Konstrukce trojúhelníku

1. Konstrukce trojúhelníku Známe-li jednu stranu a dva úhly k ní přilehlé. Konstrukce podle věty usu(úhel, strana, úhel).

2. Trojúhelník a jeho vlastnosti Zopakujeme si základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Trojúhelník je rovinný geometrický útvar sestávající ze tří stran, tří vrcholů a tří vnitřních úhlů.

3. Trojúhelník - označování Pozor při značení vrcholů a stran trojúhelníku. Strana a proti vrcholu A, strana b proti vrcholu B, strana c proti vrcholu C. Popis vrcholů začínáme obvykle v levém dolním rohu, ale vždy popisujeme vrcholy ve směru proti pohybu hodinových ručiček.

4. Trojúhelník – součet vnitřních úhlů Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je vždy 180°. 37° 73° 70° ____ 180°

5. Konstrukce trojúhelníku Z jakých částí se skládá naše činnost prováděná před, během a po konstrukci? 1. Je dobré zjistit, pokud to jde už ze zadání konstrukce, zda trojúhelník lze vůbec sestrojit, abychom zbytečně neztráceli čas. Jak? Např. pomocí trojúhelníkové nerovnosti, velikosti úhlů apod. 2. Načrtnout si obrázek, v němž si vyznačíme zadané údaje. Udělat si náčrt konstruované situace. 3. Rozebrat si postup, podle kterého budeme trojúhelník rýsovat. To znamená určit si, které znalosti nám při konstrukci trojúhelníku pomohou a jak. Např. vlastnosti trojúhelníku a jiných známých geometrických útvarů nebo množiny bodů dané vlastnosti. 4. Zapsat postup konstrukce, stanovený na základě provedeného rozboru. 5. Podle zapsaného postupu uskutečnit konstrukci a narýsovat zadaný trojúhelník. 6. Zapsat počet všech možných řešení zadané úlohy.

6. Př.: Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém  = 40°,  = 60°, c = 8 cm. A nyní již přikročíme ke konstrukci. První krok konstrukce, tj. určení, zda lze trojúhelník o zadaných hodnotách vůbec sestrojit, spočívá v tomto případě v ověření toho, zda součet zadaných úhlů je menší než součet všech tří vnitřních úhlů trojúhelníku, tzn. 180°. Náčrt:  +  = 40°+60°= 100° 100°< 180°  = 60°  = 40° c = 8 cm

7. Př.: Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém  = 40°,  = 60°, c = 8 cm. Rozbor konstrukce K tomu, abychom sestrojili trojúhelník, potřebujeme mít zadány 3 údaje. Tak, jak je tomu v našem případě, kdy známe jednu stranu a dva úhly k ní přilehlé. Tyto tři zadané údaje se pak zpravidla využívají v prvních třech krocích postupu konstrukce. Čím při rýsování začneme? Při konstrukcích trojúhelníků začínáme většinou (je-li zadána) stranou, a to dolní vodorovně umístěnou stranou.  = 60°  = 40° c = 8 cm

8. Př.: Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém  = 40°,  = 60°, c = 8 cm. Rozbor konstrukce Dále budeme hledat bod C. Co o něm víme? Víme, že leží na rameni úhlu  o velikosti 40°. Kde se tedy může nacházet bod splňující danou podmínku? Co je množinou všech takových bodů? Je to polopřímka AY, tj. rameno úhlu  = 40°. Y C1 C2 C3 C4 C5  = 40° c = 8 cm A

9. Př.: Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém  = 40°,  = 60°, c = 8 cm. Rozbor konstrukce Co dále o bodu C víme? Víme, že leží i na rameni úhlu  o velikosti 60°. Množinou bodů ležících na rameni úhlu  o velikosti 60°je polopřímka AZ, tj. rameno úhlu  = 60°. Z Y  = 60°  = 40° c = 8 cm A B

10. Př.: Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém  = 40°,  = 60°, c = 8 cm. Rozbor konstrukce Kde se tedy nachází vrchol C trojúhelníku? Leží v průsečíku polopřímky AY a polopřímky BZ, tzn. množiny všech bodů, které leží na rameni úhlu  o velikosti 40°, a množiny všech bodů, které leží na rameni úhlu o velikosti 60°. Jako 2. a 3. krok konstrukce tedy narýsujeme výše uváděné polopřímky. Z Y Zapisujeme:C  AY  BZ C  = 60°  = 40° c = 8 cm A B

11. Postup a konstrukce: 4. C; C  AY  BZ 1. AB; AB= c = 8 cm 5. Trojúhelník ABC 2. ;  = YAB = 40°; AY 3. ;  = ABZ = 60°; BZ Z Y C p B A

12. Výsledný trojúhelník Úloha má jedno řešení.(v polorovině určené úsečkou AB a bodem C) Konstrukci proměříme, zda odpovídá zadání, a trojúhelník vytáhneme silněji. A takto vypadá celá konstrukce.

13. Pár příkladů k procvičení – příklad č. 1 Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže: c = 35 mm,  = 120°,  = 45°

14. Pár příkladů k procvičení – příklad č. 2 Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže: |BC| = 9 cm,  = 35°,  = 55°

15. Pár příkladů k procvičení – příklad č. 3 Sestrojte trojúhelník OPQ, jestliže: |QOP| = 30°, |OPQ| = 115°, q = 7 cm

16. Konstrukce trojúhelníku podle věty usu Otevřete si na závěr ještě následující odkaz. Můžete myší měnit polohu bodů A, B a sklon polopřímek AX a BY (tzn. velikost úhlů) na uvedené konstrukci. Sledujte, kdy se barva polopřímek změní v zelenou, tzn. kdy nelze trojúhelník sestrojit. Dokážete odpovědět , kdy a proč to je? http://www.horackova.cz/cabri/vyklad/633.htm

17. Konstrukce trojúhelníku podle věty usu Tak co jste zjistili? Kdy se barva polopřímek mění v zelenou? Ano správně. Je to ve chvíli, kdy součet dvou zadaných úhlů dosáhne velikosti 180°. To znamená ve chvíli, kdy by mám na třetí úhel již nezbýval ani „stupeň“ (vzhledem k tomu, že 180° je součet všech tří úhlů jakéhokoliv trojúhelníku).

18. Tak přesnou ruku při rýsování!