机械转子式陀螺仪的概述

1. 机械转子式陀螺仪的概述 • 陀螺的基本部件 • 陀螺转子(Rotator) • 内、外框架(Gimbal)（支承部件） • 附件（电机、力矩器、传感器等） • 陀螺的分类（机械转子式） 二自由度(Two-Degree-of-Freedom) 单自由度(Single-Degree-of-Freedom)（速率 、积分）

2. 二自由度陀螺仪进动性：演示 • 进动性(Proceeding) 转子没有旋转时，给陀螺悬挂重物 录像：转子高速旋转的陀螺悬挂重物

3. 进动的规律 录像：沿着陀螺仪外框架轴施加力矩 • 进动性：陀螺仪受到外力矩时，转子自转轴的转动方向与外力矩方向相垂直的现象 • 进动、进动角速度

4. 用动量矩定理解释进动：近似推导 • H 的近似表示： • 动量矩定理+ 苛氏定律 • 动量矩定理 此即二自由度陀螺仪的进动方程

5. 进动角速度的方向和大小 • 进动角速度的方向：最短路径法则 （H 沿最短路径趋向 M） • 进动角速度的大小：根据M = ω×H，写成标量形式： • M = ω·H·sinθ • 因此ω = M /（H·sinθ） • 进动角速度大小与外力矩的大小成正比，与转子的动量矩的大小成反比。

6. 陀螺动力效应：陀螺力矩 外加力矩 陀螺力矩(Gyro Torque)：反作用力矩 陀螺力矩的方向判断 陀螺力矩的作用对象

7. 陀螺动力（稳定）效应，对外框架有效

8. 陀螺动力（稳定）效应，对内框架无效

9. 定轴性：不通电时转动基座 录像(61s)：陀螺不通电时，转动基座

10. 定轴性：通电后转动基座 录像(35s)：通电后，转动基座

11. 定轴性：不通电时敲打框架 录像(26s)：不通电时，敲打框架

12. 定轴性：通电后敲打框架 录像(35s)：通电后，敲打框架

13. 定轴性总结；漂移、章动 • 二自由度陀螺仪的定轴性 二自由度陀螺仪具有抵抗干扰力矩，力图保持其自转轴相对惯性空间方位不变的特性（定轴性、或稳定性）。 • 定轴性的相对性(一)：陀螺漂移 ωd = Md / H • 定轴性的相对性(二)：章动(Nutation)现象 陀螺受冲击力矩时，自转轴将在原来的空间方位附近作锥形振荡运动

14. 章动录像 录像（20s）：二自由度陀螺的章动(nutation)现象

15. 二自由度陀螺 运动方程：初步分析 • 任务：描述当沿着内外框架轴施加力矩时，陀螺框架角α、β的变化规律 • 方法：动量矩定理 + 苛氏定律 从定性到定量：引入坐标系 • 外、内框架和转子坐标系

16. 二自由度陀螺 运动方程：矢量表示 • 转子的绝对角速度：分解表示 内框架坐标系的牵连角速度： 转子相对内框架的角速度： 转子的绝对角速度： • 转子的动量矩：

17. 二自由度陀螺 运动方程：推导 • 根据动量矩定理和苛氏定律 • 其中

18. 二自由度陀螺 运动方程：合并简化 • 对每个坐标分量，分别写出方程 • 陀螺稳态工作时，Mz = 0，因此 • 对前两式，忽略角速度高阶小量，得到简化方程 • 以上称变态欧拉动力学方程 • 实际的陀螺中，一般赤道转动惯量 Jx = Jy，由第三式可得 • 关于框架角速度和外加力矩的方向

19. 二自由度陀螺 运动方程：角速度投影 • 代入简化方程，得到 两种角速度的关系 • 求导式展开，忽略高阶小量，得到 • 内框架坐标系 x y z 的ω等于两个欧拉角速度的矢量和 • 根据投影

20. 二自由度陀螺 运动方程：力矩投影 • 实际β角很小，上式简化成 • 力矩的变换 • 上式称为陀螺仪的技术方程。 • 技术方程的物理意义（惯性力矩和进动力矩） • 代入上式，得到

21. 二自由度陀螺 系统模型：拉氏变换 二自由度陀螺仪的技术方程 拉氏变换 整理 当初始条件都为零，得到

22. 二自由度陀螺 系统模型：系统方块图 • 拉氏变换方程 • 改写方程，画出系统方块图 • 每个力矩都同时引起陀螺仪的两种运动，陀螺力矩起耦合作用

23. 二自由度陀螺 系统模型：传递函数 • 由拉氏变换方程求解两个框架角α、β ，得到 • 由此可以得到从 Mx1、My 分别到α和β的四个传递函数 • 改写分母项 固有振荡频率

24. 二自由度陀螺 脉冲响应：输入输出 其中 • 冲击力矩的数学模型：脉冲函数，数值极大，时间极短，对时间的积分是一个有限值 • 代入系统的拉氏变换模型： • 求解α(s) 和β(s)，得到

25. 二自由度陀螺 脉冲响应：响应轨迹 假设 Jx = Jy = Je，并令ω02 = H2 / (Jx·Jy)， 部分分式展开，反拉氏变换得： 轨迹圆，半径…圆心…频率… • 可见，力矩 Mx1 引起转子轴同时绕内外两个框架作等幅振荡，相位相差90度。 • 消去时间变量，得轨迹方程

