Állapotegyenlet alkalmazásai validációban és verifikációban

Állapotegyenlet alkalmazásai validációban és verifikációban Varró-Gyapay Szilviagyapay@mit.bme.hu BME Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék Dr. Pataricza András fóliái alapján Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Bevezető Eredet • Modális logika: • filozófusok találmánya • a lehetséges igazságok vizsgálata • Temporális logika: • a modális logika egy formális rendszere • kijelentések igazságának időbeli változásának vizsgálata Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Használat • Specifikáció, verifikáció és programhelyesség bizonyítása • Implementációfüggetlen leírás • tulajdonságok, • követelmények. • Alkalmazási kör: • rendszerek: a bemenetek és a kimenetek kapcsolata • pl. folyamatosan működő, reaktív rendszerek, • protokollok, • operációs rendszerek. Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Temporális logikák osztályozása Temporális kijelentés logika • Atomi kijelentések • Logikai műveletek • Temporális operátorok Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Atomi kijelentések Atomi kijelentések tartalmazhatnak: • Változók, konstansok • Függvények, prédikátumok • Kvantorok (,) Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Lineáris idejű temporális logika • A (logikai) idő lineárisan halad: • minden állapotnak (időpillanatnak) csak egy jövőbeli, rákövetkező állapota (időpillanata) • Lineáris idő-szemantika, • az állapotok egy idővonal mentén követik egymást Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Elágazó idejű temporális logika (BTL) • A (logikai) idő elágazik: • egy állapotból (időpillanatból) • többféle rákövetkező állapot, • többféle jövőbeli viselkedés • Az idő szemantikája elágazó, • állapotok faszerűen elágazó idővonalak mentén • Kvantorok az elágazó idővonalakra is Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Pont vagy intervallum logika • Pont logika: • a temporális operátorok kiértékelése egy-egy időpillanatban • Intervallum logika: • a temporális operátorok időintervallumokra definiáltak Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Múlt illetve jövő kezelése • Általában a jövőbeli események leírása • Vizsgálat: a rendszerek kezdőállapotából indulva • Múltbeli eseményekre való hivatkozás • egyes követelmények leírását megkönnyíti Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Lineáris temporális logika Időkezelés: • diszkrét idő • diszkrét, digitális rendszerek leírására; • izomorf a természetes számokkal (növekvő sorrendezés) • létezik megelőzőek nélküli kezdő időpillanat • rendszerek indítása • a jövő végtelen • folyamatosan működő rendszerek Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Jelölésrendszer • AP az atomi kijelentések halmaza (P, Q, P1, Q’, stb.) • M=(S,x,L) lineáris időstruktúra, ahol S az állapotok halmazax : S S az állapotok végtelen sorozata (útvonal, idővonal)L : S (AP) az egyes állapotok címkézése azokkal az atomi kijelentésekkel, amelyek az adott állapotban érvényesek Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Temporális operátorok • valamikor p, jelölése Fp (p valamikor a jövőben igaz lesz); • mindig p, jelölése Gp (p mindig igaz) • következő p, jelölése Xp (p a következő pillanatban igaz) • P amíg q, jelölése pUq (p igaz, amíg q nem lesz) Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Temporális logikák jelentése Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Részleges döntés Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Előny Az S fedő probléma esetleg könnyebben megoldható, mint az eredeti B • a fedést a szükséges feltétel garantálja • ha S-ben nem sérül a kívánt T tulajdonság, akkor B-ben sem • ha S-ben sérül a kívánt T tulajdonság, akkor nincs döntés: • vagy ellenpélda (B-ben van) • vagy hamis ellenpélda (Ha S-ben van). Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Petri-hálók: közelítő megoldások Indirekt példát keresünk! Írjuk fel az ellenpélda szekvencia algebrai jellemzőit! • állapotegyenlet • peremfeltételek • és a CÉL negáltja és lássuk be, hogy nincsen ilyen! Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Korlátosság vizsgálata Ha PN(N, M0)korlátos és elakadásmentes,   tüzelhető T-invariáns, melyre Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Korlátosság vizsgálata Ha PN(N, M0)korlátos és elakadásmentes,   tüzelhető T-invariáns, melyre • A korlátosság miatt az állapottér véges. • Az elakadásmentesség miatt van egy M0-ból induló végtelen tüzelési sorozat. • Ebben a végesség miatt vanismétlődő állapot. • A szekvencia T invariáns. Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Következmény ha nincsen ilyen T-invariáns a korlátos hálóban, a hálózat minden úton elakad (nincs ciklusa). Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Élőség vizsgálata HaPN(N, M0) élő, korlátos   tüzelhető T-invariánsa, melyre . Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Gondolatmenet Ha PN(N, M0) élő, korlátos   olyan tüzelési szekvencia amelyikben minden tT tranzíció sokszor előfordul • Élőség miatt minden állapotból létezik tüzelési szekvencia, amely minden tranzíciót tartalmaz. • Ezen tüzelési szekvenciákat követve a bejárt végállapotok között a végesség miatt van ismétlődő állapot. • Ezen ismétlődő állapotok közötti tüzelési szekvenciának pontosan egy olyan T-invariáns felel meg, amelyre Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Következmény • Ha nincs ilyen T-invariáns a korlátos hálóban, akkor a háló nem élő. • Ha egy tT tranzíció nincs benne egyetlen T-invariánsban sem  • nincs benne egyetlen ciklusban sem  • csak véges sokszor tüzelhet. Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Összefüggőség Minden összefüggő Petri-háló, amelynek van • egy pozitív T és • egy pozitív P-invariánsa, erősen öszefüggő. Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Összefüggőség • A pozitív P-invariáns miatt a háló korlátos  nincs benne forrás tranzíció  minden tranzíciónak van bemeneti helye. • Pozitív T-invariáns  minden tranzícióból minden tranzíció elérhető  minden bemenő helyről elérhető minden tranzíció. • Tfh. létezik olyan hely, amelynek nincs kimenő tranzíciója  pozitív T-invariáns miatt ezen a helyen sem változhat meg az invariáns tüzelése során a tokenek száma  ellentmondás. Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Biztos Petri-háló Biztos: Tüzelési feltétel: (Jelölés: pontosan azokban a pozíciókban 1, ahol a Z-beli elemek vannak.) Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Tények Kérdés: igaz-e, hogy • valamelyPN(N, M0) biztos Petri-hálóban • minden teljes és véges tüzelési szekvencia (teljes szekvencia: nincsen újabb tüzelés) végrehajt egy -beli tüzelést. Példa: Igaz-e, hogy a villamosjegy-automata, ha bedobom a 100 Ft-ost • kiad egy jegyet • vagy visszaadja a pénzt. Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Tények algebrai vizsgálata Legyen PN(N, M0) biztos, súlyozatlan Petri-háló, melynek: • a belső tranzíciói: {t1…tb}, • a cél: • minden teljes és véges tüzelési szekvencia végrehajt egy -beli tüzelést, ha az Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Feltétel • állapotegyenlet • tüzelési szám vektor nincs tZ tüzelés  -ben • t1 nem tüzelhető • … • tb nem tüzelhető Az egyenletnek nincsen megoldása a nemnegatív egészek felett. Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Feltételes célok Kérdés: Igaz-e, hogy valamely PN(N, M0) biztos, Petri-hálóban minden teljes és véges tüzelési szekvencia, • ha végrehajt egy vagy több Z  T –beli tüzelést, • utána biztosan végrehajt Z’  T –beli tüzelést is? • Példa: ha valamelyik lakótársam vacsorázik, elmosogat-e utána? • Lineáris temporális logikai kifejezés átfogalmazása! Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Tétel (indirekt) PN(N, M0) biztos, súlyozatlan Petri-háló, melynek • A tranzíciói:{t1,…,tb}, • Minden teljes és véges tüzelési szekvencia, ha végrehajt Z  T –beli tüzelést, utána biztosan végrehajt Z’  T –beli tüzelést is, ha az Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Feltétel • 1 tüzelési szám t1 nem tüzelhető …tb nem tüzelhető • 2 tüzelési szám Az egyenletrendszernek sem 1 sem 2 megoldása nem létezik. Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Bizonyítás Legyen egy olyan -beli tüzelést végrehajtó teljes szekvencia, ami nem hajt végre -beli tüzelést. 1.eset: Ha valamely kezdetében többször fordul elő Z’-beli tüzelés, mint Z-beli megoldás. 2. eset: Ha nem, • Akkor minden kezdetében • Abban is, amely a Z-beli tüzelést pont megelőzi • Azt is figyelembe véve Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

+1 tétel Ha egy Petri-hálónak van pozitív P-invariánsa, akkor a háló korlátos. (Biz: a P-invariáns által meghatározott súlyozott összeg felső korlát a helyeken levő tokenek számára.) A megfordítása nem igaz!!! Formális módszerek az informatikában 2004/2005.

Állapotegyenlet alkalmazásai validációban és verifikációban