Fibonačijev niz

1. Fibonačijev niz u matematici

2. Fibonačijev niz sačinjavaju sledeći brojevi 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... pri čemu su prva dva člana niza 0 i 1, a svaki sledeći predstavlja zbir prethodna dva, pa se može predstaviti i funkcijom. f0 = 0; f1 = 1; fn = fn-1 + fn-2 ; n ≥ 2

4. Takođe, postoji i druga varijanta ovog niza, gde je on predstavljen bez nule ( 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...), ali je sam niz nepromenjen, jer nula ne utiče na niz, već samo predstavlja početni član. • Fibonačijev niz se osim brojevima može prikazati i putem serije pravougaonika, kao i spiralom koju možemo nacrtati koristeći te pravougaonike, i u tom obiku se najčešće pojavljuje u prirodi kao umetnosti.

6. Ovipravougaonici se pravenasledećinačin: • nacrtaju se 2 mala kvadrataodkojih je svaki 1 jedinica mere puta 1 jed. mere, pa zajednooničinepravougaonikveličine 1X2. • Ispodovogpravougaonika se nacrtakvadratveličine 2X2, zajednoonicestvoritikvadratveličine 2X3. • Zatim se nacrtanovikvadratveličine 3X3, cijacejednastranabitiistovremenoidesnastranaprethodnogpravougaonika. Ovimsmodobilipravougaonikveličine 3X5.Onda se nacrtanovikvadratveličine 5X5 cijacejednastranabitiistovremenoigornjastranaprethodnogkvadrata. Dobilismokvadratveličine 5X8. Da bi dobilispiraluucrtaćemočetvrtinukruga u svakiodkvadratapočinjuciodprvog. Spirala je sličnaonimakakve se moguzapazitinaljušturamamekušaca, uključujućipuževe iškoljkeNautilusa.

7. Pored osobine svakog člana (da je zbir prethodna dva), u Fibonačijevom nizu se može uočiti i ponavljanje : • Ukoliko posmatramo poslednje cifre 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ... • Uočava se niz koji se ponavlja u beskonačnost, a ciklus traje 60 brojeva • Isto je i za poslednje dve cifre svakog broja, samo ciklus traje 300 brojeva, ako uzmemo tri poslednje cifre, trajaće 1.500 brojeva, sa četiri cifre 15.000 brojeva, a sa pet 150.000 brojeva, itd...

8. Fibonacijevniz Istorija

9. Puno imeovogitalijanskogmatematičara je Leonardo PizanoFibonačipoznatikao Leonardo izPize. • PonekadsebenazivaoimenomBigollo, štoznacidobarzaništa (ljenjivac) iliputnik. • Rođen u Italiji, ali se obrazovao u Severnoj Africi. • Živeo je u mediteranskom gradu Bužiju, gde je podučavao matematiku. • Dosta je putovao sa svojimocemtetakoprepoznaoogromneprednostidecimalnogbrojnogsisetmakoji se tad u svakodnevnomživotukoristio u islamskimzemljama. 

10. Fibonači je završiosvojaputovanjaoko 1200 godinei u to vremese vratio u Pizu. • Tu je napisaovažnetekstovekojisuigralibitnuulogu u oživljavanjudrevnihmatematičkihveštinai u tome je njegovvelikidoprinos. • Živeo je u dobapre nego se pojavilaGutenbergovaštamparskamašina, takodasunjegoveknjigerukompisaneijedininačindapostojikopijanjegoveknjige je dapostojivećjednaknjigaprethodnorukomnapisana.

11. Od njegovih mnogobrojnih knjiga do danas su sačuvane: "Liberabaci”(1202) "Practicageometriae”(1220) "Flos”(1225) "Liberquadratorum” • Postojimišljenjeda se Fibonačijevrad u vremekada je Evropabilapopriličnonezainteresovanazaobrazovanjeuvelikoignorisao. • Ova konstatacijaipak ne stojijer je upravovelikiintereszanjegovradjako doprineo njegovojvažnostiipopularnosti.

