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第四章 基于传递函数模型的 控制系统设计

第四章 基于传递函数模型的 控制系统设计. 4.1 概述 4.2 根轨迹法 4.3 BODE 图法 4.4 PID 控制. 4.1 概述. 本章内容 ： 介绍基于传递函数模型的单输入单输出、线性、定常、连续、单位负反馈控制系统的设计问题。 设计要求： 用性能指标描述，主要包括 稳定性 动态性能 阻尼程度（超调量、振荡次数、阻尼比）、 响应速度（上升时间、峰值时间、调整时间） 稳态性能：控制精度（稳态误差）. R(s). C(s). 串联校正. C(s). R(s). 反馈校正. 控制系统具有良好的性能是指 ：

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第四章 基于传递函数模型的 控制系统设计

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  1. 第四章 基于传递函数模型的 控制系统设计 4.1 概述 4.2 根轨迹法 4.3 BODE图法 4.4 PID控制

  2. 4.1概述 • 本章内容： • 介绍基于传递函数模型的单输入单输出、线性、定常、连续、单位负反馈控制系统的设计问题。 • 设计要求：用性能指标描述，主要包括 • 稳定性 • 动态性能 • 阻尼程度（超调量、振荡次数、阻尼比）、 • 响应速度（上升时间、峰值时间、调整时间） • 稳态性能：控制精度（稳态误差）

  3. R(s) C(s) 串联校正 C(s) R(s) 反馈校正 • 控制系统具有良好的性能是指： • 输出按要求能准确复现给定信号； • 具有良好的相对稳定性； • 对扰动信号具有充分的抑制能力。 校正方案:

  4. 设计方法： • 根轨迹校正 单位反馈控制系统的性能指标以时域量的形式给出时，用根轨迹校正方法比较方便。时域指标包括期望的闭环主导极点的阻尼比和无阻尼自振频率、超调量、上升时间和调整时间等。 • Bode图法校正 性能指标以频域量的形式给出时，用Bode法比较合适时域指标包括期望的相角裕度、幅值裕度、谐振峰值、剪切频率、谐振频率、带宽及反映稳态指标的开环增益、稳态误差或误差系数等。

  5. 4.2 根轨迹法 • 实质 通过校正装置改变系统的根轨迹，从而将一对闭环主导极点配置到需要的位置上。 • 原则 若在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右移动，从而降低系统的相对稳定性，增加系统响应的调整时间。而在开环传递函数中增加零点，可以导致根轨迹向左移动，从而增加系统的稳定性，减少系统响应的调整时间。

  6. 数学描述 原系统的开环传递函数： 未校正系统的传递函数： 校正装置的传递函数： 校正后系统的传递函数：

  7. 4.2.1串联超前校正 系统可能对于所有的增益值都不稳定，也可能虽属稳定，但不具有理想的瞬态响应特性。可以在前向通道中串联一个或几个适当的超前校正装置。 一、根轨迹的几何设计方法 • 根据动态性能指标要求确定闭环主导极点S1的希望位置。 • 计算出需要校正装置提供的补偿相角c • 确定校正装置的参数 • 采用带惯性的PD控制器 • 采用PD控制器 • 验算性能指标

  8. 位置的确定方法 S1 同理 零点位置 极点位置

  9. 常用的设计函数 几何法串联超前校正函数 • 惯性PD控制器 [ngc,dgc]=lead1(ng0,dg0,s1) • PD控制器 [ngc,dgc]=lead2(ng0,dg0,s1) • s=bpts2s(bp,ts,delta) • s=kw2s(kosi,wn) • [kosi,wn]=s2kw(s) • [pos,tr,ts,tp]=stepchar(g,delta)

  10. 例4－1：设单位负反馈系统的开环传递函数为：例4－1：设单位负反馈系统的开环传递函数为： • 系统期望性能指标要求： • 开环增益 ； • 单位阶跃响应的特征量： • 试确定： • 带惯性的PD控制器的串联超前校正参数 • PD控制器的串联超前校正参数

  11. 设串联超前校正装置的传递函数为 • 根据稳态性能和动态特性要求，确定 和 • 确定所求的 、 需满足的方程： 由复数欧拉公式： 二、根轨迹的解析设计方法

  12. 利用上述方程可分为实部、虚部，确定未知数 解析法串联超前校正函数 [ngc,dgc]=lead3(ng0,dg0,KK,s1) 例4.2：同例4.1，试用根轨迹解析法确定超前校正装置。

  13. 根据动态指标要求，确定闭环主导极点 的希望位置 • 求取未校正系统根轨迹上的对应于闭环主导极点的开环增益 4.2.2串联滞后校正 如果原系统具有满意的动态响应特性，但是其稳态特性不能令人满意，可以通过在前向通道中串联一个滞后校正装置来解决，既增大了开环增益，又使动态响应特性不发生明显变化。 一、根轨迹的几何设计方法

