集合的概念和性质,以及集合之间的运算集合{所有课程全体}和集合{所有教室}这两个集合之间就存在着某种联系。

集合的概念和性质,以及集合之间的运算 • 集合{所有课程全体}和集合{所有教室}这两个集合之间就存在着某种联系。 • 例：A={a,b,c}为学生集合，B={x,y,z,w}为课程集合，则笛卡儿积A×B就是学生与课程所组成的有序对全体。 • A×B={(a,x),(a,y),(a,z),(a,w),(b,x),(b,y),(b,z), (b,w),(c,x),(c,y),(c,z),(c,w)} • 若(a,x)表示学生a选修课程x，则当a,b,c三个学生选定课程，其情况是： • (a,y),(a,w),(b,x),(b,y),(b,w)，而c什么课也没选， • R={(a,y),(a,w),(b,x),(b,y),(b,w)} • 反映了学生与课程的联系。 • RA×B,即R是A×B 的子集。 • 集合A到集合B的关系。

第二章关系 2.1 二元关系

定义 2.2:设R是从A到B的二元关系,A的一个子集{a|存在b, 使得(a,b)R}称为R的定义域,记为Dom R。B的一个子集{b|存在a,使得(a,b)R}称为R的值域,记为Ran R。A称为R的前域,B称为R的陪域,并且Dom RA,Ran RB。 • 例:A={1,3,5,7},B={0,2,4,6},定义关系R:(a,b)R当且仅当a<b • 关系还可以用表格表示 • R={(1,2),(1,4),(1,6),(3,4), (3,6),(5,6)}

A={1,2,3,4},定义A上二元关系:(a,b)R当且仅当(a-b)/3为整数。称为模3同余关系。A={1,2,3,4},定义A上二元关系:(a,b)R当且仅当(a-b)/3为整数。称为模3同余关系。 • R={(a,b)|(a-b)/3为整数，a,bA}={(1,1), (2,2),(3,3), (4,4),(1,4),(4,1)} • Dom R=Ran R=A。 • 进一步可定义整数集上的模r同余关系： • {(a,b)|(a-b)/r为整数,a、bZ,rZ+} • 定义 2.3：设A1,A2,…An是n个任意集合,定义A1×A2×…×An的子集R为A1,A2,…An的n元关系,当A1=A2=…=An时,R称为A上的n元关系。

2.2关系的性质 • 定义2.4：设R是集合A上的二元关系。 • (1)自反：如果对任意aA,有aRa,则称R是自反的。 • 自反的定义要求是对所有的A中元素，因此讨论自反关系，应在一给定集合下 • A={1,2,3,4} • R1={(1,1),(2,2),(3,3)} ? • R2={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3),(4,4)} ? • 对于自反,必须是对于每个xA,都去检验是否有xRx。

(2)反自反：如果对任意aA,有(a,a)R ,则称R是反自反的。 • 反自反要求对任意的A中元素a，有(a,a)R。

不是自反的，不一定反自反 • 不是反自反的，也不一定是自反的。 • R3={(1,2),(3,2)} 是A上的反自反关系 • 思考：非空集合A上的空关系是否自反？反自反？ • (3)对称：对任意a,bA ,如果aRb必有bRa , 则称R是对称的。 • A={1,2,3,4} • S1={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)} 对称 • S2={(1,2),(2,1),(1,3)} • 因为(1,3)S2,而(3,1)S2, • 所以S2不是对称的 • S3={(1,2),(2,1),(3,3)} 对称

(4)对任意a,bA,如果aRb且bRa,必有a=b,则称R是反对称的。(4)对任意a,bA,如果aRb且bRa,必有a=b,则称R是反对称的。 • 该定义实际上表明：当ab时，若有(a,b)R,则(b,a)R。 • 不是对称，不一定是反对称的 • 不是反对称的，也不一定是对称的。 • 可以既是对称的，又是反对称的

(5)对任意a,b,cA, 如果aRb且bRc,必有aRc , 则称R是传递的。 • 注意：传递要求是：只要有aRb,bRc,则必须有aRc • 但若没有aRb,bRc ，当然也就不需要讨论是否有aRc 。

