Mongeovo prom ítání

1. Mongeovo promítání

2. Mongeovo promítání-rovnoběžný průmět tělesa • Kolmý průmět 3D těles není vzájemně jednoznačné zobrazení A B  E3E2 

3. Mongeovo promítání-použití více průmětů (kolmých) • Dvě na sebe kolmé průmětny p a n p...půdorysna n...nárysna x...základnice x =p  n

4. Mongeovo promítání-Kartézský souřadnicový systém O…počátek i,j,k …ortonormální vektory (x,y)…souřadnicová rovina (y,z)…souřadnicová rovina (x,z)…souřadnicová rovina x,y,z…osy • Ortogonální a ortonormální souřadný systém x,y,z určení polohy (bodu) v E3

5. Mongeovo promítání-určení polohy (bodu) v E3 • p...půdorysna • n...nárysna • m...bokorysna x...základnice x12 =p  n y13 =p  m A2...nárys bodu A A1...půdorys bodu A A3...bokorys bodu A • Bokorysna m, průměty A1,A2,A3,

6. Mongeovo promítání-určení polohy (bodu) v E3 • p...půdorysna • n...nárysna • m...bokorysna x...základnice x12 =p  n y13 =p  m A2...nárys bodu A A1...půdorys bodu A A3...bokorys bodu A • Souřadnicový kvádr

7. Mongeovo promítání-určení polohy (bodu) v E3 • p...půdorysna • n...nárysna • m...bokorysna x...základnice x12 =p  n y13 =p  m A2...nárys bodu A A1...půdorys bodu A A3...bokorys bodu A • Souřadnice jednotlivých průmětů A1(x,y,0), A2(x,0,z), A3(0,y,z)

8. Mongeovo promítání-určení polohy (bodu) v E3 z E2 Základní pojmy MG: p...půdorysna n...nárysna x...základnice x =p  n A2...nárys bodu A A1...půdorys bodu A2 A1...ordinála • Uspořádaná dvojice průmětů (A1,A2)(x,y,z)

9. Mongeovo promítání-převod z E3 doE2 Základní pojmy MG: p...půdorysna n...nárysna x...základnice x =p  n A2...nárys bodu A A1...půdorys bodu A2 A1...ordinála • Sklopení průmětny

10. Mongeovo promítání-zobrazení bodu v E2 Základní pojmy MG: p...půdorysna n...nárysna x...základnice x =p  n A2...nárys bodu A A1...půdorys bodu A A2 A1...ordinála • Dvojice průmětů v rovině spojená ordinálou

11. Mongeovo promítání-zobrazení bodu v E2 p...půdorysna n...nárysna x...základnice x =p  n A2...nárys bodu A A1...půdorys bodu A A2 A1...ordinála • Body ležící v průmětnách

12. Mongeovo promítání-zobrazení bodu v E2 p...půdorysna n...nárysna x...základnice x =p  n A2...nárys bodu A A1...půdorys bodu A A2 A1...ordinála • Průměty bodů ležících v průmětnách

13. Mongeovo promítání-základní pojmy p...půdorysna n...nárysna x...základnice xp  n • Mongeovo promítání je určeno dvěma na sebe kolmými průmětnami p,n. Průsečnice x  pnurčí také osu x kartézkého souřadného systému.

14. Mongeovo promítání-základní pojmy p...půdorysna n...nárysna x...základnice x =p  n A…bod v prostoru • Bod A v prostoru zobrazíme tak že jej pravoúhle promítneme do nárysny, dostaneme nárys bodu A, označíme jej A2

15. Mongeovo promítání-základní pojmy p...půdorysna n...nárysna x...základnice x =p  n A2...nárys bodu A A1...půdorys boduA A2 A1...ordinála • Bod A v prostoru zobrazíme tak že jej pravoúhle promítneme do nárysny, dostaneme nárys bodu A, označíme jej A2 . • Potom pravoúhle promítneme bod A do půdorysny, dostaneme půdorys bodu A, označíme jej A1

