase, există în general puţine erori şi acelea sunt corectate numeric, fără pierderea fidelităţii. • Considerăm aici o serie de factori ca: raportul semnal-zgomot, protecţia erorilor, detectarea şi recuperarea, compresia de date, etc. • Subiectul este demn de un capitol sau chiar de o întreagă carte. Noi vă vom da doar o privire de ansamblu a câtorva diferente ( uşor de citit şi de înţeles ) observate între semnalele analogice şi cele numerice. • Continuând cu exemple din domeniul hi-fi, hai să privim raportul semnal/zgomot. Termenul se auotexplică. Ce este important este un nivel maxim al semnalului pentru un nivel minim al zgomotului. Dacă ne uităm la procesul de reproducere al muzicii de la disc la amplificatorul de putere, vom putea compara performantele sunetului unui sistem numeric cu cele ale uni sistem analogic. • Luând pentru început sistemul numeric, pe orice compact disc va exista un nivel foarte redus al zgomotului, din cauza unei mărimi eroare de cuantizare. Acest lucru este explicat în detaliu în capitolul 3 şi nu trebuie să ne facem griji în privinţa asta acum. • O dată ce discul este introdus în aparat, şirul de informaţie numerică este citit de pe suprafaţa discului cu ajutorul unui laser. În acest stadiu va exista introducere de zgomot sub forma unor erori de date cauzate de proasta fabricaţie a discului, defectarea acestuia un şoc mecanic al lămpii laser sau prastei alinieri. Din cauza unui cod special adăugat la informaţia muzicală, multe din aceste erori pot fi corectate printr-un dispozitiv special DSP instalat în interiorul aparatului.

10. Transmisia şi stocarea datelor • Cu alte cuvinte, semnalul muzical de pe CD-ul original are cuvinte de 16 biţi. Pentru a menţine acuratetea, cele mai multe calcule intermediare sunt memorate cu o acurateţe de cel puţin 32 de biţi.Cu o supraeşantionate, o valoare de 20 biţi poate fi prevăzută pentru conversie în formă de undă analogică. Astfel nu există practic pierdere de informaţie cauzată de procesarea numerică a semnalului. • Putem de asemenea să împiedicăm zgomotul cauzat de o alterare a informaţiei numerice. În circuitele numerice există doar două stări posibile: 1 logic sau 0 logic. În sistemele numerice care lucrează la 5V, diferenţa între cele două este de cel puţin 3V. Singura cale prin care semnalul poate fi alterat în timpul transmiterii sale sub formă numerică este prin introducerea unui zgomot foarte puternic care să cauzeze interpretarea a ceea ce ar trebui să fie 1 logic ca 0 logic şi invers. • Aceasta nu se întâmplă în nici un circuit numeric proiectat cu competenţă. • O dată ce toată procesarea a fost făcută, semnalul muzical numeric este trecut unui circuit special cate îl converteşte în semnal analogic, astfel încât să poată fi amplificat în mod conventional. • Conversia analog-numerică nu recrează perfect forma de undă analogică, astfel încât sunt necesare nişte filtre analogice înainte ca semnalul să fie adus la intrarea amplificatorului. • Această treaptă a filtrului analogic este privită ca nedorită şi multe tehnici ca interpolarea sau supramodularea sunt implementate prin intermediul DSP-urilor în interiorul cititoarelor de CD pentru a reduce sau a diminua necesitatea filtrelor analogice. • Ieşirea din convertorul numeric-analogic este o versiune de obicei până în 2V în amplitudine şi necesită numai un control pasiv de volum şi o amplificare de putere. • Conversia numeric-analogică este tratată in detaliu în capitolul 3. • Acum ne întoarcem la discurile LP clasice. Procesul de fabricaţie presupune matriţe pentru presarea acestor discuri. Acestea se uzează în timpul folosirii şi au o viaţă finită. În mod evident, mici diferenţe se introduc în această etapă faţă de matriţă originală din metal. Există în continuare probleme cu materialul din care sunt confecţionate aceste discuri, material care este foarte predispus distrugerii din cauza mărimii neatente, o eroare a pick-up-ului sau codiţiilor proaste de stocare. Există de asemenea o tendinţă a suprafeţei de a atrage sarcini electrostatice care se pot descărca în orice moment prin acul de pick-up. Nu există nici un mecanism de detectare sau de eliminare a acestor erori şi prin urmare zgomotul va fi generat.

