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机械转子式陀螺仪的概述. 陀螺的基本部件 陀螺转子 (Rotator) 内、外框架 (Gimbal) (支承部件) 附件(电机、力矩器、传感器等). 陀螺的分类(机械转子式) 二自由度 (Two-Degree-of-Freedom) 单自由度 (Single-Degree-of-Freedom) (速率 、积分). 二自由度陀螺仪进动性:演示. 进动性 (Proceeding). 转子没有旋转时,给陀螺悬挂重物. 录像:转子高速旋转的陀螺悬挂重物. 进动的规律. 录像:沿着陀螺仪外框架轴施加力矩.
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机械转子式陀螺仪的概述 • 陀螺的基本部件 • 陀螺转子(Rotator) • 内、外框架(Gimbal)(支承部件) • 附件(电机、力矩器、传感器等) • 陀螺的分类(机械转子式) 二自由度(Two-Degree-of-Freedom) 单自由度(Single-Degree-of-Freedom)(速率 、积分)
二自由度陀螺仪进动性:演示 • 进动性(Proceeding) 转子没有旋转时,给陀螺悬挂重物 录像:转子高速旋转的陀螺悬挂重物
进动的规律 录像:沿着陀螺仪外框架轴施加力矩 • 进动性:陀螺仪受到外力矩时,转子自转轴的转动方向与外力矩方向相垂直的现象 • 进动、进动角速度
用动量矩定理解释进动:近似推导 • H 的近似表示: • 动量矩定理+ 苛氏定律 • 动量矩定理 此即二自由度陀螺仪的进动方程
进动角速度的方向和大小 • 进动角速度的方向:最短路径法则 (H 沿最短路径趋向 M) • 进动角速度的大小:根据M = ω×H,写成标量形式: • M = ω·H·sinθ • 因此ω = M /(H·sinθ) • 进动角速度大小与外力矩的大小成正比,与转子的动量矩的大小成反比。
陀螺动力效应:陀螺力矩 外加力矩 陀螺力矩(Gyro Torque):反作用力矩 陀螺力矩的方向判断 陀螺力矩的作用对象
定轴性:不通电时转动基座 录像(61s):陀螺不通电时,转动基座
定轴性:通电后转动基座 录像(35s):通电后,转动基座
定轴性:不通电时敲打框架 录像(26s):不通电时,敲打框架
定轴性:通电后敲打框架 录像(35s):通电后,敲打框架
定轴性总结;漂移、章动 • 二自由度陀螺仪的定轴性 二自由度陀螺仪具有抵抗干扰力矩,力图保持其自转轴相对惯性空间方位不变的特性(定轴性、或稳定性)。 • 定轴性的相对性(一):陀螺漂移 ωd = Md / H • 定轴性的相对性(二):章动(Nutation)现象 陀螺受冲击力矩时,自转轴将在原来的空间方位附近作锥形振荡运动
章动录像 录像(20s):二自由度陀螺的章动(nutation)现象
二自由度陀螺 运动方程:初步分析 • 任务:描述当沿着内外框架轴施加力矩时,陀螺框架角α、β的变化规律 • 方法:动量矩定理 + 苛氏定律 从定性到定量:引入坐标系 • 外、内框架和转子坐标系
二自由度陀螺 运动方程:矢量表示 • 转子的绝对角速度:分解表示 内框架坐标系的牵连角速度: 转子相对内框架的角速度: 转子的绝对角速度: • 转子的动量矩:
二自由度陀螺 运动方程:推导 • 根据动量矩定理和苛氏定律 • 其中
二自由度陀螺 运动方程:合并简化 • 对每个坐标分量,分别写出方程 • 陀螺稳态工作时,Mz = 0,因此 • 对前两式,忽略角速度高阶小量,得到简化方程 • 以上称变态欧拉动力学方程 • 实际的陀螺中,一般赤道转动惯量 Jx = Jy,由第三式可得 • 关于框架角速度和外加力矩的方向
二自由度陀螺 运动方程:角速度投影 • 代入简化方程,得到 两种角速度的关系 • 求导式展开,忽略高阶小量,得到 • 内框架坐标系 x y z 的ω等于两个欧拉角速度的矢量和 • 根据投影
二自由度陀螺 运动方程:力矩投影 • 实际β角很小,上式简化成 • 力矩的变换 • 上式称为陀螺仪的技术方程。 • 技术方程的物理意义(惯性力矩和进动力矩) • 代入上式,得到
二自由度陀螺 系统模型:拉氏变换 二自由度陀螺仪的技术方程 拉氏变换 整理 当初始条件都为零,得到
二自由度陀螺 系统模型:系统方块图 • 拉氏变换方程 • 改写方程,画出系统方块图 • 每个力矩都同时引起陀螺仪的两种运动,陀螺力矩起耦合作用
二自由度陀螺 系统模型:传递函数 • 由拉氏变换方程求解两个框架角α、β ,得到 • 由此可以得到从 Mx1、My 分别到α和β的四个传递函数 • 改写分母项 固有振荡频率
二自由度陀螺 脉冲响应:输入输出 其中 • 冲击力矩的数学模型:脉冲函数,数值极大,时间极短,对时间的积分是一个有限值 • 代入系统的拉氏变换模型: • 求解α(s) 和β(s),得到
