Driedimensionale ruimten doorzien

1. Driedimensionaleruimtendoorzien Roland van der Veen University of California, Berkeley (NWO rubicon)

2. Waarom 3D-ruimten? • Dimensie < 3 is makkelijk, Dimensie > 3 is hopeloos • Dynamischesystemen • 3 = 1+2 = tijd + ruimte • Allerotatiessamenvormeneen 3D-ruimte • Groepentheorie • Getaltheorie

3. Routekaart • Lichtstralen • Hyperbolischemeetkunde • 3D-animatie • Knopen • Hoe leg je eenknoop met alleeneenschaar? • Getaltheorie

4. Lichtstralen • Bestudeer een ruimte van binnenuit. • Hoe lopen de lichtstralen? • Wat is er te zien? • In onze (gewone) ruimte kunnen we dit heel mooi berekenen met het gratis computerprogramma POV-ray.

5. Programma POV-ray INPUT: • Positie van de camera • Positie van de lichtbron(nen) • Posities van de objecten OUTPUT: Eennatuurgetrouwetekening.

6. Voorbeeld camera{ location <3,3,-3>look_at <0,0,0> }light_source{ <3,3,3> color rgb <1,1,1> }sphere{ <0,1,0>, 1 pigment { color rgb <1,1,0>} }plane { <0,1,0>, 0 pigment {checker color rgb <1,1,1>, color rgb <1,0,0>} }

7. Licht in andere 3D-ruimten We leggen extra condities op aan de lichtstralen: zekunnenteleporterenof afbuigen. Bijvoorbeeld: • de 3D-torus: plafond = vloer, voorkant = achterkant rechtermuur = linkermuur • 3D-sfeer: de eenheidssfeer in R4

8. Pool spelen met Escher • Als je ruimteeroveralhetzelfdeuitmoetzien (isotroop), danmoet de ruimtekrommen. • De negatievekromming is het belangrijkst, het gaatom hyperbolischemeetkunde.

9. Hyperbolische meetkunde Alle duivels zijn gelijk Alle hoeken kloppen Rechte lijnen (geodeten) zijn cirkelbogen loodrecht op de randcirkel Oppervlakte driehoek = π - hoekensom

10. Hyperbolische meetkunde Waarom is pool spelenzomoeilijk? • Omtrekcirkel met straal r = 2πsinh(r) • Oppervlakte = 2π(cosh(r)-1) • Als r klein is, danOmtrek = 2πr en Opp = 2πr2 • Oppervlakte/Omtrek ≈ 1 voor r groot

11. De stelling van Thurston/Perelman Alle* 3D-ruimten zijn hyperbolisch Bovendien is de metriekuniek dustopologiewordtmeetkunde *Noujabijnaalle

12. Hoe zieteen 3D ruimteer van binnenuit? Zet je 3D bril op. We gaanachtereenvolgensbezoeken: • De 3D-torus. Kromming = 0 Euclidisch • Twee ruimtesopgebouwduiteendodecaederwaarvan de tegenoverliggendevlakkenwordengeidentificeerd. Namelijk: • De Poincare-ruimte(Draaiing1/10), Kromming > 0, bolmeetkunde. • De Seifert-Weber-ruimte(Draaiing3/10), Kromming< 0, hyperbolischemeetkunde

13. Receptomallemogelijke 3D-ruimten teconstrueren • Begin met de 3D-sfeer, • Knip een stel geknoopte torussen weg uit de 3D-sfeer. • Haal ze stuk voor stuk binnenstebuiten, • En plak ze weer terug.

14. Eennieuwemanier van knopenleggen Start met een tetraeder en gebruik een schaar. Bijvoorbeeld: Tetraeder Achtknoop knip

15. Preciezer gezegd • Start met tetraeder: • Pas nu steeds de drie onderstaandebewerkingen toe. Stelling: Zo krijgen we alle mogelijke knopen

16. De vereenvoudiging Vervang een knoop door de knoop verkregen uit A, H en U’, waarbij: De knopen die je dan krijgt zijn eenvoudiger, maar liggen niet te ver van de oorspronkelijke knoop. Die zit er namelijk in!

17. Hoe ziet de ruimterondzulkeknopeneruit? Arithmetisch. De loop van de lichtstralen wordt beschreven door de stellingen van Elon Lindenstrauss

18. Verwijzingen • Pool en 3D animaties door Jeff Weeks www.geometrygames.org • Not Knot Video: http://www.youtube.com/watch?v=AGLPbSMxSUM • Mijninleiding POV-ray: http://math.berkeley.edu/~roland/Popularization/popularization.html • De film Dimensions van Etienne Ghys en Jos Leys • http://www.dimensions-math.org/