11. Transmisia şi stocarea datelor • Există o mare varietate de doze proiectate să convertească smnalul mecanic ( şanţurile ) de pe disc în energie electrică. Chiar şi o ureche relativ neantrenată poate detecta diferenţe semnificative între diferitele tipuri de doze. Acurateţea cu care este făcută conversia este clar discutabilă. Dozele clasice produc la ieşire un semnal de 1-2 mV. În cazul dozelor mai ieftine, cu magnet ( electromagnetice ) această ieşire este neliniară cu frecvenţa şi necesită atât egalizare cât şi amplificare. • Semnalul de la doză este transportat printr-un cablu coaxial către egalizator/amplificator. • Cablul coaxial prezintă o bună ( deşi nu perfectă ) izolaţie faţă de interferenţele externe. Zgomotul următor va fi inevitabil introdus în egalizator/amplificator prin sursa de alimentare a circuitului, suprapunerea semnalelor, egalizarea imperfectă ş.a.m.d. • Mesajul clar care transpare din această simplă comparaţie este că informaţia numerică este mult mai robustă decât informaţia analogică. Există câteva incoveniente referitoare la procesul de conversie analog-numerică şi invers, dar cu atenţie la nişte principii simple acestea pot fi minimizate. Vezi capitolul 3 pentru o discuţie detaliată referitoare la procesele de conversie şi câteva exemple practice ale diferitelor abordări ale acestui subiect.

12. Compresia de date • Motivele pentru care compresia vorbirii imaginii şi a altor date este importantă sunt următoarele: canalele de informaţii costă bani şi strangulările în transmisie fac adesea necesară compresia datelor din constrângeri de prelucrare în timp real. Sateliţii, fibrele optice şi cablurile sunt toate scumpe de instalat şi menţinut. Scopul este astfel de a obţine maximum de informaţie transferată într-un minim de timp. • În toate exemplele de compresie analogică anumită informaţie este pierdută. Un exemplu tipic este limitarea lăţimii de bandă aplicată liniilor telefonice analogice în scopul de a multiplexa apelurile. Aceasta efectiv limitează răspunsul în frecvenţă la 3KHZ. • Cu transmisia şi stocarea numerică a datelor, există două forme de compresie: fără pierderi şi cu pierderi. În compresia fără pierderi, când informaţia este refăcută ea este neschimbată faţă de informaţia care a fost înainte de compresie. În compresia cu pierderi există anumite nivele de pierdere a informaţiei, evident în detalii fine. • În compresia vorbirii şi a imaginii, anumite degradări în calitate pot fi aproape acceptabile de către ascultător sau privitor. Când însă sunt implicate date financiare sau alte date importante în mod evident că nu este permisă nici o schimbare. Compresia cu pierderi are avantajul că permite un mai mare grad de compresie.

13. SISTEME DIGITALE (NUMERICE) • Prelucreaza semnale discrete in timp discret; • Spre deosebire de sistemele analogice, in sistemele digitale semnalele nu mai au semnificatie fizica, ele fiind codificate numeric, astfel ca singurele metode de procesare a semnalelor sunt diversele metode matematice, bazate pe operatii elementare (adunari, multiplicari, etc), ecuatii diferentiale, transformate de diferite tipuri (Fourier, Laplace, Wavelet, Z), metode estimative si statistice; • Aceste operatii pot fi efectuate fie hardware, prin diverse circuite logice, fie software, prin programe pe calculator; • Operatiile de baza, efectuate de sistemele digitale, sunt operatii de multiplicare (atenuare, amplificare), insumarea semnalelor, operatia de intarziere (cu un nr. k de esantioane);

