Metryki

1. Metryki Co to jest ? Gdzie używamy tego pojęcia? Jakie są rodzaje ? Jak powstają kule w metrykach ?

2. Spis treści: • Podstawowe pojęcia • Rodzaje metryk • Pokaz powstawania kul w różnych metrykach

3. Przestrzeń Euklidesowa Przestrzeń euklidesowa:  przestrzeń o geometrii euklidesowej. Są one naturalnymi elementami modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowią dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych (jednak nie nadają się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach). Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Do przestrzeni euklidesowej jesteśmy przyzwyczajeni. Wykorzystujemy ją w szkole.

4. Kula Kula to : zbiór punktów oddalonych nie bardziej niż pewna zadana odległość r (promień kuli) od wybranego punktu O (środek kuli).

5. Koło Koło: zbiór wszystkich  punktów płaszczyzny, których odległość od ustalonego punktu na tej płaszczyźnie (środka koła) nie przekracza pewnej wartości (promienia koła). Jest to kula w metryce euklidesowej na płaszczyżnie.

6. Odległość: Odległościąw niepustym zbiorze X nazywamy funkcję, która każdej parze elementów a, b należących do X przyporządkowuje taką liczbę d(a, b), że : 1a) d(a, b) jest większa lub równa 0 1b) d(a, b) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a = b (odległość wyraża się liczbą nieujemną oraz jest równa zeru tylko wtedy, gdy elementy się pokrywają) 2 ) d(a, b) – odległość z a do b jest taka sama jak z b do a. Mówimy, że odleglość jest symetryczna. 3) d(a, b) jest mniejsza lub równa d(a, c) + d(c, b) – to odległość z a do b jest nie większa niż suma odległości z a do c i z c do b. Tą własność nazywamy nierównością trójkąta .

7. Przestrzeń metryczna: Przestrzeń metryczna – zbiór z określonym pojęciem odległości (nazywanej metryką) między jego elementami. Przestrzenie metryczne tworzą najogólniejszą klasę obiektów, w których używa się pojęcia odległości wzorowanej na odległości znanej przestrzeni euklidesowych (prostej, płaszczyzny czy przestrzeni trójwymiarowej).

8. Metryki w matematyce : - metryka euklidesowa - metryka Friedmana-Lemaître'a-Robertsona-Walkera - metryka Hausdorffa - metryka Mahalanobisa - metryka miejska - metryka Minkowskiego - metryka pomiarowa - metryka probabilistyczna - metryka Schwarzschilda

9. Metryka Euklidesowa Metryka Euklidesowa to "zwykła" odległość punktów na płaszczyźnie.

10. Odległość: • Odległość – wartość metryki. Potocznie rozumie się pod tą nazwą metrykę euklidesową. Kula w metryce euklidesowej

11. Metryka „miejska” Metryka Manhattan, inaczej metryka miasto lub miejska. Odległość dwóch punktów w tej metryce to suma wartości bezwzględnych różnic ich współrzędnych. Wobraźmy sobie, że z jakichś powodów możemy poruszać się jedynie w kierunkach wschód-zachód oraz północ-południe. Wtedy droga, jaką będziemy przebywać z jednego punktu do drugiego, wyniesie właśnie tyle, ile mówi o niej metryka miasto.

13. Metryka „kolejowa” Metryka kolejowa, centrum – metryka na płaszczyźnie. Odległość dwóch punktów w tej metryce jest sumą euklidesowych ich odległości od punktu 0 = (0,0) lub – w przypadku, kiedy prosta łącząca te punkty przechodzi przez punkt  – zwykła euklidesowa odległość. Wyobraźmy sobie na przykład labirynt, którego korytarze są prostymi rozchodzącymi się gwiaździście z jednego punktu. Wtedy, aby dojść z jednego punktu do drugiego, musimy najpierw dojść do skrzyżowania (centrum), by skręcić w odpowiedni korytarz. Nie będziemy więc pokonywać rzeczywistej odległości między tymi punktami, lecz właśnie taką, jaką dyktuje nam metryka centrum.

15. Kula w metryce euklidesowej P ( 6, 6 ) R = 6 P ( 6 , 6 ) 2 2

16. Kula w metryce „miejskiej” P ( 6, 6 ) R = 6 P ( 6 , 6 ) 2 2

17. Kula w metryce „kolejowa” Środek kuli w węźle R = 4 2

18. Kula w metryce „kolejowej” Środek kuli poza węzłem R = 6 1

19. Koniec Przygotowali : Bartłomiej Graczyk Maciej Combrzyński-Nogala