TRÓJKĄTY

1. TRÓJKĄTY Karolina Szczypta

2. Spis treści Pojęcie ogólne Nazwy boków trójkąta Suma miar kątów Długość boków trójkąta Podział trójkątów ze względu na kąty Podział trójkątów ze względu na dł. boków Wysokości trójkątów Środkowa trójkąta Ortocentrum Istnienie trójkątów Pole trójkąta Obwód trójkąta Przystawanie trójkątów Podobieństwo trójkątów Twierdzenie Pitagorasa Wysokość trójkąta prostokątnego Trójkąty o katach 90° , 45°, 45° Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90° Trójkąt wpisany w okrąg Trójkąt opisany na okręgu Ciekawostki o trójkątach

3. TRÓJKĄT – wielokąt o trzech bokach (oraz 3 kątach) • Spis treści

4. Jeden z boków trójkąta nazywa się podstawą, a pozostałe – ramionami. • Spis treści

5. Suma miar kątów trójkąta jest równa 180°. 180o

6. Można to odczytać z rysunku a ll b a b + + = 180o • Spis treści

7. Każdy bok trójkąta ma długość mniejszą od sumy długości dwóch pozostałych boków. b c a a< b+c b < a+c c < a+b • Spis treści

8. Podział trójkątów ze względu na kąty: ostrokątny rozwartokątny prostokątny

9. Trójkąt jest ostrokątny, jeżeli wszystkie jego kąty są ostre tzn., że mają więcej niż 0º a mniej niż 90º.

10. Trójkąt jest rozwartokątny, jeżeli jeden z jego kątów jest rozwarty tzn., że miara tego kąta jest większa od 90° i mniejsza od 180°.

11. Trójkąt jest prostokątny, jeżeli ma jeden kąt prosty tzn. taki, którego miara wynosi 90º. c przyprostokątna przeciwprostokątna a b przyprostokątna • Spis treści

12. Podział trójkątów ze względu na długość boków: różnoboczny równoboczny równoramienny

13. c a b Trójkąt jest różnoboczny, jeżeli wszystkie jego boki mają różne długości;

14. Trójkąt jest równoboczny, jeżeli wszystkie jego boki mają taką samą długość. W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe i mają po 60º. α a a α α a

15. 180° - 2 α a a α α b Trójkąt jest równoramienny, jeżeli dwa jego boki mają równe długości. Boki te nazywamy wówczas ramionami trójkąta. • Spis treści

16. Każdy trójkąt ma trzy wysokości.  ostrokątny rozwartokątny prostokątny • Spis treści

17. Proste, w których zawierają się wysokości trójkąta, przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten nazywamy ortocentrum trójkąta. h3 h2 h1 • Spis treści

18. Środkowa trójkątato odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. a = ½ |AB| a a • Spis treści

19. Tabela określająca istnienie poszczególnych rodzajów trójkątów: • Spis treści

20. Pole trójkąta P = ½ * BC * h2 P = ½ * AB * h1 P = ½ * AC * h3 C h1 h2 h3 A B • Spis treści

21. Obwód trójkąta Obw = a + b +c a b c • Spis treści

22. Przystawanie trójkątów- Cecha BBB (bok, bok, bok)- Cecha BKB (bok, kąt, bok)- Cecha KBK (kąt, bok, kąt)

23. Cecha BBB ( bok, bok, bok) a = a1b = b1c = c1 a a1 c1 c b b1 Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.

24. Cecha BKB (bok, kąt, bok) a1 α = α1b = b1c = c1 α1 a α b2 Jeżeli dwa boki jednego trójkąta mają takie same długości jak odpowiednie boki drugiego trójkąta i kąty między tymi bokami mają jednakowe miary, to trójkąty są przystające. b

25. Cecha KBK (kąt, bok, kąt) α c α = α1c = c1β = β1 α1 c1 β β1 Jeżeli bok jednego trójkąta ma taką samą długość jak bok drugiego trójkąta, a kąty jednego trójkąta leżące przy tym boku mają takie same miary jak odpowiednie kąty drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające. • Spis treści