12. U to vreme,rimski imperator je bio Frederick II koji je postao svestan važnosti Fibonačijevog rada, te je stoga izgradio Univerzitet u Napulju 1224. godine. • Posle 1228 godine postoji samo jedan poznat dokument koji se odnosi na Fibonačija a to jeodlikakoju je izdalaRepublikaPiza 1240.u kojoj se platadodjeljuje: “OzbiljnomiučenomučiteljuLeonardo Bigollo”.

13. "Liber abaci", objavljena1202 godine, nakonFibonačijevogpovratka u Italiju, iposvećenaScotusu. • Knjigarazmatraaritmetikuialgebrukoje je Fibonačiskupiotokomputovanjaislamskimsvetom. • "Practicageometriae" je napisana 1220 iposvećena je DominicusuHispanusu. • Knjiga sadrži veliku kolekciju geometrijskih problema raspoređenih u osam poglavlja sa teoremama iz Euklidovih knjiga.

14. "Liberquadratorum", napisan 1225 godine, je Fibonačijevnajimpresivnijiradiako to nijeradpokojem je poznat. • Nazivknjigeznačiknjiga o kvadratimairazmatra oblast teorijebrojeva. • Knjiga "Liberquadratorum" Fibonačijapostavljakaomatematičarakoji je daoglavnidoprinosteorijibrojeva u vremenuodDiophantusa do francuskogmatematičara Pierre de Fermata u 17-tom veku.

17. Fibonačijev nizzanimljivosti

18. Zbog zanimljivih osobina Fibonačijevog niza, pominje se u mnogim filmovima i serijama, poput filmova “Pi” (1998.), “Da Vinčijev kod” (2006.), i serija “Brojevi,” “Zločinački umovi” i drugih • Takođe je primenjen i u muzici, u nekim pesmama se pominju brojevi niza, u drugim predstavljaju taktove ili stihove, pa i same note, i pojavljuje se u svim žanrovima, od klasične muzike pa do repa i hip-hopa.

19. Još jednu primenu Fibonačijev niz je našao u kockanju, naročito na ruletu. • To je Fibonačijev sistem, i zasniva se na verovatnoći: • Fibonačijevi brojevi ovde predstavljaju niz poteza, označavajući veličinu uloga – 1x; 1x; 2x; 3x; 5x; 8x; 13x; 21x; ... Itd. • Dakle, prvi ulog je jedna jedinica uloga, kao i sledeći. Zato je treći ulog (ukoliko prvi ili drugi ne budu pobednički) 2x, ukoliko ne dođe, 3x, i tako se ulog povećava prateći niz. Svakim potezom koji nije dobitan, verovatnoća se povećava da je naredni dobitan, a Fibonačijev niz u ulogu omogućava dobitak. • Pri prvom dobitnom potezu, ulog se ne vraća na početak niza ( 1x ), već samo za dva člana unazad – ukoliko je bio 13x, sledeći iznosi 5x, i niz se nastavlja.

20. Jedan deo numerologije zasnovan je na Fibonačijevom nizu, zbog njegove povezanosti sa prirodom: • suncokret – njegovaglavaima 55 redovasemenkikoje se okreću u smerusuprotnomodkretanjakazaljkenačasovnikui 89 redovasemenkikoje se okreću u smerukretanjakazaljkicasovnika • borovešišarke – imaju 5 strmihi 8 postepenihspirala • ananas – ima 8 i 13 postepenihspiralai 21 strmuspiralu • imamoFibonačijeveprste – 2 rukenasvakojpo 5 prstijusaviprstima tri falangespojenesadvazgloba • klavijaturanaklaviruima 13 dirkiobuhvataoktavuod toga je 8 belihi pet crnihkojesudaljepodeljene u grupeod 2 i 3 dirke

21. U prirodi se mogu naći brojni drugi matematički sklopovi a feng šui jeste sistem matematičkih sklopova u prirodi čija četiri osnovna principa odgovaraju brojevima Fibonaćijevog niza: • (1). Taiđi • (2). jin i jang • (3). Či (nebeski, zemaljski, ljudski) • (5). Pet faza i • (8). Osam trigrama

22. Zlatni presek u arhitekturi

23. Proporcionalnost u arhitekturi • Jos od stare Grcke poznajemo geslo ``covek je merilo stvari`` sto treba prihvatiti na 2 nivoa: • Prvo, arhitektura ima uvek utilitarno svojstvo---njena funkcija odredjuje njen oblik i mere. • Primer - to znaci da vrata moraju odgovarati prosecnoj visini osobe koja ce ta vrata koristiti, odnosno prolaziti kroz njih. • Zlebovi na stubovima grckih hramova, kanelure, imaju sirinu ljudskih ledja, kako bi se osobe koje se okupljaju ispred hrama mogle na njih nasloniti i odmoriti.

