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方程与几何综合 题选讲

方程与几何综合 题选讲. 复习要点 例题精析 考题演练. 复习要点. 1.充分利用一元二次方程根与系数的关系及其判别式等 知识解决有关几何问题；. 2.能熟练地将方程的根与几何图形中的线段联系起来， 通过方程的性质和几何图形的性质实行转化. 例题精析. 【 例 2】 已知 AB 是半圆 O 的直径， AC 切半圆于 A，CB 交⊙ O 于 D，DE 切⊙ O 于 D，BE⊥DE， 垂足是 E，BD=10，DE、BE 是方程 x 2 -2(m+2)x+2m 2 -m+3=0 的两个根( DE＜BE)， 求 AC 的长. 【解析】

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方程与几何综合 题选讲

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Presentation Transcript

  1. 方程与几何综合题选讲 复习要点 例题精析 考题演练

  2. 复习要点 1.充分利用一元二次方程根与系数的关系及其判别式等 知识解决有关几何问题； 2.能熟练地将方程的根与几何图形中的线段联系起来， 通过方程的性质和几何图形的性质实行转化.

  3. 例题精析

  4. 【例2】已知AB是半圆O的直径，AC切半圆于A，CB交⊙O于D，DE切⊙O于D，BE⊥DE，垂足是E，BD=10，DE、BE是方程x2-2(m+2)x+2m2-m+3=0的两个根(DE＜BE)，求AC的长.【例2】已知AB是半圆O的直径，AC切半圆于A，CB交⊙O于D，DE切⊙O于D，BE⊥DE，垂足是E，BD=10，DE、BE是方程x2-2(m+2)x+2m2-m+3=0的两个根(DE＜BE)，求AC的长. 【解析】 已知半径，一般先构造90°的圆周角， 故可以连AD，由此可容易 推得Rt△BDA∽Rt△BAC∽Rt△BED，由一元二次方程根与系数关系和勾股定理建立关于DE、BE、m的方程组，解之，于是Rt△BED可解.欲求AC，只要先求出AB，而这通过相似三角形易求得.

  5. 解：∵DE、BE是方程x2-2(m+2)x+2m2-m+3=0的两个根(DE＜BE)且BE⊥DE，BD=10解：∵DE、BE是方程x2-2(m+2)x+2m2-m+3=0的两个根(DE＜BE)且BE⊥DE，BD=10 连接AD，∵AB是直径∴∠ADB=90° ∵DE是⊙O的切线∴∠EDB=∠DAB ∴Rt△BDE∽Rt△BAD ∴∠ABC=∠DBE， ∴ ∴AB= ∵AC切⊙O于A∴∠CAB=90° ∴Rt△CAB∽Rt△DEB ∴ ∴AC=

  6. 【例3】已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5.【例3】已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5. (1)k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形? (2)k为何值时，△ABC是等腰三角形?并求△ABC的周长. 【分析】AB、AC是方程的两根，则根据根与系数的关系以及△ABC是以BC为斜边的直角三角形联立关于k的方程，即可求得k的值；而△ABC为等腰三角形，则要通过分类讨论三种情形，并且使分类不重不漏，再由其他条件确定k值，从而求得等腰三角形的周长.

  7. 解：(1)∵AB、AC是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两根 ∴AB+AC=2k+3，AB·AC=k2+3k+2 又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=5 ∴AB2+AC2=BC2∴(AB+AC)2-2AB·AC=25 即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25 ∴k2+3k-10=0∴k1=-5或k2=2 当k=-5时，方程为x2+7x+12=0 解得x1=-3，x2=-4(舍去) 当k=2时，方程为x2-7x+12=0 解得x1=3，x2=4 ∴当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形.

  8. (2)若△ABC是等腰三角形，则有①AB=AC，②AB=BC，③AC=BC三种情况.(2)若△ABC是等腰三角形，则有①AB=AC，②AB=BC，③AC=BC三种情况. ∵Δ=(2k+3)2-4(k2+3k+2)=1＞0 ∴AB≠AC，故第一种情况不成立； 当AB=BC，或AC=BC时，5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的根 即25-5(2k+3)+k2+3k+2=0k2-7k+12=0 ∴k1=3或k2=4 当k=3时，x2-9x+20=0，x1=4，x2=5 ∴等腰三角形的三边长分别是5、5、4，周长是14. 当k=4时，x2-11x+30=0∴x1=5，x2=6 ∴等腰三角形的三边长分别是5、5、6，周长为16， 故当k=3或k=4时，△ABC为等腰三角形，周长分别为14或16.

