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全等三角形的复习

全等三角形的复习. 全等三角形对应边相等. 全等三角形对应角相等. 性质. 知识结构. 全等三角形的面积相等. 全等三角形. 全等形. SSS. 条件. SAS. ASA. AAS. 角的平分线的性质. HL. 应用. 解决问题. 角平分线上的一点到角的两边距离相等. 结论. 到角的两边的距离相等的点在角平分线上. 证明方法. 1 。证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法 2 。全等三角形，是证明两条 线段 或两个 角 相等的重要方法之一，证明时 ①要 观察 待证的线段或角，

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全等三角形的复习

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Presentation Transcript

  1. 全等三角形的复习

  2. 全等三角形对应边相等 全等三角形对应角相等 性质 知识结构 全等三角形的面积相等 全等三角形 全等形 SSS 条件 SAS ASA AAS 角的平分线的性质 HL 应用 解决问题 角平分线上的一点到角的两边距离相等 结论 到角的两边的距离相等的点在角平分线上

  3. 证明方法 1。证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法 2。全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时 ①要观察待证的线段或角， 在哪两个可能全等的三角形中。 　②分析要证两个三角形全等， 已有什么条件，还缺什么条件。 　③有公共边的，公共边一定是对应边， 有公共角的，公共角一定是对应角， 有对顶角的，对顶角也是对应角。 总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。

  4. 1.如图，AM=AN，BM=BN, 说明△AMB≌△ANB的理由. 解: 在△AMB和△ANB中, ∴ ≌（ ） 练习 AN 已知 BM AB AB △ABM △ABN SSS

  5. P A C B 第2题 ∠APC= ∠BPC 练习 2.如图，PA=PB，PC是△PAB的 角分线，∠A=55°.求：∠B的度数 解：∵PC是△APB的角平分线 ∴∠APC=（角平分线定义） 在中 ∠BPC △APC和△BPC PA=PB(已知) ∴ ∠A=∠B （） ∵∠A=55°（已知） ∴∠B=_____（等量代换） 全等三角形对应角相等 PC=PC(公共边) △APC △BPC SAS ∴≌ （） 55°

  6. 3种全等三角形， 每种各有2个。

  7. △ABD ≌ △CDB S△ABF = S△BDF S△ABD = S△AFD S△BDC = S△AFD S△ABE = S△DEF

  8. A 2 1 C D E B 探究： 如果△ABD≌△ACE ， ∠1与∠2相等吗？ 解：∵ △ABD≌△ACE （已知） ∴∠DAB = ∠EAC （全等三角形的对应角相等） ∴∠DAB - ∠BAE = ∠EAC - ∠BAE 即∠1 = ∠2

  9. 3

  10. 证明：∵∠BAC=∠ABD=900 ∠DAC =∠CBD ∴∠DAC+∠1=∠CBD+∠2=900 ∴ ∠1=∠2 在△ABC和△BAD中 ∠2 =∠1 AB = BA（公共边） ∠DAC = ∠CBD 1 2 ∴ △ABC≌△BAD（ASA） ∴ AC = BD

  11. A D E 1 2 B C 例1：如图，已知△ABC中，BE和CD分别为∠ABC和∠ACB的平分线，且∠1 = ∠2。 说明 BE = CD 的理由。 解：∵ BE平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴ ∠DBC = 2∠1，∠ECB = 2∠2, ∵ ∠1=∠2， ∴∠DBC = ∠ECB 在△DBC和△ECB中 ∠2 =∠1（已知） BC = CB（公共边） ∠DBC = ∠ECB ∴ △DBC≌△ECB（ASA） ∴ BE = CD（全等三角形的对应边相等）

  12. 证明：∵ BE⊥CE, AD⊥CE, ∴∠E =∠ADC =900 在Rt△ACD中, ∠2+∠3=900 ∵ ∠1+∠2=∠ACB=900 ∴ ∠1=∠3 在△BCE和△CAD中 ∠1 =∠3 ∠E =∠ADC BC = CA 1 2 3 ∴△BCE≌△CAD （AAS） ∴CE=AD=2.5cm, ∴BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8(cm)

  13. 探究： 已知：如图，△ABC≌△A1B1C1， AD、A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的高. 求证：AD=A1D1 分析： 已知△ABC≌△A1B1C1， 相当于已知它们的对应边相等. 在证明过程中，可根据需要，选取其中一部分相等关系.

