590 likes | 1.23k Views
TRÓJKĄTY. Karolina Szczypta. Spis treści. Pojęcie ogólne Nazwy boków trójkąta Suma miar kątów Długość boków trójkąta Podział trójkątów ze względu na kąty Podział trójkątów ze względu na dł. boków Wysokości trójkątów Środkowa trójkąta Ortocentrum. Istnienie trójkątów Pole trójkąta
E N D
TRÓJKĄTY Karolina Szczypta
Spis treści Pojęcie ogólne Nazwy boków trójkąta Suma miar kątów Długość boków trójkąta Podział trójkątów ze względu na kąty Podział trójkątów ze względu na dł. boków Wysokości trójkątów Środkowa trójkąta Ortocentrum Istnienie trójkątów Pole trójkąta Obwód trójkąta Przystawanie trójkątów Podobieństwo trójkątów Twierdzenie Pitagorasa Wysokość trójkąta prostokątnego Trójkąty o katach 90° , 45°, 45° Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90° Trójkąt wpisany w okrąg Trójkąt opisany na okręgu Ciekawostki o trójkątach
TRÓJKĄT – wielokąt o trzech bokach (oraz 3 kątach) • Spis treści
Jeden z boków trójkąta nazywa się podstawą, a pozostałe – ramionami. • Spis treści
Można to odczytać z rysunku a ll b a b + + = 180o • Spis treści
Każdy bok trójkąta ma długość mniejszą od sumy długości dwóch pozostałych boków. b c a a< b+c b < a+c c < a+b • Spis treści
Podział trójkątów ze względu na kąty: ostrokątny rozwartokątny prostokątny
Trójkąt jest ostrokątny, jeżeli wszystkie jego kąty są ostre tzn., że mają więcej niż 0º a mniej niż 90º.
Trójkąt jest rozwartokątny, jeżeli jeden z jego kątów jest rozwarty tzn., że miara tego kąta jest większa od 90° i mniejsza od 180°.
Trójkąt jest prostokątny, jeżeli ma jeden kąt prosty tzn. taki, którego miara wynosi 90º. c przyprostokątna przeciwprostokątna a b przyprostokątna • Spis treści
Podział trójkątów ze względu na długość boków: różnoboczny równoboczny równoramienny
c a b Trójkąt jest różnoboczny, jeżeli wszystkie jego boki mają różne długości;
Trójkąt jest równoboczny, jeżeli wszystkie jego boki mają taką samą długość. W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe i mają po 60º. α a a α α a
180° - 2 α a a α α b Trójkąt jest równoramienny, jeżeli dwa jego boki mają równe długości. Boki te nazywamy wówczas ramionami trójkąta. • Spis treści
Każdy trójkąt ma trzy wysokości. ostrokątny rozwartokątny prostokątny • Spis treści
Proste, w których zawierają się wysokości trójkąta, przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten nazywamy ortocentrum trójkąta. h3 h2 h1 • Spis treści
Środkowa trójkątato odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. a = ½ |AB| a a • Spis treści
Tabela określająca istnienie poszczególnych rodzajów trójkątów: • Spis treści
Pole trójkąta P = ½ * BC * h2 P = ½ * AB * h1 P = ½ * AC * h3 C h1 h2 h3 A B • Spis treści
Obwód trójkąta Obw = a + b +c a b c • Spis treści
Przystawanie trójkątów- Cecha BBB (bok, bok, bok)- Cecha BKB (bok, kąt, bok)- Cecha KBK (kąt, bok, kąt)
Cecha BBB ( bok, bok, bok) a = a1b = b1c = c1 a a1 c1 c b b1 Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.
