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概率论

概率论. 与. 数理统计. 杭州电子科技大学. 数学教研室. 课 程 特 色. 二、规范化的教学管理模式。教学内容由教研室统一制订的概率论与数理统计教学大纲所决定，有统一的教学计划进度表，有全校统一的答疑时间，统一命题考试，流水作业批卷以及定期和不定期的教学检查和交流机制。. 一、注重培养学生的基本功，提供考研辅导。. 三、开放的教学模式和多媒体辅助教学。多种教学资料上网辅助学生课外复习提高。理学院机房向全校开放。. 向全校开放的理学院学生机房.

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Presentation Transcript

  1. 概率论 与 数理统计 杭州电子科技大学 数学教研室

  2. 课程特色 二、规范化的教学管理模式。教学内容由教研室统一制订的概率论与数理统计教学大纲所决定，有统一的教学计划进度表，有全校统一的答疑时间，统一命题考试，流水作业批卷以及定期和不定期的教学检查和交流机制。 一、注重培养学生的基本功，提供考研辅导。 三、开放的教学模式和多媒体辅助教学。多种教学资料上网辅助学生课外复习提高。理学院机房向全校开放。

  3. 向全校开放的理学院学生机房 除上课时间外，理学院学生机房向全校开放,学生可以在机房自由使用Matlab、 Sas、 Lindo以及Lingo等数学软件,也可以自编程序进行计算。学习概率统计课程的学生可以在机房完成分布拟合检验,方差分析和一些常用统计量的计算,也可以实现大规模问题的计算机随机模拟 操作。如生成[a,b]区间 上的随机数，模拟交通 流动态情况等。 机房地点:五教南402

  4. 教学研究与科研状况 • 高教研究:课程组教师近三年主持高教课题3项,全国高等教学研究会项目一项，校内2项，发表教学论文6篇 • 出版教辅书：《概率论与数理统计解题题典》，西北工业大学出版社，ISBS 7-5612-1748-X 2004.6 • 待出版教材：《概率论与数理统计》,高等教育出版社,将于今年7月出版,已列入高教出版社教材征订单. • 获得的教学表彰： 浙江省青年教师现代教学技能比赛优秀奖,杭州电子科技大学教学技能比赛特等奖,学校“三育人”积极分子

  5. 师资队伍结构及教学水平 • 年龄结构：40岁以上55%，其中82%的教师年龄在45岁以下。 • 教龄：64%的教师有十年以上的本科生教学经验。 • 学历：硕士以上学历占91%，博士和正教授占30%。 • 考核与学评教:三年中课程组有7人次年终考核优秀，上学年课程组有3位资深教师学评教列全校理工科类前10名。

  6. 第一章 概率论 的基本概念 1. 等可能概型 2.条件概率公式 要点 3.全概公式 4.逆概公式

  7. 古典概率的实例 实例1. 假設有2个箱子，将2个球分別随机地放进其中一箱。即每一个球均有1/2的概率放进任何一箱中。而每箱中恰有一球的概率为

  8. 　球的编号为1,2，箱子的编号为A1,A2

  9. 实例2 假設甲、乙、丙、丁四人第一次见，結果发现其中有两人生日在同一个月，这是巧合吗？我门算一算四个人中至少有两人生日在同一个月的概率。

  10. 这个问题可以用一副纸牌來模拟。先抽掉四张K，则牌中有四种花色，每种12张。我们用一种花色代表一个人，每种点数代表一个月份。如果我们在每一种花色中任抽一张牌，四张牌里至少两张点数一样的概率是多少？很明显，这就和四个人中至少两人生日在同一个月的概率一样。这个问题可以用一副纸牌來模拟。先抽掉四张K，则牌中有四种花色，每种12张。我们用一种花色代表一个人，每种点数代表一个月份。如果我们在每一种花色中任抽一张牌，四张牌里至少两张点数一样的概率是多少？很明显，这就和四个人中至少两人生日在同一个月的概率一样。

  11. 扑克牌模拟实验

  12. 四种花色各抽一张的所有可能组合有124种；考虑沒有两张牌点数相同，第一种花色可能出现的点数有12种可能，則第二种花色出现的点数不能和第一种花色的点数相同，故有11种；第三种花色出現的点数也不能和前两种花色的点数相同，所以有10种可能性；第四种花色则有9种可能性。所以沒有两张牌点数相同的情況有12×11×10×9种四种花色各抽一张的所有可能组合有124种；考虑沒有两张牌点数相同，第一种花色可能出现的点数有12种可能，則第二种花色出现的点数不能和第一种花色的点数相同，故有11种；第三种花色出現的点数也不能和前两种花色的点数相同，所以有10种可能性；第四种花色则有9种可能性。所以沒有两张牌点数相同的情況有12×11×10×9种

