By 侯嘉懿

By 侯嘉懿 幻方

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方” 一个3阶幻方在中国古代称为“河图”、“洛书”。幻方在我国古代被称为“纵横图” 纵横图和纵横填字游戏是不一样的，纵横填字游戏不要求图是一个正方形，而纵横图要求。幻方是什么

2500年前，孔子在他记载了：“河出图，洛出书，圣人则之。”最早将数字与洛书相连的记载是2300年前的《庄子·天运》“天有六极五常，帝王顺之则治，逆之则凶。九洛之事，治成德备，监照下土，天下戴之，此谓上皇。”2500年前，孔子在他记载了：“河出图，洛出书，圣人则之。”最早将数字与洛书相连的记载是2300年前的《庄子·天运》“天有六极五常，帝王顺之则治，逆之则凶。九洛之事，治成德备，监照下土，天下戴之，此谓上皇。” 明代数学家程大位在《算法统宗》中也曾发出“数何肇？其肇自图、书乎？伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物。” 十三世纪，中国南宋数学家杨辉在世界上首先开展了对幻方的系统研究，欧洲十四世纪也开始了这方面的工作。著名数学家费尔玛、欧拉都进行过幻方研究，如今，幻方仍然是组合数学的研究课题之一，经过一代代数学家与数学爱好者的共同努力，幻方与它的变体所蕴含的各种神奇的科学性质正逐步得到揭示。目前，它已在组合分析、实验设计、图论、数论、群、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智能等领域得到广泛应用。1977年，4阶幻方还作为人类的特殊语言被美国旅行者1号、2号飞船携入太空，向广袤的宇宙中可能存在的外星人传达人类的文明信息与美好祝愿！幻方的历史

世界上不存在幻方的世界纪录： 任意阶幻方构造法，任意维幻方构造法，任意次幻方构造法，都早已找到（如果存在）幻方专家李文第一位构造成功10阶标准幻立方，第一位构造出最低阶729阶五次幻方,和多项平方幻方世界纪录，幻方专家苏茂挺第一位构成功32阶完美平方幻方幻方的世界纪录

最简单的幻方： 幻方的构造

二阶幻方不存在 幻方的构造

三阶幻方 幻方的构造在《射雕英雄传》中郭黄二人被裘千仞追到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋。瑛姑出了一道题：数字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。这道题难倒了瑛姑十几年，被黄蓉一下子就答出来了。九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央

四阶幻方 幻方的构造

奇数阶幻方： 罗伯特：阶梯法把 1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的 n×n-1 个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。幻方的构造

45 47 69 80 12 34 58 23 57 79 11 68 9 22 33 44 46 78 10 21 43 56 67 8 32 54 55 66 77 7 18 20 31 42 53 41 6 17 19 30 52 63 65 76 29 40 62 75 16 27 51 64 5 72 74 26 28 39 50 61 15 4 73 36 38 49 60 71 3 14 25 37 70 48 59 81 13 24 35 2

双偶阶幻方： Spring：对调法（对称元素交换法）首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对称交换，即a(i,j）与a(n+1-i,n+1-j）交换，所有其它位置上的数不变。幻方的构造

最复杂的情形： 奇偶阶（4M+2） Strachey法生成。第一步，将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。将其等分为四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。 A C D B 第二步，在A每行取m个小格（中心格及一侧对角线格为必换格，其余m-1格只要不是另一侧对角线格即可），简单地说，就是说在A中间一行取包括中心格在内的m个小格，其他行左侧边缘取m个小格，将其与D相应方格内交换；B与C在最右侧取m-1列相互交换。幻方的构造

65 66 72 53 59 17 24 23 5 13 20 10 12 11 18 92 99 98 80 88 95 85 87 86 93 40 41 47 28 34

一些其他的方法： 连续摆数法、奇偶数分开的菱形法、对角线法、比例放大法、斯特雷奇法、LUX法、拉伊尔法（基方、根方合成法）、镶边法、相乘法、幻方模式幻方的构造

完美幻方： 具备幻方的基本性质，且该幻方中任意一泛（折）对角线的各个数之和都等于幻和，这种幻方称完美幻方（或称纯幻方）。其他幻方

同心幻方： 同心幻方也叫做嵌套幻方，其特点是由中心向外辐射。如果是七阶幻方，剥掉外层就变成五阶幻方，再剥掉外层就变成三阶幻方，也就是说，如果有一个无数阶同心幻方，那它就可以剥无限次（但到二阶幻方时就不能再剥了）其他幻方

古人的智慧：六六幻方 西历史博物馆二楼展厅陈列着一块刻着印度——阿拉伯数码的铁板。它是1273年修建安西王府时，压在房基下，作为避邪、防灾的物品。1957年在西安东郊元代安西王府遗址出土的。这个蕴含着数字原理的六六幻方，在古代被视为奇妙的神秘之物。

反幻方： 在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和不相等，具有这种性质的图表，称为“反幻方”。反幻方

完美反幻方是指将连续的n^2个数字填到n*n的正方格中，使其中任意一行、任意一列、任意一条对角线上的数字之和都不相等。并且各个方格内的自然数必须首尾相连，成为螺旋的形状。完美反幻方

M．Gardner： 完美反幻方仅此两个

包钟祥

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