14. SISTEME DIGITALE (NUMERICE) • Semnalul de IN al unui sistem digital este o secventa (un sir) de numere rezultate din conversia analog-numerica a semnalului analogic, iar semnalul de la IE va fi tot o secventa de numere; • Sistemul care va prelucra secventa de numere X[n] va fi un algoritm de calcul (secventa de numere de la IE sistemului se obtine in urma unor calcule); • Un semnal sinusoidal discret se obtine din semnalul analogic sinusoidal, de frecventa f si amplitudine A, fie prin esantionare intr-un sistem de achizitie de date, fie pe cale matematica:

15. Clasificarea sistemelor digitale • Sisteme discrete liniare; • Un sistem discret este liniar daca algoritmul de calcul este o functie liniara: • Sisteme discrete invariante in timp; • Sistemele invariante in timp sunt acele sisteme la care raspunsul va fi acelasi, indiferent de momentul aplicarii semnalului de IN; • Sisteme discrete cauzale / necauzale; Sistemele cauzale sunt cele la care marimea de IE nu depinde decat de valori ale marimii de IN, anterioare momentului curent. La sistemele necauzale IE depinde si de valori viitoare ale marimii de IN. • Sisteme discrete recursive / nerecursive; • Sisteme discrete stabile / instabile;

16. Tehnici (Transformate) utilizate in procesarea semnalelor digitale • Corelatia (autocorelatia); • Convolutia (produsul de convolutie); • Transformata Fourier Discreta (TFD-fft); • Transformata z; • Transformata Hilbert; • Transformata Wavelet.

17. CORELATIA • Permite recunoasterea sau identificarea semnalelor emise (radar, ECG); • Pt. un semnal (secventa) de IN x[n] si o secventa data(sablon) h[n] de lungime ct. M, corelatia se defineste:

18. CONVOLUTIA • Este unul dintre cei mai importanti algoritmi utilizati in procesarea numerica a semnalelor; • La convolutia dintre coeficientii unui sistem liniar si semnalul de IN (x[n]), esantionul curent de IE se obt. ca suma ponderata a ultimelor N esantioane ale semnalului de IN;(pt. calculul esantionului de IE sunt necesare N inmultiri si N-1 adunari); • Convolutia semnalelor poate fi determinata: • Direct:utilizand formula de def.; • Indirect: utilizand transformata Fourier (se calculeaza transf. Fourier, se face produsul semnalelor si apoi se calculeaza transformata Fourier inversa);

19. Transformata Fourier discreta-TFD • Ofera informatii despre spectrul de frecventa al unui sistem (spectrul unui semnal discret); • Este utilizata pt. esantionarea datelor vectoriale (multimea semnalelor armonice in care semnalul discret poate fi descompus); • Transforma N esantioane ale unui semnal din domeniul timp in N valori complexe din domeniul frecventa;

20. Conversia din domeniul timp in domeniul frecventa utilizand TFD

21. Legatura dintre Transformata Fourier si Transformata Fourier discreta • Considerand ca tensiunea u[nTe] provine din tensiunea u(t), esantionata cu frecventa fe=1/Te, atunci TFD poate fi privita ca un caz particular al Transformatei Fourier in care:

22. Transformata Fourier discreta rapida • Algoritm de calcul f. eficient pt. analiza unui semnal in raport cu frecventa; • Reduce nr. de calcule matematice de la N2 operatii la N/2 * log2(N); • Daca aplicam TFD unei secvente de N date, semnalul caruia ii va corespunde spectrul rezultat se obtine multiplicand prin periodicitate aceasta secventa (daca secventa nu contine un nr. intreg de perioade spectrul rezultat nu este corect);

23. Spectrul dat de TFD pt. o secventa de date

24. Transformata z • Este o unealta matematica f. utila pt. analiza si proiectarea semnalelor in timp discret; • Plecand de la Transf. Fourier in timp discret a unui semnal x[n] si notand variabila complexa z=ejω se obtine transformata z a semnalului:

25. FILTRE DIGITALE • Sunt sisteme liniare, invariante in timp si cauzalecareprelucreaza semnale discrete de la IN tot in semnale discrete la IE cu o frecventa de esantionare, pe baza unuialgoritm de calcul (operatii matematice) in vederea imbunatatirii calitatii semnalului respectiv; • Pot avea in componenta atat convertoare CAN cat si CDA, pt. conversia semnalelor, si un microprocesor (DSP, ASIC, FPGA) pentru implementarea algoritmului de control; • Pot fi intalnite atat in aplicatii casnice, cat si in telefoane celulare, radiouri,TV, sau receptoare stereo; • Pot fi realizate direct, in forma canonica sau in cascada;

26. Schema bloc a unui filtru digital

27. FILTRE DIGITALE-Descriere generala • Relatia dintre marimea de IN si cea de IE este descrisa de operatia de convolutie, in care x(n) este marimea de IN, y(n) este marimea de IE iar h(m) este raspunsul filtrului la aplicarea semnalului de tip impuls; • Functia de transfer a unui filtru digital, liniar invariant in timp, este de forma:

28. Tehnici de analiza a filtrelor digitale • Exista o multitudine de tehnici matematice pt. analiza caracteristicilor unui filtru;Majoritatea acestora pot fi incluse in etapele de proiectare (cerintele, specificatiile de proiect); • Analiza cea mai simpla a unui filtru consta in aplicarea unui semnal de intrare si vizualizarea raspunsului filtrului; • Analiza raspunsului filtrului se refera la analiza in domeniul timp si frecventa a acestuia; • Raspunsul filtrului la aplicarea unui semnal de tip impuls este cea mai utilizata tehnica;

29. Proiectarea si implementarea filtrelor digitale • Proiectarea filtrelor este un proces de determinare al coeficientilor unei ecuatii (polinom) care satisface anumite cerinte / caracteristici in urma analizei unui semnal, atat in domeniul timp cat si in domeniul frecventa; • Procesul de proiectare al filtrelor poate fi descris ca o pb. de optimizare la care fiecare cerinta contribuie cu un termen la functia eroare care trebuie minimizata;

30. Implementarea filtrelor digitale • Implementarea filtrelor digitale reprezinta un algoritm de calcul pe baza caruia marimea de IE este determinata f-ctie de marimea de IN. • Majoritatea filtrelor digitale se bazeaza pe algoritmul matematic al Transformatei Fourier Rapida (TFR), in vederea extragerii spectrului frecventei dintr-un semnal, pentru prelucrarea acestuia (de ex: pt. crearea unui filtru trece banda); • De asemenea, transformata z este utilizata pt. analiza si implementarea filtrelor digitale;

31. Cerintele reprezentative de proiectare ale filtrelor (1) • Filtrul trebuie proiectat pt. o anumita frecventa (functie frecventa / armonica); • Filtrul trece jos este utilizat pt. a bloca semnalele de frecventa inalta, in timp ce filtrul trece sus permite trecerea acestora; • Filtrul trece banda permite trecerea frecventele doar intr-un anumit domeniu, in timp ce filtrul opreste banda permite trecerea frecventelor peste sau sub un anumit domeniu (latimea benzii); • Un indicator important este raspunsul in frecventa; In f-ctie de acesta se poate decide ordinul si fezabilitatea filtrului.