  14. 计算期望的开环增益 ，并求取 • 确定滞后校正装置的 和 令 取小于1的正数。并验证 否则重新选择 。 或 • 验算性能指标

  15. 例4.3：设单位负反馈系统的开环传递函数为： 指标要求： （1）开环增益 ； （2）单位阶跃响应的特征量： ， 。 试确定串联滞后校正装置的参数 和 串联滞后校正函数 [ngc,dgc,k]=lag1(ng0,dg0,KK,s1,a)

  16. 二、根轨迹的解析设计方法 采用根轨迹的解析设计方法设计滞后校正装置与超前校正装置的方法相同，设滞后校正装置的传递函数为： 例4.4：同例4.3，试采用解析方法确定串联滞后校正的传递函数。

  17. 基本要求 为了获得比较高的开环增益及满意的相对稳定性，必须改变开环频率特性响应曲线的形状，这主要体现为：在低频区和中频区增益应该足够大，且中频区的对数幅频特性的斜率应为-20dB/dec，并有足够的带宽，以保证适当的相角裕度；而在高频区，要使增益尽可能地衰减下来，以便使高频噪声的影响达到最小。Bode图设计方法的频域指标为 。 4.3 Bode图法 基本思路 在Bode图中的对数频率特性的低频区表征了闭环系统的稳态特性，中频区表征了系统的相对稳定性，而高频区表征了系统的抗干扰特性。在大多数实际情况中，校正问题实质上是在稳态精度和相对稳定性之间取折衷的问题。

  18. 第一种情形：给出了 的要求值 （1）确定超前校正所应提供的最大超前相角 （2）求解 的值 （确定 ） 4.3.1串联超前校正 一、Bode图的几何设计方法 1．根据稳态指标要求确定未校正系统的型别和开环增益，并绘制其Bode图； 2．根据动态指标要求确定超前校正装置的参数；

  19. 如果 ，说明 值选择合理，能够满足相角裕度要求，否则按如下方法重新选择 的值： 若 ，则 正确，否则重新调整 值。 （3）由 求出 的值。 第二种情形：未给出 的期望值 （1）确定串联超前校正所应提供的最大超前相角 （2）根据 求出 的值；

  20. （3）根据 求出 ； （4）根据 求出 的值。 或 3．验算性能指标 对于三阶及其以上的高阶系统应该验证幅值裕度，并评价系统抑制干扰的能力。 函数 [ngc,dgc]=lead4(ng0,dg0,KK,Pm,w) [ngc,dgc]=lead5(ng0,dg0,KK,Pm,wc,w) [ngc,dgc]=lead6(ng0,dg0,KK,wc) 其中：Pm 期望的相角裕度 wc 期望的剪切频率 w 指定的Bode图频率范围

  21. 例4.5：设被控对象的传递函数 其设计要求： ， ， rad/s ， dB。 试设计带有惯性环节的并联超前校正控制器。

  22. 设计校正装置 （ ）的步骤如下： 1、根据 ，可得到 2、利用方程可分为实部、虚部两个方程，求出 、 值 其中 由复数欧拉公式： 二、Bode图的解析设计方法

  23. 函数 [ngc,dgc]=lead7(ng0,dg0,KK,Pm,wc,w) • 例4.7：设被控对象的传递函数 • 设计要求： 用Bode图解析法设计串联超前校正控制器

  24. 4.3.2 串联迟后校正 描述：串联滞后校正的主要作用在不改变系统动态特性的前提下，提高系统的开环放大倍数，使系统的稳态误差减小，并保证一定的相对稳定性。设滞后校正装置的传递函数为 一、Bode图的几何设计方法 1．根据稳态指标确定未校正系统的型别和开环增益，并绘制其Bode图； 2．根据动态指标要求确定滞后校正装置的参数；

  25. 第一种情形：给出了 的要求值 （1）根据 求出 ； （2）为了减少滞后校正对系统 的影响， 通常取 并求出 ； 第二种情形：未给出 的要求值 若相角裕度 不足，找出满足 （可加 的裕量）的频率点 作为校正系统的剪切频率，然后按第一种情形处理。 3．验算性能指标

  26. [ngc,dgc]=lag2(ng0,dg0,w,KK,Pm) [ngc,dgc]=lag3(ng0,dg0,w,KK,Pm,wc) 函数 例4.8：设被控对象的传递函数为： 其设计要求： ， 。 例4.9：设被控对象的传递函数为： 其设计要求： ， rad/s， 。

  27. 采用这种方法设计校正装置 （ ）， 其实现方法与lead7( )完全相同。 例4.10：同例4.8，且 rad/s ,用解析法设计串联迟后校正控制器。 二、Bode图的解析设计方法