  13. 因此，没有有两张牌点数相同的概率为 至少有两张牌点数相同的概率为

  14. 条件概率公式 乘法公式

  15. 实例3 • 假設生男生女的概率相等。某家庭有两个小孩, 問 • (1) 已知老大为男孩, 求老二为男孩的概率;  • (2) 已知有一男孩之下, 求两个小孩均为男孩的概率。

  16. 解: 令A 表老大是男孩的事件, B 表老二是男孩的事件                                  ,                                           ,

  17. (1) 已知老大是男孩的条件下老二是男 孩的概率为 。 (2) 已知有一男孩之下, 两个小孩均为男孩的概率为

  18. 第2章 随机变量及其分布 • 定义2.1设随机试验的样本空间,如果对任意的基本事件 e,有一个实数X(e) 与之对应,就称X为随机变量. 例1设件产品中有件合格品和件不合格品,从中随机抽取一件,令 则X是一个随机变量

  19. 离散型随机变量 • 定义2.2如果随机变量所有可能取的值只有有限个或可列无限多个(即可以和自然数集中的元素对应),则称为离散型随机变量. • 称 为离散型随机变量的概率分布或分布律

  20. 分布律具有以下性质:

  21. 例1 实验室共有40台同类仪器,其中有5台仪器不能正常工作.某班实验课随机取其中34的台做实验,求取到的不能正常工作的仪器台数X的分布律.

  22. 解:X 的分布律为:

  23. 例2 射击进行到目标被击中或4发子弹被用完为止.如果每次射击的命中率都是0.4,求总射击次数X的分布律. 解X=k所对应的事件为前k-1次射击均未击中,第k次射击击中,故X的分布律为: 1 2 3 4 P

  24. 贝努里试验和二项分布 • 将试验重复进行次,每次试验中事件或者发生,或者不发生.如果每次试验的结果互不影响,则称这次试验是相互独立的.在次重复、独立试验中,不管哪一次试验,事件发生的概率保持不变,即不管在哪一次试验中都有:

  25. 独立试验序列是贝努里(Bernoulli)首先研究的,故也称为贝努里试验.独立试验序列是贝努里(Bernoulli)首先研究的,故也称为贝努里试验. • n重贝努里试验中事件A发生的次数X是一个随机变量,如果每次试验中A发生的概率为p,称X服从参数为p的二项分布或贝努里分布,记 X~b(n,p). • 二项分布是概率论中的一种重要分布.

  26. 定理 • 如果每次试验中事件A发生的概率为p,则在n次贝努里试验中事件A恰好发生k次的概率为 • 其中q=1-p.

  27. 解设X为在同一时刻台计算机中被使用的台数,则X~b(8,0.6),于是解设X为在同一时刻台计算机中被使用的台数,则X~b(8,0.6),于是 • 例2 一办公室内有8台计算机,在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6,计算机是否被使用相互独立,问在同一时刻: • 恰有3台计算机被使用的概率是多少? • 至多有2台计算机被使用的概率是多少? • 至少有2台计算机被使用的概率是多少?

  28. 分布函数定义

  29. 分布函数性质 2.分布函数单调不减 3.分布函数为右连续函数

  30. 分布函数与密度函数的关系

  31. 密度函数性质

  32. 指数分布 • 如果随机变量具有密度函数 • 则称X服从参数为 的指数分布其中 • 为某一常数. • 指数分布在在实际中有广泛的应用,如电子元件的寿命,随机服务系统的服务时间等都服从指数分布.

  33. 指数分布的分布函数为 指数分布的密度函数及分布函数的图形

  34. 例1 设某种电子元件的寿命X(以年记)服从参数 的指数分布,求 (1)寿命在0.5年和1年之间的概率; (2)寿命超过2年的概率; (3)设已经正常使用了 年,求还能够继续使用 年的概率. 解: （1）

  35. 由 ,知元件寿命至少为的概率等于已使用时间为的条件下,剩余寿命至少为的概率,这一性质被称为指数分布的无记忆性.

  36. 正态分布的概念 • 如果随机变量的概率密度为 • 其中 为常数,则称X服从参数为 的正态分布(或高斯分布),记为X~ • 正态分布密度函数的图形关于直线 对称,即对任意常数 • 时, 取到最大值.

  37. 正态分布密度函数图

  38. 在自然现象中,大量随机变量都服从或近似服从正态分布.例如一个地区的成年男性身高,测量某零件长度的误差,海洋波浪的高度,电子管或半导体器件中的热噪声电流或电压等,都服从正态分布.在概率论和数理统计的理论研究和实际应用中正态分布随机变量起着极其重要的作用. 设某人造卫星偏离预定轨道的距离X~ (单位:米),观测者把偏离值超过10米时称作“失败”. (1) 求5次独立观测中至少有2次“失败”的概率. (2) 已知5次独立观测中有一次“失败”,求5次观测中至少有2次“失败”的概率.

  39. 解 每次观测“失败”的概率为 设次独立观测中“失败”的次数为Y,则Y~b(5,p)

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