例：A上的非空关系R是对称的和反自反的，则R不是传递的。例：A上的非空关系R是对称的和反自反的，则R不是传递的。 • 证明:反证法.假设R传递. • 注意，当导出(a,a)R时，千万不能说R自反。 • 因为自反的要求是：如果对任意aA,有aRa。

A到B的关系是A×B的子集。 • 关系的表示，可以用集合的表示方法 • 对于有限集, 关系还可以用矩阵或图形来表示 • 定义 2.5：设A和B是两个有限集A={a1,a2,…, am},B={b1,b2,…,bn}，R是从A到B的二元关系,称m×n阶矩阵MR=(mi,j)为R的关系矩阵,其中当A=B时,A上的二元关系R可以用方阵来表示。

例:A={1,2,3,4}上模3同余关系R={(1,1),(2,2),(3,3), (4,4),(1,4),(4,1)},其关系矩阵为

例：A={2,3,4},B={1,3,5,7},A到B的<关系R={(2,3),(2,5), (2,7),(3,5),(3,7),(4,5),(4,7)},其关系矩阵为 • MR怎样表示？ • 规定MR上方B，左方为A,此时R与MR唯一对应。

设R是A上的二元关系, • 若R是自反的,则MR中的对角线元素均为1 • 若R是反自反的,则MR中的对角线元素均为 0。 • 若R是对称的,则MR是对称矩阵。 • 若R是反对称的,则在MR中对于i<j, 由mij=1可推出mji=0。

集合A到集合B的二元关系个数 • 集合A到集合B的二元关系是集合A×B的子集，因此应考察A×B有多少个不同的子集，也就是考察A×B的幂集的元素个数。 • 因为|A×B|=|B||A|,故|P(A×B)|=2|A||B|，因此集合A到集合B的二元关系个数是2|A||B|

A上的二元关系个数有多少个？ • 设|A|=n，则A上的二元关系个数有2n2 • A上有多少个自反关系？ • A={a1,a2,, an} • A×A=? • 用矩阵形式表示：

自反关系一定包含{(a1,a1), (a2,a2) ,, (an,an)}, • 余下的共有n2-n个元素，可组成2n2 -n个不同的关系。 • 故不同的自反关系有2n2 -n个。

有限集A上的二元关系除用方阵表示外, 还可用关系图来表示。这种图称为有向图。 • 设A={ a1,a2,…,an},R是A上的二元关系。A中每个元素ai用一个点表示, 称该点为顶点ai。如果aiRaj,则画一条从顶点ai到顶点aj的带箭头的线, 称该线为弧。如果aiRai,则画一条从顶点ai到顶点ai的带箭头的封闭弧, 称该弧为自环。对于关系R中每个有序对都可对应地画一条带箭头的弧, 从而得到关系R的图形,称为R关系图。

例:设A={1, 2, 3, 4, 5},A上的模3 同余关系R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,4),(4,1),(2,5), (5,2)},画出它的关系图

A到B的关系是A×B的子集,即关系也是一个集合,因此有关集合的并、交、差、补运算以及相应的性质同样适用于关系。A到B的关系是A×B的子集,即关系也是一个集合,因此有关集合的并、交、差、补运算以及相应的性质同样适用于关系。 • 其中补运算逆运算和复合运算

2.3关系的运算 • 一、逆运算 • R={(a,y),(a,w),(b,x),(b,y),(b,w)}反映了学生选课情况 • 要求了解课程被选修情况。 • {(x,b),(y,a),(y,b),(w,a),(w,b)} • 定义 2.7：设R是从A到B的二元关系,则从B到A的二元关系记为R-1,定义为：R-1 ={(b,a)|(a,b)R}称为R的逆关系。 • 例如实数集上“<”关系的逆关系是“>”关系。 • R={(1,2),(2,3),(1,3)} • 则R-1={(2,1),(3,2),(3,1)}