  28. 4.3.4 反馈校正 反馈的作用 1、比例负反馈可以减弱为其包围环节的惯性，从而将扩 展该环节的带宽； 2、负反馈可以减弱参数变化对系统性能的影响； 3、负反馈可以消除系统不可变部分中的不希望有的特性； 4、负反馈可以削弱非线性影响； 5、正反馈可以提高反馈环路的增益。 在位置随动系统中，常常采用速度反馈这种形式来提高系统的控制性能。

  29. 设控制系统的方块如下所示，其中为 反馈校正环节 当 时，内反馈环的传递函数为 设计 使上式与系统的期望幅频特性的中频段特性相一致 基本原理 系统的开环传递函数为

  30. 设 ， 为反馈增益， 为微分的阶次。 为放大环节， 为积分环节，开环传递函数可构造为：

  31. 1、根据给定期望闭环的时域指标求取期望的频域指标1、根据给定期望闭环的时域指标求取期望的频域指标 2、根据开环期望频率特性的频域指标，确定系统的中频 段参数 3、由于期望对数幅频特性穿越0dB线，可得中频段增益 4、取中频段的倒特性，即可求取校正环节的传递函数。 设计步骤

  32. 例4.12：火炮系统方框图下所示。 试设计反馈校正环节 ，以满足下列要求： R（s） C（s）

  33. 典型PID控制系统结构图 4.4 PID控制 描述 设连续PID控制器的传递函数为： PID控制器具有简单的控制结构，在实际应用中又较易于整定，因此它在工业过程控制中有着最广泛的应用。大多数PID控制器是现场调节的，可以根据控制原理和控制效果对PID控制器进行精确而细致的现场调节。

  34. 例4.13：设被控对象的数学模型为 分析比例、微分、积分控制对系统的影响。 4.4.1比例、积分、微分控制作的分析 1、比例控制 结论：比例系数增大，闭环系统的灵敏度增加，稳态误差减小，系统振荡增强；比例系数超过某个值时，闭环系统可能变得不稳定。 2、积分控制 结论：可以提高系统的型别，使系统由有差变为无差；积分作用太强会导致闭环系统不稳定。

  35. 4、不完全微分控制 结论：解决了完全微分的物理实现性问题；当N=10的时候，不完全微分近似于完全微分作用；不完全微分解决了完全微分作用对阶跃信号第一拍的输出为无穷大，以后各拍微分作用的输出为零的问题； 3、微分控制 结论：微分具有预报作用，会使系统的超调量减小，响应时间变快。

  36. 5、微分先行控制 结论：具有和完全微分相同的作用，改善了完全微分的不足：解决了完全微分控制对阶跃性误差信号（主要有阶跃给定引起）在第一拍会输出很大的控制量而在第一拍后微分作用都为零的问题。 对象模型

  37. 4.4.2 Ziegler-Nichols（齐格勒—尼柯尔斯）整定法则 描述 由于很难获取被控对象的精确数学模型，所以用理论计算得到的PID参数应用到实际系统后，控制效果不会很好，甚至引起振荡。齐格勒—尼柯尔斯是一种工程整定方法，可以在不知道对象模型的前提下，确定PID参数。齐格勒—尼柯尔斯调节律有两种方法，其目标都是使闭环系统在阶跃响应中，达到25%的最大超调量。

  38. 控制器类型 Kp TI Td P T/L ∞ 0 PI 0.9T/L L/0.3 0 PID 1.2T/L 2L 0.5L 齐格勒—尼柯尔斯调整法则（第一种方法） PID控制器公式： 近似为带延迟的一阶系统 第一法： 通过实验获取开环系统的S型响应曲线，通过S型曲线的转折点画一条切线，可以求得延迟时间L和时间常数T

  39. 控制器类型 Kp TI Td P 0.5Kc ∞ 0 PI 0.45Kc Pc/1.2 0 PID 0.6Kc 0.5Pc 0.125Pc 齐格勒—尼柯尔斯调整法则 （第二种方法） PID控制器公式： 第二法： 闭环系统只采用比例控制作用，使Kp从0增加到临界值Kc。

  40. 例4.14: 设被控对象的传递函数为 串联校正采用PID控制器，其形式为 试采用齐格勒—尼柯尔斯调节律确定参数 的值。若设计出的系统的超调量等于或大于40%，则应精确调整，使最大超调量减小到大约25%。

  41. 1、采用齐格勒—尼柯尔斯调节律第二种方法确定PID的参数1、采用齐格勒—尼柯尔斯调节律第二种方法确定PID的参数 设 和 ，则闭环传递函数 2、利用劳斯稳定判据求出临界增益Kc和振荡周期Pc的值 3、初次选择PID参数的值，并验证性能指标 4、如果性能指标不满足要求，进行精确的参数调整

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