二自由度陀螺 脉冲响应:响应轨迹 假设 Jx = Jy = Je,并令ω02 = H2 / (Jx·Jy), 部分分式展开,反拉氏变换得: 轨迹圆,半径…圆心…频率… • 可见,力矩 Mx1 引起转子轴同时绕内外两个框架作等幅振荡,相位相差90度。 • 消去时间变量,得轨迹方程
二自由度陀螺 脉冲响应:计算例子 例子:设 Jx = Jy = Je = 1.38 克·厘米·秒2, H = 5160 克·厘米·秒, Mx1 = 36200 克·厘米 × 10-5秒 (注:克 = 克重,相当 于每克物体的重量) 角分 章动的幅度(半径) 章动的特点:高频、微幅
二自由度陀螺 阶跃响应:输入输出 如果陀螺仪受到的力矩为常值,可以用阶跃函数表示: 陀螺系统的初始条件都为零时,频域输出响应为:
二自由度陀螺 阶跃响应:时域响应 设 Jx = Jy = Je,并令ω02 =H / (Jx·Jy) 反拉氏变换,得时域响应: 动态响应:章动 稳态响应:进动和等效弹簧效应
二自由度陀螺 阶跃响应:轨迹 圆周运动线速度: 圆心移动速度: 对前式移项后两边平方相加,得到转子轴的轨迹方程 旋轮线:圆周运动(章动)和平移运动(进动)的合成。解释: 两种运动合成的结果:车轮无摩擦滚动——旋轮线 其中进动起主导作用
二自由度陀螺 阶跃响应:计算例子 • 例题:My = 1 克·厘米; H = 10000 克·厘米·秒; Jx = Jy = Je = 4 克·厘米·秒2;常值干扰力矩作用时间 t = 60秒。 陀螺漂移率 漂移的角度 章动振幅 章动频率 • 常值干扰力矩的产生原因及影响
二自由度陀螺 正弦响应:输入输出 如果外加力矩方向不断改变,大致可以用简谐函数描述 初始条件都为零时,陀螺频域输出响应为: 令 ω02 = H2 / (Jx·Jy) ,并部分分式展开及反拉氏变换,得
二自由度陀螺 正弦响应:时域响应 章动项 强迫简谐振动项 常值项 • 设ωa《ωo,Jx = Jy = Je,则上述响应式可以简化成:
二自由度陀螺 正弦响应:轨迹 • 可见 Mx1 使转子轴同时绕内外框架轴做受迫振荡。 • 消去时间变量,得到轨迹方程 • 椭圆:长、短半轴的判断 • 不同类型的干扰力矩对陀螺仪精度影响程度的比较: 常值 > 正弦 > 冲击
二自由度陀螺对外加力矩响应的总结 二 自 由 度 陀 螺 仪 章动 动态响应(双轴) 外 加 力 矩 等效 弹簧 静态响应(同轴) 进动 静态响应(正交轴)
单自由度陀螺仪基本特性 和二自由度陀螺的定轴性比较 • 转子轴沿着 x 方向向对基座缺少转动自由度。 • 当基座沿着 x 方向旋转时: 转子轴被迫一起绕 x 旋转 转子轴仍尽力保持在原方位 转子和基座之间存在相互作用 基座对转子沿 x 轴施加力矩 转子轴将绕内框架轴 y 旋转 • 结论:单自由度陀螺能敏感基座在其缺少转动自由度的方向(敏感轴 x 方向)上的转动 单自由度陀螺 • 结构:只有一个框架 • 特点:转子轴仅一自由度
单自由度陀螺 运动方程:坐标系 • 坐标系选取: • 固定坐标系 X Y Z • 载体坐标系 xb yb zb (输入轴) • 内框架坐标系 x y z • 转子坐标系 x’ y’ z’ • 运动方程:β~ωxb,需用到: • 动量矩定理 • 苛氏转动坐标定理 • 运动分析: • 转子绕 z’ 轴旋转;当载体以ωxb旋转,强迫内框架一同旋转,内框架同时绕 y 轴旋转。
单自由度陀螺 运动方程:矢量表示1 • 取内框架坐标系为动作标系 • 内框架相对载体的转动 • 载体相对惯性空间的转动 • 动作标系相对惯性空间的转动 • 转子相对惯性空间的转动
单自由度陀螺 运动方程:矢量表示2 • 转子的动量矩 • 实际中β非常小,H 可简化成 • 根据动量矩定理
单自由度陀螺 运动方程:推导化简 • 考虑到β非常小, • 转子轴的运动只用β描述就足够,故只取 y 轴分量 • 忽略 MB 与 Mf ,简化得: 或
单自由度陀螺 运动方程:典型二阶系统 典型的二阶系统,可以改写成 等效阻尼比 自由振荡频率
单自由度陀螺 传递函数:速率陀螺 1、当c≠0,k≠0,借助ζ和ωn,得到 运动方程 拉氏变换(零初始条件) 传递函数 传递函数 稳态时 单轴陀螺的分类(根据 c, k 的不同) 称速率陀螺仪
单自由度陀螺 传递函数:积分陀螺 2、当c≠0,k=0, 得到 整理得 令τ=Jy / c,得到 传递函数 传递函数:积分+惯性环节 稳态响应:β正比于输入的积分 惯性环节:τ的大小选取
单自由度速率陀螺 阶跃响应:求解 1、速率陀螺的阶跃响应 传递函数 其中 系统输入 系统输出 反拉氏变换:
单自由度速率陀螺 阶跃响应:曲线 以 为稳定位置的衰减振荡,其中 稳定条件:ζ> 0,一般取 0.5 ~ 0.8 。 稳态转角输出
单自由度积分陀螺 阶跃响应 2、积分陀螺的阶跃响应 传递函数 输出函数 如果τ=Jy / c = 0,则 或写成