26. Podobieństwo trójkątów- Cecha BBB (bok, bok, bok)- Cecha BKB ( bok, kąt, bok)- Cecha KKK (kąt, kąt, kąt)

27. Cecha BBB (bok, bok, bok) a’ c a c’ b’ b Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne.

28. Cecha BKB Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są przystające, to trójkąty są podobne. b’ b α’ α a’ a

29. Cecha KKK Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta mają taką samą miarę jak dwa kąty drugiego trójkąta to  te trójkąty są podobne. • Spis treści

30. Twierdzenie Pitagorasa W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej równy jest sumie kwadratów długości przyprostokątnych c2 b2 c2 = a2 + b2 a2 • Spis treści

31. x h y W trójkącie prostokątnym długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną długości odcinków, na które ta wysokość podzieliła przeciwprostokątną.  • Spis treści

32. Trójkąty o kątach 90° , 45°, 45° 45 ° a 45 ° a

33. W trójkącie prostokątnym równoramiennym o przyprostokątnych długości a, przeciwprostokątna ma długość d – długość przekątnej kwadratu o boku długości a trójkąt ten jest połową kwadratu o boku a • Spis treści

34. Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90° 30° 2a a√3 60 ° a

35. Trójkąt ten jest połową trójkąta równobocznego o boku 2a • Spis treści

36. Trójkąt wpisany w okrąg • Na każdym trójkącie można opisać okrąg. • Środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta.

37. Środek okręgu opisanego na trójkącie leży: . . . • w trójkącie prostokątnym, w połowie przeciwprostokątnej, • w trójkącie ostrokątnym, wewnątrz trójkąta, • w trójkącie rozwartokątnym, poza trójkątem.

38. Promień okręgu opisanego na trójkącie • Spis treści

39. Trójkąt opisany na okręgu • W każdy trójkąt można wpisać okrąg. • Środkiem okręgu wpisanego w trójkąt jest punkt przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta.

40. Promień okręgu wpisanego w trójkąt • Spis treści

41. Ciekawostki o trójkątach

42. Trójkąt pitagorejski - to trójkąt prostokątny, którego długości boków są wyrażone liczbami naturalnymi. Przykłady trójkątów pitagorejskich: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25).

43. Trójkąt o bokach 3, 4, 5 to jedyny trójkąt prostokątny, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi. Nazywa się go trójkątem egipskim, ponieważ był używany przez Egipcjan do wyznaczania kąta prostego w terenie.

44. Trójkąt Pascala to trójkątna tablica, której pierwszy wiersz stanowi liczba 1, a każdy następny powstaje w ten sposób, że pod każdymi dwoma sąsiednimi wyrazami poprzedniego wiersza wpisuje się ich sumę, a na początku i na końcu każdego nowego wiersza dopisuje się jedynki.  Liczby widniejące w n+1 wierszu trójkąta są współczynnikami rozwinięcia n-tej potęgi dwumianu. W czwartym wierszu, na przykład, stoją: 1, 3, 3, 1, a trzecia potęga, czyli sześcian dwumianu, dany jest wzorem:       (a+b)3= a 3 + 3a2b + 3ab2 + b3

45. Trójkąt Pascala

46. a = 2n + 1, b = 2n (n+1), c = 2n²+ 2n +1 Wzór, który pozwoli nam znaleźć 3 całkowite liczby, które mogą być długościami boków trójkąta prostokątnego. n - dowolna liczba całkowita • Spis treści

47. Źródła, które użyłam: • Szczepan Jeleński, „Śladami Pitagorasa’’ • wikipedia.pl • www.math.edu.pl • www.matematykam.pl • matematyka.opracowania.pl • http://matma.eu • http://www.matmana6.pl • Matematyka z plusem. Podręcznik dla klas 1, 2 gimnazjum. Oraz rady p. B. Łuczywo i p. E. Nowakowskiej (za co bardzo dziękuję ) • Spis treści

48. Dziękuję za uwagę ! • Spis treści