第八讲数论理论介绍

第八讲数论理论介绍 • 上海交通大学计算机科学系 • 郑东

本讲介绍数论的概念及在galois 域中计算的概念

1.数论介绍 • 数论概念: • 研究“离散数字集合” • 运算是“+” ,“×” • 例: • 整数: 5 + 9 = 14; 5 × 3 = 5 + 5 + 5 = 15 • 多项式: x2+1 + x = x2+x+1; x × x2+1 = x3+x

运算概念 • 运算: • 模数运算 • 模多项式运算 • 进一步运算: • 指数运算,逆运算理解公钥算法的基础

2.整除 • 对整数 b!=0及 a ,如果存在整数 m使得 a=mb,称 b 整除 a, 也称b是a的因子 • 记作 b|a • 例 1,2,3,4,6,8,12,24整除 24

3.素数与不可约多项式 • 素数: 只有因子 1 和自身 • 1 是一个平凡素数 • 例 2,3,5,7 是素数, 4,6,8,9,10 不是 • 素多项式或不可约多项式irreducible: • 不可写成其他因式的乘积 • x2+x = x × x+1是非不可约多项式; x3+x+1是不可约多项式

4.一些素数 • 200 以内的素数: • 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199

5.素数分解(PrimeFactorisation) • 把整数n写成素数的成绩 • 分解整数要比乘法困难 • 整数 n的素数分解是把它写素数的乘积eg. 91 = 7 × 13 ; 3600 = 24 × 32 × 52

6.整数互素 • 整数 a, b互素是指它们没有除1之外的其它因子 • 8 与15 互素 • 8的因子1,2,4,8 • 15的因子 1,3,5,15 • 1 是唯一的公因子

8.模算式 • 除法取余运算 • 同余( congruence) for a = b mod n • 如果a,b 除以n,余数相同 • eg. 100 = 34 mod 11 • b叫做a模n的剩余 • 通常 0<=b<=n-1 • eg. -12mod7 = -5mod7 = 2mod7 = 9mod7 • 可以进行整数运算

9.,模运算举例 • -21 -20 -19 -18 -17 -16 –15 • -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 • -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 • 0 1 2 3 4 5 6 • 7 8 9 10 11 12 13 • 14 15 16 17 18 19 20 • 21 22 23 24 25 26 27 • 28 29 30 31 32 33 34

10.模算术运算 • 加法a+b mod n • 减法 • a-b mod n = a+(-b) mod n

11.乘法\除法 • 乘法 • a.b mod n • 重复加法 • 除法 • a/b mod n • 乘以b的逆元: a/b = a.b-1 mod n • 如果n是素数, b-1 mod n存在 s.t b.b-1 = 1 mod n • 例. 2.3=1 mod 5 hence 4/2=4.3=2 mod 5

12模递归运算 • 模递归运算是“模除求余” • 例.r = a mod n计算 a = d.n + r • 33 mod 7 = 4.7 + 5; 得数是 5 • 通常, r 取正数 • 例 -18 mod 7 = -3.7 + 3; 答案是3 • a+/-b mod n = [a mod n +/- b mod n] mod n

13.运算法则 • 类似于正常算术运算: • 结合律: • (a+b)+c = a+(b+c) mod n • 交换律 • 分配律 • (a+b).c = (a.c)+(b.c) mod n • 加法单位元\乘法单位元 • 0+w = w mod n • 1×w = w mod n • 乘法运算类同

14群.环.域 群的定义: • 一些数字组成的集合 • 一个加法运算，运算结果属于此集合（封闭性） • 服从结合律。有单位元，逆元 • 如果是可交换的，则成为abelian群

15。环 • 环: • abelian 群，及一个乘法运算： • 满足结合律与加法的分配律 • 如果加法满足交换律, 则称交换环 • 例：整数 mod N （for any N ）

16。域 • 域： • abelian 加群 • 环 • abelian 乘群 (ignoring 0) • 例： integers mod P （ P 为素数）

17。Galois 域 • 如果 n是素数 p • 则模运算modulo p形成 Galois Field modulo p • 记为： GF(p)

18。GF(p) 中的指数运算 • 许多加密运算需要指数运算 • b = ae mod p • 重复乘法运算 • eg. 75 = 7.7.7.7.7 • 一个好的方法是不是平方和乘法

19。平方、乘法运算 • 计算指数的快速有效算法 • 思想：重复平方运算 • 计算最终结果的乘法运算

20。平方乘法运算 • 例 75 = 74.7 = 3.7 = 10 mod 11; 3129 mod 11 = 4 • ·let base = a, result =1· • for each bit ei (LSB to MSB) of exponent· • if ei=0 then· • square base mod p· • if ei=1 then· • multiply result by base mod p· • square base mod p (except for MSB)· • at end the required answer is result

21。平方乘法举例 • 75 = 74.7 = 3.7 = 10 mod 11 • base res exp (5=1012) • 7 1 initialise • 7.7=49=5 1.7=7 result=result x base, square base) • 5.5=25=3 0 (square base) • 3.3=9 7.3=21=10 1 (result=result x base, square base)

22。GF(p)中的离散对数 • 指数的逆问题是寻找整数模 p的离散对数 • 即：求 x使得 ax = b mod p • eg. x = log3 4 mod ? (ie x st. 3x = 4 mod ?) 无解 • eg. x = log 2 3 mod 13 = 4 （利用连续实验） • 计算指数相对容易，求离散对数一般很难 • 可以证明若 p素数,则总存在离散对数（ for any b!=0） • a的连续指数可以生成群（the group mod p） • a叫做一个本原根（ a primitive root） • 较困难的问题

Greatest Common Divisor • 数论中的一个普遍问题：决定最大公因子（greatest common divisor(GCD) ） • GCD (a,b)是整除a,b的最大整数 • 经常用于证明两个数互素

OK ！

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