24. Drugo, u projektovanju zgrada koriste se razmeri ljudskih proporcija, cime se stvara osecaj sklada i prihvatanja od strane gledaoca, koji na nesvesnom nivou u odnosima arhitektonskih elemenata prepoznaje odnose vlastitog tela. Ceo stub se, npr. odnosom kapitela i tela stuba odnosi kao ljudska glava prema telu, a razmak izmedju stubova razmeran je rasponu koraka coveka. Posebno je vazno i ovo: rec RAZMER na latinskom se zvala PROPORCIJA, a na grckom ANALOGIJA

25. Pitagora, je prema prici prolazeci pored kovacnice cuo zvuke udaranja cekica o nakovanj u oktavama. Usavsi, video je kako su cekici napravljeni u razmeri 1:2, jedan je dvostruko veci od drugog. Time se stvorio, analogan proporcionalan odnos. Manji cekic prema vecem kao nota C prema noti C1! • Ta spoznaja omogucila mu je istrazivanje skrivenih odnosa medju stvarima koje je poceo svuda pronalaziti. Stoga je za univerzum skovao naziv kosmos, uredjen i suprotan od haosa. Iz ovih razmisljanja pojavljuju se reci struktura, nadredjeni red i korelacija- slicnost... kad jedno na drugo lici, po istim nacelima, dakle, ne po temi nego po sadrzaju. • Primer imamo, kod skolske nastave, otkrivanjem sakrivanih relacija ucenik i student ne usvaja samo znanje vec i odusevljenje u posmatranju i istrazivanju.

26. Stari Grci su znali za postojanje pravougaonika cije su strane u zlatnoj proporciji (1: 1.618 sto je isto kao i 0.618: 1).

27. Akropolj ,u centru Atine ,je izdan od stene koja dominira drevnim gradom.Njegov najpoznatiji spomenik je Partenon,hram boginje Atine izgradjen oko 430. ili 440. godine pre n ove ere. Cini se da je gradjen na dizajnu zlatnog pravougaonika i korenu-5 pravougaonika.

29. Upotreba zlatnog preseka je pocela mozda jos sa Egipcanima u dizajnu piramida.Kada se osnovni odnosi Pi koriste za kreiranje pravouglog trougla,formiraju se dimenzije Velike piramide u Egiptu.

30. Nema pisanih tragova da su stari Egipćani znali za Zlatni presek, ali je činjenica da se u izgrađenim piramidama jasno prepoznaju elementi Zlatnog preseka.

31. Renesansni umetnici iz 1500. godine u vreme Leonarda Da Vincija su ga znali kao Bozanske proporcije.U Indiji je koriscen u izgradnji Tadz Mahala,koja je zavrsena 1648. godine.

33. Geometrijska analiza dosadasnjih istrazivanja u Velikoj dzamiji Kajruan otkriva doslednu primenu zlatog odnosa tokom projektovanja.

34. Notr Dam u Parizu,koja je sagradjena izmedju 1163. i 1250. godine ima zlatne proporcije u nekoliko kljucnih odnosa dizajna.

36. Njegova upotreba se nastavlja u savremenoj arhitekturi,sto je ilustrovano u zgradi Ujedinjenih nacija.

37. Zgrada Ujedinjenih nacija u Njujorku.

38. Centralni toranj u Torontu je najvisi toranj I samostalna struktura u svetu,sadrzi zlatni presek u svom dizajnu.Odnos vidikovca na 342 metra na visini od 553,33 ukupno je 0.618.

40. Fakultet tehnickih nauka u Kaliforniji na Politehnickom drzavnom univerzitetu je organizovan na principu zlatnog preseka.

41. Video snimak o prirodi kroz brojeve :

42. TomicMarija StamenicTijana ZecicStevan DavidovicDarko Katanic Nikola IIIv