定理 2.1：设R,R1,R2是从A到B的二元关系, 则 • (1)(R-1)-1=R; • (2)(R1∪R2)-1=R1-1∪R2-1; • (3)(R1∩R2)-1=R1-1∩R2-1; • (4)(A×B)-1=B×A; • (5)-1=; (7)(R1-R2)-1=R1-1-R2-1; (8)若R1R2则R1-1R2-1。

(8)若R1R2则R1-1R2-1。

定理 2.2：设R是A上的二元关系,则R是对称的当且仅当R=R-1。 • (1)R对称,要证明R=R-1。 • RR-1。 • R-1R。 • R=R-1。 • (2)R=R-1,证明R对称 • 对任意(a,b)R,目标是(b,a)R

二、复合运算 • 定义 2.8：设R1是从A到B的二元关系,R2是从B到C的二元关系, 则从A到C的二元关系记为R1R2,定义为：R1R2={(a,c)|aA, cC, 且存在bB使(a,b)R1, (b,c)R2}，称为R1和R2的复合关系。 • 注意:(1)R1和R2复合的前提是: R1是从A到B的二元关系,R2是从B到C的二元关系 • (2)复合运算不满足交换律

R1={(a1,b1), (a2,b3), (a1,b2)} • R2={(b4,a1), (b4,c1), (b2,a2), (b3,c2)} • R1R2={(a1,a2), (a2,c2)} • R2R1={(b4,b1), (b4,b2), (b2,b3)} • R1R2 R2R1 • 结合律是否成立? • 即对于R1A×B, R2B×C, R3C×D • 是否有R1(R2R3)=(R1R2)R3 • 它们都是A×D的子集.

对任意(a,d)R1(R2R3),目标是证明(a,d)(R1R2)R3,对任意(a,d)R1(R2R3),目标是证明(a,d)(R1R2)R3, • R1(R2R3)(R1R2)R3 • 类似可以证明(R1R2)R3R1(R2R3) • 因此有R1(R2R3)=(R1R2)R3 • 定理 2.3：R1是从A到B的二元关系,R2是从B到C的二元关系,R3是从C到D的二元关系,则有R1(R2R3)=(R1R2)R3(结合律)

三、幂运算 • 设R是A上的一个二元关系, RR记为R2,RRR记为R3,… • 定义 2.9:设R是A上的二元关系,nN,R的n次幂记为Rn,定义如下： • (1)R0是A上的恒等关系(即R0={(a,a)|aA}),记为IA,又R1=R; • (2)Rn+1=RnR。

定理 2.4:设R是A上的二元关系,设m,nN, 则 • (1)RmRn=Rm+n • (2)(Rm)n=Rmn • 证明留作习题, 用归纳法证明。 • 由关系的并, 交, 逆和复合运算得到新的关系都可以用关系矩阵来表示。

A={a1,a2,,an},B={b1,b2,,bm} • 关系R1和R2都是A到B的二元关系 • MR1=(xij), MR2=(yij) • MR1∪R2=(xijyij) • MR1∩R2=(xijyij) •  0 1  0 1 • 0 0 1 0 0 0 • 1 1 1 10 1

例:A={2,3,4},B={1,3,5,7} • R1={(2,3),(2,5),(2,7),(3,5),(3,7),(4,5),(4,7)} • R2={(2,5),(3,3),(4,1),(4,7)}

R的逆关系R-1的关系矩阵MR-1=MRT,MRT是MR的转置。 • 象上例中R1的逆关系R1-1的关系矩阵为

A={a1,a2,,an},B={b1,b2,,bm}, C={c1,c2,,cr}, • R1是A到B的二元关系, 其关系矩阵为MR1=(xij)mn,R2是B到C的二元关系, 其关系矩阵为MR2=(yij)nr,则R1和R2的复合关系R1R2的关系矩阵为:

作业:p41-44 • 2(2),4,5,7,9(2),18(1)

集合的概念和性质,以及集合之间的运算 集合{所有课程全体}和集合{所有教室}这两个集合之间就存在着某种联系。