M ö biusova traka i Kleinova boca

1. Möbiusova traka i Kleinova boca Franka Miriam Brückler 19.02.2008.

2. Möbiusova traka (“papirni prsten sa zaokretom”)

3. Möbiusova traka je ploha (to znači da je lokalno dvodimenzionalna, kao npr. površina Zemljine kugle) • ima samo jednu stranu (kad “hodamo” po njezinoj sredini običi ćemo ju cijelu, ne trebamo prelaziti preko ruba) i jedan rub (možemo ga pratiti npr. prstom i cijelog ga obići bez podizanja prsta) • nije orijentabilna: ako biće koje živi _u_ njoj obiđe cijelu traku (npr. neko asimetrično slovo koje klizi po njoj), vratit će se na početak u obliku svoje zrcalne slike

4. Kleinova boca

5. i Kleinova boca je ploha (to znači da je lokalno dvodimenzionalna, kao npr. površina Zemljine kugle) • i ona ima samo jednu stranu tj. nema razlike između unutra i vani (za razliku od uobičajene začepljene boce), no za razliku od Möbiusove trake nema ruba (“zatvorena” je) • u stvarnosti nigdje ne siječe samu sebe, no kao što na papiru ne možemo nacrtati 2-D sliku stvarne (3-D) Möbiusove trake bez da nacrtamo samopresjek, tako ni 3-D model stvarne (4-D) Kleinove boce ne možemo napraviti bez samopresjeka • nije orijentabilna

6. Što je topologija? Zamisli da umjesto da crtaš na papiru, crtaš na balonu ... Tada ovisno o tom koliko napušeš ili bez napuhivanja rastegneš balon (ali paziš da ga ne potrgaš) ista slika izgleda različito. Kažemo da su sve te slike topološki ekvivalentne (fancy izraz je: homeomorfne  )

7. Topolog je osoba koja ne razlikuje donut (krafnu s rupom) od šalice za kavu.

8. Topologija je dio matematike sličan geometriji. U njoj se bavimo objektima u prostoru, no ne zanima nas koliko su veliki, ravni, pod kojim kutevima im stoje dijelovi ni kakav im je točno oblik. Umjesto toga topologija se koncentrira na pitanja povezanosti (je li nešto povezano i ako da, kako). U topologiji gledamo ima li objekt rupe i koliko njih, koliko strana ima objekt, mogu li ga bez rezanja, bušenja i lijepljenja preoblikovati u neki drugi (rastezanjem, stezanjem, zavrtanjem,...)

9. Još neke plohe iz topološke menažerije • između ostalog, topologija se bavi plohama i njihovom klasifikacijom (npr. obzirom na broj rupa) • ono što mi zovemo plohe, u topologiji se zove 2-mnogostrukost (dvodimenzionalna ploha u trodimenzionalnom prostoru); to su npr. sfera, ploha valjka, ... • dijele se na zatvorene i otvorene, orijentabilne i neorijentabilne, ... • neka od tih topoloških svojstava upoznat ćemo na primjerima ...

10. Što je zajedničko valjku, Möbiusovoj traci, torusu, Kleinovoj boci i projektivnoj ravnini? Odgovor: svi oni su zapravo pravokutni komad papira (preciznije: lokalno su obične ravnine). A gdje je onda razlika? U tome kako identificiramo stranice tog pravokutnika. Valjak (“papirni prsten”)

11. 2-sfera svako ulaganje (n-1)-sfere u n-dimenzionalni prostor razdvaja taj prostor na dva dijela – unutrašnji i vanjski

12. Kleinova boca nastaje tako da pravokutnom komadu papira prvo “normalno” slijepimo dva nasuprotna brida  dobijemo cijev • tu cijev savinemo i nasuprotne rubove zalijepimo uz zaokret  u 3-d prostoru dolazi do samopresjeka

13. Torus

14. Kako saznati živimo li na sferi ili na torusu? • sfera je jednostavno povezana, torus nije • znači: svaku zatvorenu krivulju na sferi možemo stisnuti u točku, a na torusu ne (one koje idu oko rupe)

15. Projektivna ravnina (crosscap)