1 / 16

TOAÙN 4 CHUOÃI VAØ PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN BAØI 5: PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2

BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG - ÑHBK -------------------------------------------------------------------------------------. TOAÙN 4 CHUOÃI VAØ PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN BAØI 5: PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2 TS. NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (5/2006).

molly
Download Presentation

TOAÙN 4 CHUOÃI VAØ PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN BAØI 5: PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG - ÑHBK------------------------------------------------------------------------------------- TOAÙN 4 CHUOÃI VAØ PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN • BAØI 5: PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2 • TS. NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (5/2006)

  2. NOÄI DUNG----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 – PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2. TRÖÔØNG HÔÏP GIAÛM CAÁP 2 – PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2 HEÄ SOÁ HAÈNG 3 – PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2 HEÄ SOÁ HAØM

  3. Phöông trình vi phaân caáp 2: F(x, y, y’, y’’) = 0 BT Coâsi: PT chuaån hoaù + ÑK ñaàu Giaûm caáp cô baûn: Phöông trình F(x, y’, y’’) = 0 Nguyeân taéc: Ñaët u(x) = ñaïo haøm caáp thaáp nhaát cuûa aån y VD: Giaûi phöông trình vi phaân caáp 2: Ñaùp soá: Nghieäm Nghieäm toång quaùt PT vi phaân caáp 2 chöùa 2 haèng soá C1, C2 GIAÛM CAÁP PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  4. Heä soá haøm, k0 thuaàn nhaát (veá phaûi): y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x) Ví duï: Tuyeán tính (linear): y,y’,y’’ – baäc 1 PT thuaàn nhaát töông öùng: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0 Ví duï: Töông öùng (1): PT thuaàn nhaát töông öùng: y’’ + py’ + qy = 0 Ví duï: Töông öùng (3): Heä soá haèng, k0 thuaàn nhaát (coù veá phaûi): y’’ + py’ + qy = f(x) Ví duï: PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN TUYEÁN TÍNH CAÁP 2--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  5.  > 0: k1  k2  R PTVPC2 thuaàn nhaát heä soá haèng y’’ + py’ + qy = 0  = 0: k1 = k2  R PTrình ñaëc tröng k2 + pk + q = 0 Phaûi tìm ñuû 2 nghieäm phöông trình ñaëc tröng  < 0: N0 phöùc GIAÛI PTVP TUYEÁN TÍNH C2 THUAÀN NHAÁT HEÄ SOÁ HAÈNG ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  6. PTVP t/tính thuaàn nhaát L[y] = 0 PT ñaëc tröng (ñaïi soá) aån k n haøm cô sôû y1 yn Tìm ñuû n ng. k1 kn y’’ – 5y’ + 6y = 0  k2 – 5k + 6 = 0: N0 2, 3  ytq = C1e3x + C2e2x  k2 – 4k + 4 = 0: 2 (keùp)  ytq = C1e2x + C2xe2x y’’ – 4y’ + 4y = 0 y’’ – 2y’ + 5y = 0  k2 – 2k + 5 = 0  k1,2 = 1  2i:  =1,  = 2  N0 CS ex, xex … ? y’’’ –y = 0  k3 – 1 = 0  1 Nghieäm k = 1 SÔ ÑOÀ GIAÛI PTVP TUYEÁN TÍNH THUAÀN NHAÁT CAÁP n -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  Nghieäm toång quaùt thuaàn nhaát ytq.tn = ex(C1cos2x + C2sin2x)

  7. k1  R: Nghieäm ñôn PTÑT kn+p1kn-1 + … pn = 0  Tìm n nghieäm thöïc – phöùc. Nghieäm boäi caáp r  r nghieäm ñôn truøng nhau k  R: boäi caáp r   i: phöùc lieân hôïp, ñôn   i: boäi caáp r  2r n0 ñôn NGHIEÄM (HAØM) CÔ SÔÛ TÖÔNG ÖÙNG N0 PT ÑAËC TRÖNG ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  8. VD: Giaûi ptrình y’’ – 3y’ + 2y = 2 baèng caùch chæ ra 1 nghieäm rieâng yr keát hôïp vôùi nghieäm toång quaùt thuaàn nhaát PTVP tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát caáp n (heä soá tuyø yù):  PTVP tuyeán tính thuaàn nhaát caáp n töông öùng: Nghieäm toång quaùt (E) = Toång quaùt (E0)+ Nghieäm rieâng (E) PHÖÔNG TRÌNH TUYEÁN TÍNH KHOÂNG THUAÀN NHAÁT -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Nghieäm rieâng yr = 1  ytq = C1ex + C2e2x + 1