32. Cerinte de proiectare-Exemplu • Sa se proiecteze un filtru digital pt. eliminarea zgomotului la f>30 Hz, dintr-un semnal achizitionat cu o frecventa de 100 Hz: • [b,a]=butter[5, 30/50]; • Y=filter(b,a,x);% dfilt • fvtool(b,a) • freqz(b,a,p): utilizeaza algoritmul FFT pt. calc. rasp in frecventa a unui filtru digital (transf. z);

33. Cerintele reprezentative de proiectare ale filtrelor (2) • Raspunsul filtrului la aplicarea unui semnal de tip impuls trebuie sa se incadreze intre anumite limite (cerinte de proiectare); • Exista o corespondenta directa intre frecventa pt. care a fost proiectat filtrul si raspunsul impuls (Transformata Fourier). Asta inseamna ca orice cerinta referitoare la raspunsul in frecventa este valabila si pt. raspunsul de tip impuls;

34. Cerintele reprezentative de proiectare ale filtrelor (3) • Filtrul trebuie sa fie cauzal, stabil si limitat; • Pt. a fi implementat orice filtru ca f-ctie de timp trebuie sa fie cauzal: raspunsul filtrului depinde doar de marimea de IN actuala si anterioara; • Un filtru stabil este acela care pt. orice limitare a semnalului de IN produce o anumita limitare in raspunsul acestuia; • In unele cazuri este important ca raspunsul filtrului sa se incadreze in anumite limite;

35. Exemple de specificatii in cadrul proiectarii unui filtru • Proiectarea unui filtru de tip FIR sau IIR a.i. sa fie implementat printr-o fdt de ordin minim; • [n,wn]=buttord([1000 2000]/5000,[500 2500]/5000,1,60) • [b,a]=butter(n,wn) • Definirea riplului sau a atenuarii semnalului in banda de trecere: • [b,a]=cheby1(4,1,[0.4 0.7])

36. Cerintele reprezentative de proiectare ale filtrelor (4) • Complexitatea algoritmului de calcul trebuie sa fie redusa; • Nr. de operatii matematice trebuie sa fie redus (ordinul filtrului sa fie cat mai mic); • Filtrul trebuie sa poata fi implementat intr-o anumita structura hardware sau software. • In functie de cerinte trebuie stabilit ce tip de filtru este necesar: analogic, digital.

37. Clasificarea filtrelor digitale • Exista doua categorii de filtre digitale: • Recursive si nerecursive; • Cu raspuns finit (FIR) si cu raspuns infinit (IIR), la aplicarea unui semnal de intrare de tip impuls;

38. Filtre cu răspuns finit la impuls Diagrama bloc a unui filtru cu răspuns finit la impuls (FIR) este prezentată în figura Semnalul de intrare X(n) este o serie de valori discrete obţinute prin eşantionarea unei forme de undă analogice. În această serie X(0) corespunde valorii de intrare la momentul t=0, x(1) este valoarea la t=ts, x(2) este valoarea la t=2ts şi aşa mai departe. Mărimea ts este perioada de eşantionare, unde

39. Filtre cu răspuns finit la impuls Blocul notat cu Z la puterea –1 este un timp de întârziere al unei perioade de eşantionare ts, cunoscut de asemenea sub denumirea de întârzierea unitate. Putem astfel vedea că valoarea notată cu x(n-1) este actualmente valoarea lui x(n) cu o perioadă înainte, deci intrarea precedentă. Similar, x(n-2) este valoarea intrării cu două perioade de eşantionare înainte. Acest fapt face ca circuitul filtrului FIR să fie extrem de simplu de înţeles. În exemplul prezentat în figura semnalul de ieşire y(n) este astfel totdeauna o combinaţie a ultimelor trei eşantioane de intrare. În schemă, fiecare eşantion este înmulţit cu un coeficient αR, pentru a da: y(n) = α0x(n) + α1x(n-1) + α2x(n-2)

40. Filtre cu răspuns finit la impuls Tabelul următor prezintă lista valorilor acţiunilor la sfârşitul zilei pe o perioadă de o săptămână. Vom utiliza aceste valori ca eşantionare de intrare, deci x(n). Valoarea pentru n=0 e considerată a fi preţul acţiunilor în ziua de luni.

41. Filtre cu răspuns finit la impuls Reprezentând grafic histograma cu aceste valori în funcţie de timp obţinem graficul din figura.

