勾股定理的用法及启发

勾股定理的用法及启发 a2+b2=c2 主讲：佛山市三水区西南街道第二中学李建豪

勾股定理是中学阶段非常重要的定理。在几何计算和证明中有着广泛的应用。俗话说得好，“学以致用”。学完勾股定理之后，就要应用。经总结和归纳，勾股定理一共有三大用法，下面我们逐一加以介绍，并从中得到一些学习上的有益启发。勾股定理是中学阶段非常重要的定理。在几何计算和证明中有着广泛的应用。俗话说得好，“学以致用”。学完勾股定理之后，就要应用。经总结和归纳，勾股定理一共有三大用法，下面我们逐一加以介绍，并从中得到一些学习上的有益启发。

B C A 用法一知道直角三角形其中两边的长度直接求第三边的长度。例1，如图，小张为测量校园内池塘A，B两点的距离，他在池塘边选定一点C，使∠ABC＝90°，并测得AC长26m，BC长24m，求A，B两点间的距离．

B C A 例1，如图，小张为测量校园内池塘A，B两点的距离，他在池塘边选定一点C，使∠ABC＝90°，并测得AC长26m，BC长24m，求A，B两点间的距离．解：∵∠ABC＝90°， ∴在Rt△ABC中, 由勾股定理得 AB2=AC2-BC2=262-242=100 ∵AB＞0 ∴AB=10(m) 答： A，B两点间的距离是10m。

用法二 把勾股定理的等量关系转化为方程进行求值。例2，如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

解：∵∠ACB＝90°， ∴在Rt△ABC中,由勾股定理得 AB2=AC2+BC2=62+82=100 ∴AB=10(cm) 由折叠得，AE=AC=6(cm)， ∴BE= AB- AE=10-6=4(cm)， ∠BED = ∠AED=∠ACB＝90° 设CD=DE=xcm, DB=8-x(cm) 在Rt△DBE中, 由勾股定理得， DB2=DE2+BE2 (8-x)2=x2+42 解得：x=3 答：CD=3cm. 6 10 6 4 x x 8-x 8

A B C 用法三把勾股定理的结果用于证明题的推理过程。例3，如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为S1，S2，S3，证明：

A B C 证明：设三个圆的半径为R1,R2,R3, S1=πR12，S2=πR22，S3=πR32 在Rt△ABC中,由勾股定理得 BC2+AC2=AB2 (2R1)2+ (2R2)2= (2R3)2 ∴R12+ R22= R32 ∴πR12+πR22=πR32 ∴

阶段小结 无论考勾股定理的题目如何千变万化，我们发现，最终都可以归结为上述的三大用法，只是应用呈现的情景不同而已。只要把上述要点消化了、掌握了，并灵活运用，勾股定理的应用问题就彻底解决了。当然，有些题目还要稍微的作一些转化，例如下面的两个典型例子。

例1 有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，若蚂蚁在侧面爬行，需要爬行的最短路程是多少？(π的值取3).

C B B A A 这道题目的图形是立体图形，我们需要把立体的图形转化为平面的图形进行研究和计算。在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB的长度为15厘米就是蚂蚁爬行的最短路程。 9 12 15

例2 在等腰三角形ABC中，AB=AC=10cm, BC=6cm,求三角形的面积。 A B C

这道题的解题关键是作辅助线（高AD),把锐角三角形转化为两个直角三角形，然后利用等腰三角形的“三线合一”以及勾股定理进行计算，问题就迎刃而解了。这道题的解题关键是作辅助线（高AD),把锐角三角形转化为两个直角三角形，然后利用等腰三角形的“三线合一”以及勾股定理进行计算，问题就迎刃而解了。 A B C D

最后总结 无论考勾股定理的题目如何千变万化，我们发现，最终都可以归结为上述的三大用法: (1)、知道直角三角形其中两边的长度直接求第三边的长度。 (2)、把勾股定理的等量关系转化为方程进行求值。 (3)、把勾股定理的结果用于证明题的推理过程。只是应用呈现的情景不同，要灵活审题运用。

启发经常有同学会这样说：“我平时学习已经很努力了，题目也已经做了很多，但不知为什么成绩老是提不上去”。其实根本原因在于他在学习中不善于思考，不善于总结归纳！是一个“无心人”。

启发那我们应该怎样做呢？我们平时做题，不要就题练题，不要只会题海战术，要学会多思考，多总结，由具体的题目总结、归纳出一般的解题规律和解题方法，达到举一反三的目的，从而更好的提高自己的学习效率和解题能力。只有这样才能学得更好，学得更快。总之，要做一个“有心人”。

好，内容学完了，希望同学们有好的收获，谢谢！好，内容学完了，希望同学们有好的收获，谢谢！

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