Cecha BKB (bok, kąt, bok) a1 α = α1b = b1c = c1 α1 a α b2 Jeżeli dwa boki jednego trójkąta mają takie same długości jak odpowiednie boki drugiego trójkąta i kąty między tymi bokami mają jednakowe miary, to trójkąty są przystające. b
Cecha KBK (kąt, bok, kąt) α c α = α1c = c1β = β1 α1 c1 β β1 Jeżeli bok jednego trójkąta ma taką samą długość jak bok drugiego trójkąta, a kąty jednego trójkąta leżące przy tym boku mają takie same miary jak odpowiednie kąty drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające. • Spis treści
Podobieństwo trójkątów- Cecha BBB (bok, bok, bok)- Cecha BKB ( bok, kąt, bok)- Cecha KKK (kąt, kąt, kąt)
Cecha BBB (bok, bok, bok) a’ c a c’ b’ b Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne.
Cecha BKB Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są przystające, to trójkąty są podobne. b’ b α’ α a’ a
Cecha KKK Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta mają taką samą miarę jak dwa kąty drugiego trójkąta to te trójkąty są podobne. • Spis treści
Twierdzenie Pitagorasa W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej równy jest sumie kwadratów długości przyprostokątnych c2 b2 c2 = a2 + b2 a2 • Spis treści
x h y W trójkącie prostokątnym długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną długości odcinków, na które ta wysokość podzieliła przeciwprostokątną. • Spis treści
Trójkąty o kątach 90° , 45°, 45° 45 ° a 45 ° a
W trójkącie prostokątnym równoramiennym o przyprostokątnych długości a, przeciwprostokątna ma długość d – długość przekątnej kwadratu o boku długości a trójkąt ten jest połową kwadratu o boku a • Spis treści
Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90° 30° 2a a√3 60 ° a
Trójkąt ten jest połową trójkąta równobocznego o boku 2a • Spis treści
Trójkąt wpisany w okrąg • Na każdym trójkącie można opisać okrąg. • Środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta.
Środek okręgu opisanego na trójkącie leży: . . . • w trójkącie prostokątnym, w połowie przeciwprostokątnej, • w trójkącie ostrokątnym, wewnątrz trójkąta, • w trójkącie rozwartokątnym, poza trójkątem.
Promień okręgu opisanego na trójkącie • Spis treści
Trójkąt opisany na okręgu • W każdy trójkąt można wpisać okrąg. • Środkiem okręgu wpisanego w trójkąt jest punkt przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta.
Promień okręgu wpisanego w trójkąt • Spis treści
Trójkąt pitagorejski - to trójkąt prostokątny, którego długości boków są wyrażone liczbami naturalnymi. Przykłady trójkątów pitagorejskich: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25).
Trójkąt o bokach 3, 4, 5 to jedyny trójkąt prostokątny, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi. Nazywa się go trójkątem egipskim, ponieważ był używany przez Egipcjan do wyznaczania kąta prostego w terenie.
Trójkąt Pascala to trójkątna tablica, której pierwszy wiersz stanowi liczba 1, a każdy następny powstaje w ten sposób, że pod każdymi dwoma sąsiednimi wyrazami poprzedniego wiersza wpisuje się ich sumę, a na początku i na końcu każdego nowego wiersza dopisuje się jedynki. Liczby widniejące w n+1 wierszu trójkąta są współczynnikami rozwinięcia n-tej potęgi dwumianu. W czwartym wierszu, na przykład, stoją: 1, 3, 3, 1, a trzecia potęga, czyli sześcian dwumianu, dany jest wzorem: (a+b)3= a 3 + 3a2b + 3ab2 + b3
a = 2n + 1, b = 2n (n+1), c = 2n²+ 2n +1 Wzór, który pozwoli nam znaleźć 3 całkowite liczby, które mogą być długościami boków trójkąta prostokątnego. n - dowolna liczba całkowita • Spis treści
Źródła, które użyłam: • Szczepan Jeleński, „Śladami Pitagorasa’’ • wikipedia.pl • www.math.edu.pl • www.matematykam.pl • matematyka.opracowania.pl • http://matma.eu • http://www.matmana6.pl • Matematyka z plusem. Podręcznik dla klas 1, 2 gimnazjum. Oraz rady p. B. Łuczywo i p. E. Nowakowskiej (za co bardzo dziękuję ) • Spis treści
Dziękuję za uwagę ! • Spis treści