  9. Veá phaûi: ex[Pn(x)cosx + Qm(x)sin x], Pn, Qm – ña thöùc 1/ Veá phaûi chöùa ña thöùc  yr chöùa ña thöùc (heä soá chöa xaùc ñònh) baäc cao nhaát. Haèng soá  Ña thöùc baäc 0 2/ Veá phaûi chöùa ex yr chöùa ex 3/ Veá phaûi chöùa löôïng giaùc  yr chöùa 2 haøm: sin x, cos x (duø veá phaûi chæ coù 1 loaïi haøm!) 4/  + i (veá phaûi)  nghieäm boäi caáp r cuûa phöông trình ñaëc tröng  Nhaân theâm xr vaøo yr caàn tìm. Khoâng coù haøm muõ   = 0; Khoâng coù löôïng giaùc   = 0 Toùm laïi: Ba cuøng – Cuøng daïng, cuøng baäc, truøng nghieäm TÌM NGHIEÄM RIEÂNG VÔÙI VEÁ PHAÛI ÑAËC BIEÄT -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  10. y’’+py’+qy=ex[Pn(x)cosx+Qm(x)sinx], NÑT: nghieäm ñaëc tröng; H: ña thöùc baäc VP: ña thöùc VP: muõ Veá phaûi: Löôïng giaùc Ng.rieâng yr: Ng. rieâng yr: Nghieäm rieâng yr coù daïng: (*) khi 0  NÑT caáp r. (*) khi   NÑT caáp r Baäc R = Baäc H. (*) khi i  NÑT boäi caáp r BA TRÖÔØNG HÔÏP HAY GAËP----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  11. Nghieäm toång quaùt ytq phöông trình vi phaân tuyeán tính coù veá phaûi: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f1(x) + f2(x) bieåu dieãn qua: • Nghieäm toång quaùt thuaàn nhaát ytq.0: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0 • Nghieäm rieâng yr.1 cuûa pt: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f1(x) • Nghieäm rieâng yr.2 cuûa pt: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f2(x) Coâng thöùc choàng chaát: ytq = ytq.0 + yr.1 + yr.2 NGUYEÂN LYÙ CHOÀNG CHAÁT (SGK, trang 150) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- YÙ nghóa: Taùch phöông trình coù veá phaûi daïng toång phöùc taïp thaønh toång caùc phöông trình coù veá phaûi ñôn giaûn

  12. Veá phaûi: y’’ + py’ + qy = f(x)  Tìm yr töø ytq.tn: Bieán thieân haèng soá C1 = C1(x), C2 = C2(x) VD: y’’ – 3y’ + 2y = lnx PTVP tuyeán tính k0 thuaàn nhaát y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x) & nghieäm toång quaùt thuaàn nhaát ytq.tn = C1y1(x) + C2y2(x). Tìm nghieäm rieâng phöông trình khoâng thuaàn nhaát: Xem C1 = C1(x), C2 = C2(x) Ng. rieâng yr = C1(x)y1 + C2(x)y2 VEÁ PHAÛI TOÅNG QUAÙT  BIEÁN THIEÂN HAÈNG SOÁ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  13. PTVPC2 thuaàn nhaát: y’’ + p(x)y’+q(x)y = 0 Tìm nghieäm ñaëc bieät y1: Ñoaùn daïng (x, ña thöùc) hoaëc ñöôïc gôïi yù N0 cô sôû thöù nhì: y2(x) = C(x)y1(x) PTVPC2TT toång quaùt heä soá haøm y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x) Nghieäm tq y = C1y1 + C2y2 + yr Ng. rieâng pt k0 tn: Bieán thieân haèng soá C1 = C1(x), C2 = C2(x) PTVP TUYEÁN TÍNH C2 HEÄ SOÁ HAØM (THAM KHAÛO) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  14. PT heä soá haøm: anxny(n) + an-1xn-1y(n-1) + … a0y = f(x)  Deã tìm nghieäm cô sôû thuaàn nhaát hoaëc ñöa veà heä soá haèng Daáu hieäu: Heä soá xk cuûa ñaïo haøm caáp k  y(k) (0  k  n) Thuaàn nhaát ax2y’’ + bxy’ + cy = 0  2 nghieäm cô sôû y = xm 2 nghieäm thöïc phaân bieät m1 m2 Nghieäm keùp m  Phöùc: m1,2 =   i PHÖÔNG TRÌNH EULER - COÂSI ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  15. a/ x2y’’–xy’–8y = 0 b/ 4x2y’’+y = 0 c/x2y’’–3xy’+13y = 0 m  R: ñôn  NCS y =xm anxny(n) + … + a0y = 0 m R: boäi r  xm,xmlnx … PTÑT theo m: g(m) = 0  n nghieäm (thöïc, phöùc)  n nghieäm (haøm) cô sôû PTrình Euler: anxny(n) + an-1xn-1y(n-1) + … a0y = f(x). Ñoåi bieán x = et  y’(x) = y’(t).t’(x), y’’(x) = … VD: Giaûi phöông trình x2y’’ – 2xy’ + 2y = ln2x + ln(x2) PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  16. Baøi toaùn bieân: Tìm y = y(x) thoaû Phaân bieät vôùi baøi toaùn Coâsi caáp 2: VD: VD: 1 nghieäm voâ nghieäm voâ soá nghieäm BAØI TOAÙN BIEÂN-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Baøi toaùn bieân caáp 2, nghieäm cô sôû sin, cos  Voâ soá nghieäm

More Related