第一章曲线论

第一章曲线论 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 §3 空间曲线（二）主讲：尹爱芹

山东省成人高等教育品牌专业网络课程 三、空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式 • 1、曲率 • 日常生活中人们对曲线弯曲程度的定性认识：半径较大的圆弯曲程度就小，半径较小的圆弯曲程度就大。同一条曲线在不同点处弯曲程度也不一样。在数学上给“弯曲”这个概念以描述的就是“曲率” ，

P1(s1) Q1( ) ， P(s) 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 曲线的弯曲性与曲线的切线有密切的联系。在曲线上取等长的曲线段，可以看出，曲线弯曲得越厉害，切线的方向改变得越快。如图中弧和弧上。

山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 为了把“曲率”定义的恰到好处，必须使它至少满足下述三项要求： • 1）直线是毫无弯曲的曲线，它的曲率处处应该等于零 • 2）圆是一条均匀弯曲的曲线，它的曲率处处应该相同 • 3）在一条曲线上，凡是弯曲厉害的地方那里的曲率就应该越大。

山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 由定义可知 • 1）几何意义：曲率是单位切向量对于弧长的旋转速度。 • 当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量关于弧长的旋转速度就越大。因此曲率刻画了曲线的弯曲程度——曲率的几何意义。（在这个意义下，在非正常点，切向量不存在，所以曲率也不存在。） • 2） —曲率计算公式，说明曲率总是正的。 • 证明由定义k(s)实际是单位切向量对于S的旋转速度，而“单位向量关于参数的旋转速度等于其微商的模”。 • 3）验证前面提出的问题

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山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 2、挠率 • 不落在同一平面上的空间曲线称为挠曲线。同弯曲一样有“挠扭”。 • 定性认识：“挠扭”概念：一条弹簧，在压的很紧的时候，它的每一圈都接近于平面曲线，放开来时，便同平面曲线的偏离大了。 • 分析：空间曲线在一点的扭曲与曲线在这点的密切平面密切相关，如果曲线不扭曲，即为平面曲线，则其所有点的密切平面是同一个，即曲线所在平面，其副法向量是常矢。如果曲线不是平面曲线，曲线扭曲得越厉害，则曲线离开它的密切平面越快，从一个点到另一个点副法向量的方向改变得越快。因此类似于弯曲性的刻画，我们可用副法向量导矢的模来刻画曲线的扭曲程度。

山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 3、伏雷内(Frenet)公式（基本公式）

山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 4、曲率和挠率的计算

C 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 • 5、空间曲线在一点的密切圆（曲率圆）

山东省成人高等教育品牌专业网络课程 从定义知：密切圆在点相切，而且有同一曲率。几何上：它形象地告诉我们曲线在一点的弯曲程度。

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