16. Mongeovo promítání - základní pojmy p...půdorysna n...nárysna x...základnice x =p  n A2...nárys bodu A A1...půdorys bodu A A2 A1...ordinála • Bod A v prostoru a směry promítání s1 a s2 definují promítací rovinu a

17. Mongeovo promítání - základní pojmy p...půdorysna n...nárysna x...základnice x =p  n A2...nárys bodu A A1...půdorys boduA A2 A1...ordinála • Bod A v prostoru a směry promítání s1 a s2 definují promítací rovinu a. Stopy promítací roviny a v průmětnách vytvoří ordinálu spojnici bodu B1,B2

18. Mongeovo promítání -základní pojmy p...půdorysna n...nárysna x...základnice x =p  n A2...nárys bodu A A1...půdorys bodu A A2 A1...ordinála • Zvolíme bod O počátek kartézkého souřadného systému na základnici x

19. Mongeovo promítání - základní pojmy p...půdorysna n...nárysna x...základnice x =p  n A2...nárys bodu A A1...půdorys boduAA2 A1...ordinála • Zvolíme bod O počátek kartézkého souřadného systému na základnici x. Nyní je možno odečíst souřadnice (x,y,z ) bodu A.

20. Mongeovo promítání -základní pojmy p...půdorysna n...nárysna x...základnice x =p  n A2...nárys bodu A A1...půdorys boduA A2 A1...ordinála • Půdorysnu p otočíme kolem základnice x12 do nárysny n a tu ztotožníme s nákresnou.

21. Mongeovo promítání - základní pojmy p...půdorysna n...nárysna x...základnice x =p  n A2...nárys bodu A A1...půdorys boduA A2 A1...ordinála • Půdorysnu p otočíme kolem základnice x12 do nárysny n a tu ztotožníme s nákresnou. V nákresně tím získáme dvojici (A1), A2 kterou nazveme sdružené průměty bodu A a dále označíme A1, A2

22. Mongeovo promítání - základní pojmy p...půdorysna n...nárysna x...základnice x =p  n A2...nárys bodu A A1...půdorys boduA A2 A1...ordinála • Nyní ještě ono slíbené ztotožnění s nákresnou, třeba tabule. Protože jsme zvolili pravotočivý souřadný systém je kladný směr na ose x nalevo od počátku.

23. Mongeovo promítání -základní pojmy p...půdorysna n...nárysna x...základnice x =p  n A2...nárys bodu A A1...půdorys boduA A2 A1...ordinála • Věta: a) Spojnice sdružených průmětů A1, A2 (A1=A2), je kolmá k základnici b) Přiřazení mezi body v prostoru a sdruženými průměty je vzájemně jednoznačné

24. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů N = a  n ...nárysný stopník přímkya P = a  p ...půdorysný stopník přímkya a2...nárys přímkya a1...půdorys přímkya • Přímka a v obecné poloze (a  x) Sdružené průměty a1,a2 určují přímku a v prostoru jednoznačně.

25. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů Nárysně promítací rovina přímky a Půdorysně promítací rovina přímky a Promítací roviny jsou tvořeny promítacímy přímkamy jednotlivých bodů přímky a • Přímka a v obecné poloze (a  x)

26. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů N = p  n ...nárysný stopník přímky P = p  p ...půdorysný stopník přímky • Průměty přímky a v obecné poloze p2...nárys přímkyp p1...půdorys přímkyp

27. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů • Průměty přímky a v obecné poloze N = p  n ...nárysný stopník přímky P = p  p ...půdorysný stopník přímky

28. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů N2... nárysnýprůmět nárysného stopníku přímky b N1...půdorysný průmět nárysného stopníku přímky b • Průměty přímky a v obecné poloze P2... nárysnýprůmět půdorysného stopníku přímky b P1...půdorysný průmět půdorysného stopníku přímky b

29. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů • Průměty přímky a v obecné poloze b2...nárys přímkyb, b2 P2 N2 b1...půdorys přímky b,b2 P1 N1

30. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů b2...nárys přímkybjako bod b1...půdorys přímkybkolmice na základnici Nb  n ...nárysný stopník přímky Pb  p ...půdorysný stopník přímky-nevlastní bod • Zvláštní polohy přímky - přímka b kolmá na průmětnu n, b n

31. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů b2...nárys přímkybjako bod b1...půdorys přímkybkolmice na základnici Nbn ...nárysný stopník přímky Pbp ...půdorysný stopník přímky-nevlastní bod • Zvláštní polohy přímky - přímka b kolmá na průmětnu n, b n

32. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů h2...nárys přímkyh - h2x12 h1...půdorys přímkyh N hn ...nárysný stopník přímky P hp ...půdorysný stopník přímky-nevlastní bod • Zvláštní polohy přímky - Hlavní horizontální přímka

33. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů h2...nárys přímkyh - h2x12 h1...půdorys přímkyh Nhn ...nárysný stopník přímky Php ...půdorysný stopník přímky-nevlastní bod • Zvláštní polohy přímky - Hlavní horizontální přímka- Průměty hlavní horizontální přímky

34. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů • Průměty hlavní horizontální přímky

35. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů • Průměty hlavní horizontální přímky

36. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů • Průměty hlavní horizontální přímky

37. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů-přímka f2...nárys přímkyf f1...půdorys přímkyf- f1x12 Nfn ...nárysný stopník přímky -nevlastní bod Pfp ...půdorysný stopník přímky • Zvláštní polohy přímky - Hlavní frontální přímka

38. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů-přímka f2...nárys přímkyf f1...půdorys přímkyf- f1x12 Nfn ...nárysný stopník přímky -nevlastní bod Pfp ...půdorysný stopník přímky P1…půdorysný průmět půdorysného stopníku P2…nárysný průmět půdorysného stopníku • Zvláštní polohy přímky - Hlavní frontální přímka- Průměty hlavní frontální přímky

39. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů • Průměty hlavní frontální přímky

40. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů-rovina • Možnosti zadání roviny

41. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů-rovina na = a  n ...nárysná stopa roviny pa = a  p ...půdorysná stopa roviny • Rovina v obecné poloze

42. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů-rovina na = a  n ...nárysná stopa roviny pa = a  p ...půdorysná stopa roviny n2a …nárysný průmět nárysné stopy roviny a p1a …půdorysný průmět půdorysné stopy roviny a • Rovina v obecné poloze - Průměty stop roviny v obecné poloze

43. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů-rovina • Průměty stop roviny v obecné poloze

44. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů-rovina • Průměty stop roviny v obecné poloze

45. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů na = a  n ...nárysná stopa roviny pa = a  p ...půdorysná stopa roviny • Hlavní přímka roviny • Hlavní přímky roviny a • Horizontální ha p • frontální f a n

46. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů-rovina na = a  n ...nárysná stopa roviny pa = a  p ...půdorysná stopa roviny • Zvláštní polohy roviny - Půdorysně promítací rovina (a  p)

47. Mongeovo promítání-průměty základních útvarů-rovina na = a  n ...nárysná stopa roviny pa = a  p ...půdorysná stopa roviny n2a …nárysný průmět nárysné stopy roviny a p1a …půdorysný průmět půdorysné stopy roviny a • Zvláštní polohy roviny-Půdorysně promítací rovina (a  p) - Stopy půdorysně promítací roviny

48. Rovnoběžky Různoběžky a2 b2 R2 a2 b2 b1 R1 x12 a1 b1 a1 b2 a2 Q2 R2 x12 R1= Q1 a1 b1 Mongeovo promítání – vzájemná poloha přímek Mimoběžky

49. Mongeovo promítání –vzájemná poloha přímek • Rovnoběžné přímky

50. Mongeovo promítání-vzájemná poloha přímek • Různoběžky nebo mimoběžky?