42. Filtre cu răspuns finit la impuls Vom lua filtrul FIR prezentat anterior cu următoarele valori pentru coeficienţii αR: α0=0.25; α1=0.50; α2=0.25 Filtrul arată acum ca în figură.

43. Filtre cu răspuns finit la impuls Când n=0, prima valoare a lui x(n), deci x(0) este aplicată la intrarea circuitului. Presupunând că nu au existat preţuri de vânzare pentru cele două zile precedente, valorile pentru x(n), x(n-1) şi x(n-2) la n=0 sunt: x(0)=20; x(-1)=0; x(-2)=0. Efectuând înmulţirile şi adunările, obţinem valoarea ieşirii y(0)=0.25 x 20 + 0.5 x 0 + 0.25 x 0 = 5

44. Filtre cu răspuns finit la impuls Trecând la următoarea perioadă de eşantionare, valoarea de intrare este preţul de vânzare pentru ziua de marţi iar valoarea pentru luni e deplasată către x(n-1), deci a devenit vechea valoare, cu o perioadă de eşantionare în urmă. În acest exemplu, perioada de eşantionare ts=o zi, deci n=1 şi valorile pentru x(n), x(n-1) şi x(n-2) sunt: X(1) = 20; x(0) = 20; x(-1) = 0 Rezultă că: y(1) = 0.25 x 20 + 0.5 x 20 + 0.25 x 0 = 15 Mergând mai departe la ziua de miercuri: n=2 deci x(2) = 20; x(1) = 20; x(1) = 20 Pentru joi, n=3: x(3) = 12; x(2) = 20; x(1) = 20 Remarcaţi că preţul de vânzare din ziua de luni a ieşit afară din ecuaţie. Valoarea de ieşire pentru ziua de joi este dată de: Y(3) = 0.25 x 12 + 0.5 x20 + 0.25 x 20 = 18

45. Filtre cu răspuns finit la impuls Repetând aceste calcule pentru toate valorile până în ziua de duminică (n=6) obţinem următoarele valori pentru y(n)

46. Filtre cu răspuns finit la impuls Putem reprezenta grafic aceste valori după cum se vede în figura

47. Filtre cu răspuns finit la impuls Am presupus că ieşirea din circuit va fi trecută printr-un DAC şi apoi printr-un filtru de reconstruire şi am unit punctele cu linii drepte. Putem vedea că filtrul execută un calcul în mişcare al mediei similar cu acţiunea unui filtru analogic. Există o serie de termeni care sunt specifici filtrelor numerice. Şirul funcţiilor lui Z la puterea –1 este numit lanţul de întârziere la care fiecare Z la puterea –1 corespunde unei întârzieri de o perioadă de eşantionare. Ramurile care produc lanţul de întârziere sunt numite deschideri deoarece ele sunt punctele la care deschidem o anumită proporţie a semnalului.

48. Filtre cu răspuns finit la impuls Să revenim la calculul ieşirii pentru ziua de Marţi. Valoarea care reprezintă preţul de vânzare pentru luni pur şi simplu a diminuat sfârşitul filtrului nostru. Aceasta a fost pe deplin aşteptat din moment ce am spus mai devreme că ieşirea va depinde numai de eşantionul prezent de intrări, de unde şi denumirea de filtru cu răspuns finit la impuls.

49. Filtre cu răspuns finit la impuls Semnalul de intrare al filtrului numeric x(n) poate fi descris ca o serie de astfel de funcţii impuls ponderate, după cum se arată în figura şi folosind acestea, valoarea de intrare pentru ziua de luni poate fi descrisă astfel

50. Filtre cu răspuns finit la impuls Toate mărimile de intrare pentru celelalte zile pot fi scrise într-o manieră similară. Putem utiliza de asemenea funcţia impuls ponderată pentru a descrie filtrul însuşi. Definiţia răspunsului la impuls a filtrului este forma de undă de ieşire când o singură funcţie impuls ponderată este aplicată la intrarea filtrului la momentul t=0