G. Couturier, L. Béchou, J. B. Bégueret et C. Pellet

1. FFT et applications G. Couturier, L. Béchou, J. B. Bégueret et C. Pellet Dept GEII - IUT Bordeaux I

2. Sommaire I- Objectifs II- Rappelssur les transformées de Fourier III- Expériences proposées III- 1- Choix d’une fenêtre de pondération - fuites spectrales - résolution d’une fenêtre - dynamique d’une fenêtre III- 2- Caractérisation d’un CAN - bruit de quantification - non-linéarité et intermodulation III- 3- Réponse en fréquence d’un système linéaire - réponse impulsionnelle - réponse indicielle

3. Objectifs

4. Illustrer, par des expériences choisies certains chapitres du PPN (Programme Pédagogique National) des Dept GEII Modules concernés Module MA2 : ………. - transformée de Fourier ……….. Module EN22 : ………… - fonction échantillonnage - quantification, bruit de quantification - CAN ……….... Module AU21 : …………. - caractéristiques temporelles et fréquentielles des systèmes ………..... Les oscilloscopes numériques disposent pratiquement tous d’un module FFT avec au moins les fenêtres rectangulaire et de Hanning. Par des choix judicieux de signaux, et sans entrer trop dans les détails des ’’mathématiques’’, il est possible par exemple de montrer aux étudiants l’intérêt d’une fenêtre par rapport à une autre … . retour

5. Rappels sur les transformées de Fourier

6. Jean-Baptiste Joseph Fourier Auxerre 1768 – Paris 1830 Mathématicien et physicien né à Auxerre à la grande époque des Laplace, Lagrange, Monge, Legendre, Cauchy, Galois, … C’est à Grenoble qu’il aborde sous l’angle physique et mathématique le problème de la propagation de la chaleur. Il en établit l’équation et forge l’outil nécessaire à sa résolution. De retour à Paris, il continue ses travaux, il est élu à l’Académie des Sciences dont il devient secrétaire perpétuel. En 1822, il publie sa ‘’théorie Analytique de la Chaleur’’. En 1826 il entre à l’Académie française. Scientifique jusqu’à ses derniers jours, il meurt à Paris en 1830

7. Module de X(f) f Module de Xnum(f) f Fe Fe/2 1- X(f) transformée de Fourier d’une fonction x(t) analogique 2- Xnum(f) transformée de Fourier numérique d’une fonction x(t) échantillonnée avec une période Te NB : Xnum(f) est devenue une fonction périodique de la fréquence. La période est égale à Fe : la fréquence d’échantillonnage.

8. Quand ça se complique …c’est le moment de s’accrocher … 1- La somme sur l’indice k dans ne peut être infinie 2- Un ordinateur ne peut pas calculer Xnum(f) la fréquence f Les échantillons x(kTe) sont multipliés par les échantillons y(kTe) d’une fenêtre de pondération, avec y(kTe)=0 pour k=0, 1, 2, …, M-1, soit z(kTe)=x(kTe)y(kTe) Znum(f), transformée de Fourier numérique des z(kTe), est encore périodique de période Fe. On découpe alors l’intervalle [0,Fe] en Mintervalles égaux à Fe/M et on ne calcule Znum(f) que pour les fréquences f=nFe/M avec n=0, 1, 2, …, M-1 Module de Znum(f) points calculés f Fe Fe/2 Fe/M

9. Les Z(nFe/M) sont les composantes de la transformée de Fourier discrète. Pour simplifier l’écriture, les échantillons z(kTe) et les composantes Z(nFe/M) sont notés simplement z(k) et Z(n). En conclusion, la transformée de Fourier discrète s’écrit : … évidemment il y a un prix à payer … les Z(n) sont en général différents des X(n) …puisque … Résultat bien connu des mathématiques : multiplication dans le tempsconvolution dans le domaine des fréquences. Le produit de convolution des transformées de Fourier numérique s’écrit :

10. Nbre de points Nbre de multiplications complexes en DFT Nbre de multiplications complexes en FFT 1024 1 048 576 5120 4096 16 777 216 24 576 Pourquoi FFT (Fast Fourier Transform) ? D’après la relation : , il faut réaliser M2 multiplications complexes et M(M-1) additions complexes pour obtenir les M composantes Z(n). Les multiplications complexes ont une durée d’exécution bien supérieure à celle des additions complexes. Si M est quelconque, on utilise un algorithme de DFT (Direct Fourier Transform) pour calculer les Z(n). En 1965, J. W. Cooley et J. W. Tukey ont montré que, si M était une puissance de deux, le nombre de multiplications complexes pouvait être ramené à (M/2)log2M. Si M=2p, alors on peut utiliser un algorithme de FFT. Comparaison du nombre de multiplications complexes en DFT et FFT

