Janan keskinormaali

1. Janan keskinormaali A A ja B ovat janan päätepisteet ja M sen keskipiste. M Janan keskinormaali on kohtisuorassa janaa vastaan sen keskipisteessä. AM = MB sekä janan ja suoran välinen kulma on suora. B Lause 1Janan keskinormaalin jokainen piste on yhtä kaukana janan päätepisteistä. n Oletus:Jana AB ja sillä keskinormaali n sekä mielivaltainen piste P keskinormaalilla. P Väitös: Etäisyys AP = etäisyys BP olipa P mikä tahansa keskinormaalin piste. Todistus: AB:n keskipiste olkoon M. Kolmiot APM ja BPM ovat yhteneviä koska:. A B 1) Sivu AM = sivu BM ( M janan keskipiste). M 2) Molemmissa kolmioissa on suora kulma. 3) Sivu PM on molemmille yhteinen ja siten kolmioiden yhtä suuri sivu. SKS:n mukaan kolmiot ovat yhteneviä. Yhtenevien kolmioiden vastinosina AP ja BP ovat yhtä pitkiä. Mieti todistus siinä yksikertaisimmassa tapauksessa että P sattuu yhtymään pisteeseen M. M.O.T.

2. Todistamme nyt lauseen päinvastaisessa suunnassa eli oletus ja väitös vaihtavat paikkaa: Lause 2 Jokainen piste, josta etäisyydet janan päätepisteisiin ovat samat, on janan keskinormaalilla M A B Oletus: Mielivaltainen piste P, joka on yhtä etäällä pisteistä janan päätepisteistä A ja B eli AP = BP. Väitös: Piste P on janan AB keskinormaalilla. P Todistus: Olkoon M janan AB keskipiste. Yhdistetään piste P ja janan keskipiste M. Kolmiot AMP ja BMP ovat yhteneviä koska: • AM = BM (M on AB:n keskipiste). • Sivu MP on kolmioille yhteinen. • AP = BP oletuksen mukaan. Tällöin kulma AMP = kulma BMP ja koska niiden summa on 180 astetta on molemmat 90 astetta eli suoria. Täten piste P on janan AB keskinormaalilla. Mieti tapaus, jossa Piste P on janalla AB. M.O.T.

3. Keskinormaalin ja normaalin piirtäminen harpilla ja viivaimella: P’ • Käytämme hyväksi keskinormaalin ominaisuutta: Keskinormaalin jokainen • piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä. • Piirrämme A ja B keskipisteinä saman säteiset ympyrät sellaisella • säteellä, että ne leikkaavat. A B • Ympyröiden leikkauspisteet ovat säteen etäisyydellä janan päätepisteistä • (ympyrät saman säteisiä). • Tällöin äskeisten lauseiden mukaan ne ovat myös • janan AB keskinormaalilla P • Piirretään P:n ja P’:n kautta suora, joka on janan keskinormaali. Normaalin piirtäminen suoralle suoran ulkopuolelta: • Piirretään P keskipisteenä ympyrä, joka leikkaa suoraa L pisteissä A ja B. • Leikkauspisteet A ja B keskipisteinä piirretään toisiaan • leikkaavat ympyrät. A P • Yhdistämällä piste P sekä A- ja B-keskeisten ympyröiden • leikkauspiste saadaan suoran L normaali. B L