  14. 证明：∵△ABC≌△A1B1C1（已知） 　　 ∴AB=A1B1，∠B=∠B1 （全等三角形的对应边、对应角相等） ∵AD、A1D1分别是△ABC、△A1B1C1的高, ∴∠ADB=∠A1D1B1= 90°.      　在△ABD和△A1B1D1中, 　　∠B=∠B1（已证） 　　∠ADB=∠A1D1B1（已证） AB=A1B（已证） ∴△ABD≌△A1B1D1（AAS） ∴AD=A1D1（全等三角形的对应边相等） 说明：本题的关键是利用三角形全等的性质及判定找到相等关系.类似的题目还有角平分线相等、中线相等.

  15. 　　已知： 如图1，在Rt△ABC、Rt△         中，∠ACB=∠         =Rt∠，BC=      ， CD⊥AB于D，      ⊥      于    ，CD=       　　求证：Rt△ABC≌Rt△ 例4：求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。 分析：首先要分清题设和结论，然后按要求画出图形，根据题意写出、已知求证后，再写出证明过程。

  16. 证明：在Rt△CDB和 Rt△       中 ∴Rt△CDB≌Rt△         （HL） 　　由此得∠B=∠     　　在△ABC与△        中 　　∴△ABC≌△        （ASA） 说明：文字证明题的书写格式要标准。

  17. D C A B 例2.如图，AB∥CD，AD∥BC， 那么AB=CD吗？为什么？AD与BC呢？ 证明: 连结AC， ∵ AB∥CD，AD∥BC（已知 ） 2 ∴ ∠1＝∠2， ∠3＝∠4 . 4 在△ABC与△CDA中 3 1 ∠1＝∠2 （已证） AC=AC （公共边) ∠3＝∠4 （已证） ∠A与∠C呢？ ∠B与∠D呢？ ∴ △ABC≌△CDA（ASA） ∴ AB=CD BC=AD （全等三角形对应边相等）

  18. D C E A B 例3.如图AB//CD,∠B=90º,E是BC的中点,DE平分∠ADC, 求证:AE平分∠DAB ∴BC⊥DC 又∵EF⊥AD ∴EF=CE 又∵E是BC的中点 ∴EB=EC ∴EF=EB ∵∠B=90º ∴EB⊥AB ∴AE平分∠DAB F 证明:作EF⊥AD,垂足为F, ∵DE平分∠ADC AB//CD,∴∠C=∠B 又∵∠B=90º∴∠C=90º

  19. 1。已知：如图,P是AB上的任意一点,AB=CB,AD=CD. 求证:PA=PC A _ = P ╭ 1 B 2 ╰ D _ = C ①要证明PA=PC 可将其放在ΔAPB和ΔCPB 或Δ APD和ΔCPD考虑. ②已有两条边对应相等 （其中一条是公共边） ③还缺一组夹角对应相等 创造条件！ ？ 若能使∠1=∠2 或∠ADP=∠CDP 即可。

  20. F C E B D A 2。如图，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC， 那么△ABC与　△FED全等吗？为什么？ 解：全等。 ∵BD=EC（已知）　　　 ∴BD－CD＝EC－CD。即BC＝ED 在△ABC与△FED中 考考你 ∴△ABC≌△FED（SAS）

  21. 小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。 3。如图线段AB是一个池塘的长度，现在想 测量这个池塘的长度，在水上测量不方便， 你有什么好的方法较方便地把池塘的长度测量 出来吗？想想看。 解：在△ACB和△DCE中， AC=DC  ∠ACB=∠DCE BC=EC B A C △ACB≌△DCE(SAS) D AB=DE （全等三角形对应边相等。） E

  22. A 2 1 E C D B 4。如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2， 求证：BC=DE. 证明：∵∠1= ∠2 ， ∠1+∠CAE = ∠2+∠CAE, ∴∠BAC = ∠DAE; 在△ABC和△ADE中 AB = AD（已知） ∠BAC = ∠DAE AC = AE（已知） ∴ △ABC≌△ADE（SAS） ∴BC = DE（全等三角形的对应边相等）

  23. 全等三角形 (1)两个能够完全重合的三角形叫全等三角形， (2)全等三角形的对应角相等，对应边相等。 (3)判定两个三角形全等的公理或定理： ①一般三角形有SAS、SSS 、ASA 、AAS; 直角三角形还有HL。 ②不要将SSA条件作为SAS条件来用。

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