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第七章第 3 课时： 解直角三角形的应用

第七章第 3 课时： 解直角三角形的应用. 要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练. 2.仰角、俯角在我们进行测量时，在视线与水平线所成的 角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的角 叫做俯角(如图7-3-1所示). 图7-3-1. 要点、考点聚焦. 1.本课时重点是把实际问题转化为数学问题. 3．坡度(坡比)、坡角. 图7-3-2. (1)坡度也叫坡比，用 i 表示即 i=hl，h 是坡面的铅直高度， l 为对应水平宽度，如图7-3-2所示 (2)坡角：坡面与水平面的夹角. (3)坡度与坡角(若用 α 表示)的关系： i=tan α.

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第七章第 3 课时： 解直角三角形的应用

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  1. 第七章第3课时： 解直角三角形的应用 • 要点、考点聚焦 • 课前热身 • 典型例题解析 • 课时训练

  2. 2.仰角、俯角在我们进行测量时，在视线与水平线所成的2.仰角、俯角在我们进行测量时，在视线与水平线所成的 角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的角 叫做俯角(如图7-3-1所示). 图7-3-1 • 要点、考点聚焦 1.本课时重点是把实际问题转化为数学问题.

  3. 3．坡度(坡比)、坡角 图7-3-2 (1)坡度也叫坡比，用i表示即i=hl，h是坡面的铅直高度，l为对应水平宽度，如图7-3-2所示 (2)坡角：坡面与水平面的夹角. (3)坡度与坡角(若用α表示)的关系：i=tan α.

  4. 4．方向角 5．命题方向 运用解直角三角形知识解决与生活、生产有关的应用题是近年来中考的热点题型，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，以综合题出现的考题也有上升趋势.

  5. 课前热身 1．(2003年·北京市)如图7-3-3所示，B、C是河对岸的两点，A是对岸岸边一点，测量∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=60米，则点A到BC的距离是 米。 30 图7-3-3

  6. 2．(2003年·宁夏)在倾斜角为30°的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为3米，那么，相邻两棵树间的斜坡距离为 米. 2 3．如图7-3-4所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡度i=1∶15，且AB= m. 13 图7-3-4

  7. 4．升国旗时，某同学站在离旗杆底部20米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角为30°，若双4．升国旗时，某同学站在离旗杆底部20米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角为30°，若双 眼离地面1.5米，则旗杆高度为 米(用含根号的式子来表示). 5．如图7-3-5所示，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时至B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是( ) +1.5 A．72海里 B.142海里 C.7海里 D.14海里 图7-3-5 A

  8. 【例1】(2003年·四川省)某中学初三年级开展数学实践活动，测量位于成都市城东猛追湾处的四川电视塔的高度，由于该塔还没有完成内外装修而周围障碍物密集，于是在它不远处开阔地带的C处测得电视塔顶点A的仰角为45°，然后向电视塔的方向前进132米到达D处，在D处测得顶点A的仰角为60°，如图7-3-6所示，求四川电视塔的高度约为多少米?(计算结果保留1位小数，供选用的数据： ≈1.73) ≈1.41， 图7-3-6 (缺) • 典型例题解析

  9. 【解析】这是解实际问题常见的，如测电视塔的高度，山的高度等对于仰俯角的问题，必然要弄清仰俯角的概念，实质上就是解直角三角形，对于此题，就是解Rt△ABC·Rt△ADB.【解析】这是解实际问题常见的，如测电视塔的高度，山的高度等对于仰俯角的问题，必然要弄清仰俯角的概念，实质上就是解直角三角形，对于此题，就是解Rt△ABC·Rt△ADB. 解：由于∠ACB=45°AB=CB. ∠ADB=60°∠DAB=30°.设DB=k，AD=2k，则AB=3k. ∴132+k= ) k=66 k=66(3+ AB= ≈312

  10. 【例2】(2003年·盐城)如图7-3-7所示，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造坡比为1∶15的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号) 图7-3-7

  11. 【解析】坡比的概念常用于防洪大堤的改造或水渠中迎水坡背水坡的改造，坡比是坡角的正切值，仍然要找直角三角形，如图所示的Rt△ABC中可以得到BC=AC，在Rt△ADC【解析】坡比的概念常用于防洪大堤的改造或水渠中迎水坡背水坡的改造，坡比是坡角的正切值，仍然要找直角三角形，如图所示的Rt△ABC中可以得到BC=AC，在Rt△ADC 中由iAD= ，故可以设AC=k，DC=1.5k，由AB=12 AC=BC=k=6 -6 =3 DC=9 DB=9

  12. 【例3】(2003年·贵阳市)如图7-3-8所示，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.【例3】(2003年·贵阳市)如图7-3-8所示，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响. (1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由. (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货 物?(供选用数据： ≈1.4， ≈1.7) 图7-3-8

  13. 【解析】这是一道与实际生活紧密相关的题目，结论不确定，具有一定的探索性.【解析】这是一道与实际生活紧密相关的题目，结论不确定，具有一定的探索性. (1)B处是否会受到台风的影响，只要求出点B到AC的最短距离与台风中心半径相比较即可，故应过B作BD⊥AC于 D.AB=20×16=320，∠CAB=30°BD=160＜200 ∴B处受台风中心影响. (2)台风对B处若有影响，则B处到台风中心的距离不大 于200海里，则BE≤200，则DE=120，AD=1603. 要在台风到来之前卸完货物，必须在 =3.8小时内卸完货物.

  14. 方法小结： 1．把实际问题转化成数学问题，这个转化为两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的平面或截面示意图，二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系. 2．把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是 直角三角形，可添加适当的辅助线，画出直角三角形.

  15. 一、课堂反馈 1．(2003年·河南省)如图7-3-9所示，为了测量河对岸的旗杆AB的高度，在点C处测得旗杆顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进5米到达D处，在D处测得旗杆顶端A的仰角为 45°，则旗杆AB的高度是 米。 图7-3-9 • 课时训练

  16. 2．如图7-3-10所示，在坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需( ) A．4m B.6m C．(6+2 )m D.(2+2 )m 图7-3-10 D

  17. 3.某段公路，每前进100m，路面就上升4m，则路面的坡度为( ) A. B. D. C.22° 4.如图7-3-11所示，是某市的一块三角形空地，准备在上面种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要( ) A.450a元 B.225a元 C.150a元 D.300a元 图7-3-11 D C

  18. 5.如图7-3-12所示，挂着“庆祝国庆”条幅的氢气球升在广场上空，已知气球的半径为2m，在地面A点测得气球中心O的仰角为60°，测得气球的视角∠BAC=2°(AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点)，则气球中心O离地面的高度OD为(sin 1°=00175，3=1732，结果精确到1m)( ) A.94m B.95m C.99m D.105m 图7-3-12 C

  19. 6.如图7-3-13所示，水坝的横断面是等腰梯形，斜坡AB的6.如图7-3-13所示，水坝的横断面是等腰梯形，斜坡AB的 坡度i=1∶3，斜坡AB的水平宽度BE=3 m，AD=2m，求 ∠B，坝高AE及坝底宽BC.

  20. 解：由i=1∶3可知∠B=30°又∵BE= ， ∴AE=1. 过点D作DF⊥BC于F. 由四边形ABCD为等腰梯形可知FC= 。 又∵EF=AD=2， ∴BC=BE+EF+FC= =2 +2+ +2.

  21. 本课时到此结束

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