11. pas de panique … voyons ça par l’exemple … Exemple n°1 : FFT d’un signal sinusoïdal de fréquence F=1015.625Hz et échantillonné à la fréquence Fe=20kHz. Les échantillons x(kTe) sont tronqués par les échantillons y(kTe) d’une fenêtre rectangulaire de 1024 points. Échantillons x(kTe) X Échantillons y(kTe) Échantillons z(kTe)=x(kTe)y(kTe)

12. pas de panique …résultat du calcul de la FFT … Convoluer : c’est ’accrocher’ le motif de Ynum(f) autour de Xnum(f) On observe une seule raie à la fréquence de 1015.625Hz (canal 52=1024*1015.625/20000) Pourquoi ? Parce que la fréquence F est un multiple de Fe/M et que la transformée de Fourier numérique Ynum(f) est nulle pour les multiples de Fe/M. Transformée de Fourier numérique et discrète des z(kTe)

13. On croit avoir compris … et … Exemple n°2 : FFT d’un signal sinusoïdal de fréquence F=1000Hz et échantillonné à la fréquence Fe=20kHz. Les échantillons x(kTe) sont tronqués par les échantillons y(kTe) d’une fenêtre rectangulaire de 1024 points. On observe une raie principale et d’autres raies … Pourquoi ? Parce que la fréquence F n’est pas un multiple de Fe/M, il y a apparition de fuites spectrales dues aux lobes secondaires de la fenêtre, … Transformée de Fourier numérique et discrète des z(kTe) Que faire ??? F=K(Fe/M) avec K entier  fuites spectrales

14. Pour ’’tuer’’ les fuites spectrales, il faut chercher des fenêtres avec des lobes secondaires de très faibles amplitudes … , pourquoi n’y avais-je pas pensé plus tôt ??? C’est ainsi que l’on construit les fenêtres de Hanning, Hamming, … Transformées de Fourier numériques Ynum(f) des fenêtres rectangulaires et Hanning Échantillons y(kTe) des fenêtres rectangulaire et Hanning

15. Y a un truc la dedans … alors pourquoi des fenêtres rectangulaires ??? … et oui il y a un prix à payer … Les lobes secondaires de la fenêtre de Hanning ont des amplitudes beaucoup plus faibles que celles de la fenêtre rectangulaire mais la largeur du lobe principal est deux fois plus grande (retourner à la diapositive précédente pour le vérifier) Une fenêtre est donc caractérisée par : - lalargeur du lobe principal : la largeur fixe la résolution de l’analyse, c-à-d l’aptitude à séparer deux fréquences proches - l’amplitude des lobes secondaires : l’amplitude fixe la dynamique, c-à-d l’aptitude à discerner deux composantes de fréquences relativement éloignées mais d’amplitudes très différentes

16. vérifions cela sur un exemple … Exemple : FFT d’un signal sinusoïdal de fréquence F=1000Hz et échantillonné à la fréquence Fe=20kHz. Les échantillons x(kTe) sont tronqués successivement par les échantillons y(kTe) des fenêtres rectangulaire et de Hanning de 1 024 points. Fenêtre de Hanning Fenêtre rectangulaire 2Fe/m 4Fe/m Transformée de Fourier numérique et discrète des z(kTe) Transformée de Fourier numérique et discrète des z(kTe)

17. Et pourquoi toutes ces fenêtres, Hamming, Hanning, Blackman, … réponse : tout dépend de la dynamique recherchée, voyons cela sur un exemple … et finalement si vous vous mettiez au travail …. Question : Quelle est la fenêtre la mieux adaptée entre Hanning et Hamming pour faire apparaître les deux fréquences F1 et F2 du signal échantillonné x(kTe) suivant : x(kTe)=A1sin(2pF1kTe)+A2sin(2pF2kTe) Fe=20kHz, F1=1025Hz, F2=1250Hz, A2/A1=10-3, Nbre de points de calcul de la FFT : N=1024 Pour vous aider dans votre choix, les transformées de Fouriernumériques des fenêtres de Hanning et de Hamming sont données à droite. Elles sont calculées pour une fréquence d’échantillonnage Fe=20kHz Choix 1 : Hamming Choix 2 : Hanning

18. 45dB 75dB 225Hz Et non, vous avez fait le mauvais choix, retournez à la diapositive précédente Explications : • le rapport des amplitudes A2/A1=10-3 soit 60dB • l’écart de fréquences (F2-F1)=225Hz En conséquence, il faut choisir une fenêtre telle que l’amplitude du lobe secondaire à 225Hz =F2-F1 soit inférieure de 60 dB à celle du lobe principal.