26. 二自由度陀螺 脉冲响应：计算例子 例子：设 Jx = Jy = Je = 1.38 克·厘米·秒2， H = 5160 克·厘米·秒， Mx1 = 36200 克·厘米 × 10-5秒 （注：克 = 克重，相当 于每克物体的重量） 角分 章动的幅度（半径） 章动的特点：高频、微幅

27. 二自由度陀螺 阶跃响应：输入输出 如果陀螺仪受到的力矩为常值，可以用阶跃函数表示： 陀螺系统的初始条件都为零时，频域输出响应为：

28. 二自由度陀螺 阶跃响应：时域响应 设 Jx = Jy = Je，并令ω02 =H / (Jx·Jy) 反拉氏变换，得时域响应： 动态响应：章动 稳态响应：进动和等效弹簧效应

29. 二自由度陀螺 阶跃响应：轨迹 圆周运动线速度： 圆心移动速度： 对前式移项后两边平方相加，得到转子轴的轨迹方程 旋轮线：圆周运动（章动）和平移运动（进动）的合成。解释： 两种运动合成的结果：车轮无摩擦滚动——旋轮线 其中进动起主导作用

30. 二自由度陀螺 阶跃响应：计算例子 • 例题：My = 1 克·厘米； H = 10000 克·厘米·秒； Jx = Jy = Je = 4 克·厘米·秒2；常值干扰力矩作用时间 t = 60秒。 陀螺漂移率 漂移的角度 章动振幅 章动频率 • 常值干扰力矩的产生原因及影响

31. 二自由度陀螺 正弦响应：输入输出 如果外加力矩方向不断改变，大致可以用简谐函数描述 初始条件都为零时，陀螺频域输出响应为： 令 ω02 = H2 / (Jx·Jy) ，并部分分式展开及反拉氏变换，得

32. 二自由度陀螺 正弦响应：时域响应 章动项 强迫简谐振动项 常值项 • 设ωa《ωo，Jx = Jy = Je，则上述响应式可以简化成：

33. 二自由度陀螺 正弦响应：轨迹 • 可见 Mx1 使转子轴同时绕内外框架轴做受迫振荡。 • 消去时间变量，得到轨迹方程 • 椭圆：长、短半轴的判断 • 不同类型的干扰力矩对陀螺仪精度影响程度的比较： 常值 > 正弦 > 冲击

34. 二自由度陀螺对外加力矩响应的总结 二 自 由 度 陀 螺 仪 章动 动态响应（双轴） 外 加 力 矩 等效 弹簧 静态响应（同轴） 进动 静态响应（正交轴）

35. 单自由度陀螺仪基本特性 和二自由度陀螺的定轴性比较 • 转子轴沿着 x 方向向对基座缺少转动自由度。 • 当基座沿着 x 方向旋转时： 转子轴被迫一起绕 x 旋转 转子轴仍尽力保持在原方位 转子和基座之间存在相互作用 基座对转子沿 x 轴施加力矩 转子轴将绕内框架轴 y 旋转 • 结论：单自由度陀螺能敏感基座在其缺少转动自由度的方向（敏感轴 x 方向）上的转动 单自由度陀螺 • 结构：只有一个框架 • 特点：转子轴仅一自由度

36. 单自由度陀螺 运动方程：坐标系 • 坐标系选取： • 固定坐标系 X Y Z • 载体坐标系 xb yb zb （输入轴） • 内框架坐标系 x y z • 转子坐标系 x’ y’ z’ • 运动方程：β～ωxb，需用到： • 动量矩定理 • 苛氏转动坐标定理 • 运动分析： • 转子绕 z’ 轴旋转；当载体以ωxb旋转，强迫内框架一同旋转，内框架同时绕 y 轴旋转。

37. 单自由度陀螺 运动方程：矢量表示1 • 取内框架坐标系为动作标系 • 内框架相对载体的转动 • 载体相对惯性空间的转动 • 动作标系相对惯性空间的转动 • 转子相对惯性空间的转动

38. 单自由度陀螺 运动方程：矢量表示2 • 转子的动量矩 • 实际中β非常小，H 可简化成 • 根据动量矩定理

39. 单自由度陀螺 运动方程：推导化简 • 考虑到β非常小， • 转子轴的运动只用β描述就足够，故只取 y 轴分量 • 忽略 MB 与 Mf ，简化得： 或

40. 单自由度陀螺 运动方程：典型二阶系统 典型的二阶系统，可以改写成 等效阻尼比 自由振荡频率

41. 单自由度陀螺 传递函数：速率陀螺 1、当c≠0，k≠0，借助ζ和ωn，得到 运动方程 拉氏变换（零初始条件） 传递函数 传递函数 稳态时 单轴陀螺的分类（根据 c, k 的不同） 称速率陀螺仪

42. 单自由度陀螺 传递函数：积分陀螺 2、当c≠0，k=0, 得到 整理得 令τ=Jy / c，得到 传递函数 传递函数：积分+惯性环节 稳态响应：β正比于输入的积分 惯性环节：τ的大小选取

43. 单自由度速率陀螺 阶跃响应：求解 1、速率陀螺的阶跃响应 传递函数 其中 系统输入 系统输出 反拉氏变换：

44. 单自由度速率陀螺 阶跃响应：曲线 以 为稳定位置的衰减振荡，其中 稳定条件：ζ> 0，一般取 0.5 ～ 0.8 。 稳态转角输出

45. 单自由度积分陀螺 阶跃响应 2、积分陀螺的阶跃响应 传递函数 输出函数 如果τ=Jy / c = 0，则 或写成