19. 45dB 75dB 225Hz vous avez fait le bon choix Explications : L’amplitude du lobe secondaire à 225Hz de la fenêtre de Hanning est à –75dB de l’amplitude du lobe principal, en conséquence la fréquence F2 est observable car le rapport A2/A1=10-3 soit 60dB donc inférieur à 75dB. retour

20. Choix d'une fenêtre de pondération

21. Les expériences proposées permettent de mettre en évidence : - les fuites spectrales d’une fenêtre de pondération - de comparer les résolutions des fenêtres rectangulaire et de Hanning - de comparer les dynamiques des fenêtres rectangulaire et de Hanning

22. PC Matlab Durée d ’enregistrement = multiple de la période observation des lobes secondaires Expérience de mise en évidence des fuites spectrales L’expérience Fe=1MHz Bus GPIB Générateur HP 33120A Oscilloscope Yokogawa Résultat Durée d ’enregistrement = multiple de la période (FIN=KFe/M) plancher de bruit = bruit de quantification+FFT

23. Générateur F1 HP 33120A Bus GPIB PC Matlab Oscilloscope Yokogawa Expérience mettant en évidence la résolution d’une fenêtre de pondération L’expérience Fe=1MHz Additionneur à résistances Générateur F2 HP 33120A Résultat Fenêtre de Hanning Fenêtre rectangulaire

24. Générateur F1 HP 33120A Bus GPIB PC Matlab Oscilloscope Yokogawa Expérience mettant en évidence la dynamique d’une fenêtre de pondération L’expérience Fe=1MHz Additionneur à résistances Générateur F2 HP 33120A Résultat Fenêtre rectangulaire Fenêtre de Hanning retour

25. Caractérisation d'un CAN

26. Principales caractéristiques d’un CAN : - résolution - temps de conversion - précision ou encore non linéarités différentielle et intégrale - … Les expériences proposées permettent de : - mettre en évidence le bruit de quantification liée à la résolution - mesurer l’intermodulation introduite par les non-linéarités

27. 11.. 01 Comment s’introduit le bruit de quantification ? FSR 11... 11 11... 11 11.. 01 11.. 01 milieu quantum erreur de quantification Échantillon initial Échantillon restitué 2- Transmission du code N Quantum = FSR/2 00.. 00 00.. 00 0V 1- Quantification 3- Restitution

28. PC Matlab Expérience de mise en évidence du bruit de quantification L’expérience Fe=1MHz Bus GPIB Générateur HP 33120A FIN=KFe/m Oscilloscope Yokogawa CAN Résultat Plancher de bruit : 6.02N+1.76+10log(M/2) N = 8 ; nombre de bits de quantification M =8192 ; nombre de points FFT harmoniques Plancher théorique à -86dB

29. Expérience de mise en évidence du bruit de quantification : influence du nombre de bits de conversion 18dB Conversion sur 5 bits Conversion sur 8 bits Plancher de bruit : 6.02N+1.76+10log(M/2) la théorie prévoit une différence de 18 dB

30. Les non-linéarités de la caractéristique de transfert du CAN sont à l’origine de l’intermodulation code 11.. 11 théorie 1 quantum en pratique non-linéarités intermodulation 00.. 01 tension à convertir 00.. 00

31. Bus GPIB PC Matlab Expérience de mise en évidence des non-linéarités de l’amplificateur + CAN L’expérience Générateur F1 HP 33120A Additionneur à résistances Oscilloscope Yokogawa CAN Générateur F2 HP 33120A Résultat Les deux fréquences à (2F1-F2) et (2F2-2F1) sont la signature des non-linéarités de l’amplificateur + CAN retour

32. Réponse en fréquence d'un système linéaire

33. La réponse en fréquence d’un système linéaire peut être obtenue à partir de : - la réponse à une excitation sinusoïdale (étude harmonique) - la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle - la dérivée de la transformée de Fourier de la réponse indicielle Les expériences proposées permettent de mettre en évidence les limites de l’analyse de Fourier dans l’identification des systèmes linéaires à partir des réponses impulsionnelle et indicielle. - Choix de la largeur de l’impulsion d’excitation - influence du bruit de quantification

34. Bus GPIB PC Matlab Oscilloscope Yokogawa Réponse en fréquence à partir de la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle L’expérience Générateur HP 8116AA largeur impulsion q Système sous étude Résultat Réponse impulsionnelle q =1ms FFT

35. Bus GPIB PC Matlab Oscilloscope Yokogawa Réponse en fréquence à partir de la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle : influence de la largeur de l’impulsion d’excitation L’expérience Générateur HP 8116AA largeur impulsion q Système sous étude Résultat FFT Réponse impulsionnelle q =200ms

36. Bus GPIB PC Matlab Oscilloscope Yokogawa Réponse en fréquence à partir de la transformée de Fourier de la dérivée réponse indicielle L’expérience Système sous étude Générateur HP 8116AA Résultat FFT de la dérivée de la réponse indicielle Réponse indicielle

37. FIN retour