  9. 【例4】已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，tan A、tan B是关于x的一元二次方程x2-kx+12k2-37k+26=0的两个实数根， 求：(1)求k的值；(2)若c=10，且a＞b，求a、b的值. 【分析】利用根与系数的关系列方程即可求k的值；再利用三角函数知识可求出a、b的边长. 解：(1)∵tan A·tan B=12k2-37k+26 则由∠C=90°知A+B=90°即tan A·tan B=1 ∴12k2-37k+26=1∴(12k-25)(k-1)=0 ∴k=25/12或k=1 当k=1时 ，方程变为x2-x+1=0因Δ＜0∴不合题意舍去 当k=25/12，方程变为x2-25/12x+1=0 因Δ＞0∴成立 ∴k的值为25/12.

  10. (2)又∵tan A+tan B=k∴tan A+ ∴(tanA)2- (tan A)+1=0∴12(tan A)2-25(tan A)+12=0 ∴tan A=3/4或tan A=4/3 又∵a＞b∴tan A=a/b＞1∴tan A=4/3 ∴

  11. 【例5】如图所示，锐角三角形ABC内接于⊙O，高AD、BE交于点H，过点A引圆的切线与直线BE交于点P，直线BE交⊙O于另一点F，AB12的长是关于x的方程【例5】如图所示，锐角三角形ABC内接于⊙O，高AD、BE交于点H，过点A引圆的切线与直线BE交于点P，直线BE交⊙O于另一点F，AB12的长是关于x的方程 x2- x+ (sin2C- sin C+1)=0的一个实数根. (1)求∠C的度数与AB的长； (2)设BH=x，BP=y，①求y与x间的函数关系式；②当y=3 时，试判断△ABC的形状，并说明理由.

  12. 【分析】 (1)利用根的判别式△≥0可迅速求得； (2)要寻找y与x的关系式，就要寻找y、x所在的两个 三角形相似，故即证△PBA∽△ABH；再利用y与x的关 系式，已知y值即可求出x的值.在Rt△AHE和Rt△ABE中 运用勾股定理及三角函数知识求出HE、BE的长度，最后 计算出∠BAC=60°=∠C即可.

  13. 解：(1)∵方程有实根∴Δ=(-1/2)2-4×1×1/4(sin2C-3sin C+1)≥0 即-(sin C- )2≥0∴sin C= ，∠C=60° 由Δ=0知x1=x2，而x1+x2=2x1=1/2∴x1=1/4 即AB12=14∴AB=3. (2)①∵AD⊥BC，BE⊥AC ∴∠P+∠PAC=∠BAD+∠ABC=90° 又∵PA切⊙O于A∴∠PAC=∠ABC ∴∠P=∠ABH∴△PBA∽△ABH ∴ x即y=

  14. ②当y= 时，即 在Rt△DAC中，∵∠C=60°∴∠DAC=30° 在Rt△AHE中，设HE=m，则AH=2m，AE= m 在Rt△AEB中，AE2+BE2=AB2 ∴ =32∴m=- (舍)m= ∴BE=HE+HB= ∴sin ∠BAE= ∴∠BAE=60°∴∠BAE=∠C=60° ∴△ABC为等边三角形.

  15. 解：设两直角边长为a、b，则 a2+b2=(a+b)2-2ab=(m-1)2-6(m+2)=132 ∴m=18或m=-10 又∵a+b=m-1＞0∴m＞1∴m=-10舍去 ∴a+b=m-1=18-1=17 ∴r= (a+b-13)= (17-13)=2. 考题演练 1.斜边长为13的直角三角形的两直角边长为方程x2-(m- 1)x+3(m+2)=0的两根，求其内切圆的半径r.

  16. 解：∵a、b是方程x2-mx+2m-2=0的两个根 ∴a+b=m，ab=2m-2. 在Rt△ABC中，由勾股定理得a2+b2=c2 即(a+b)2-2ab=25. ∴m2-2(2m-2)=25∴m=7或m=-3(舍) 当m=7时 ，原方程x2-7x+12=0∴x=3或x=4. 假设a=3则sin A=ac= ∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为 . 2.(2002年·北京东城区)在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边的长a、b是关于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值.

  17. 3.(2002年·济南卷)在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，已知a=3，b、c是关于x的方程x2+mx+2- m=0的两个实数根，求△ABC的周长. 解：Δ=m2-4(2-12m)=m2+2m-8 ∵方程有两个实数根∴Δ≥0∴m2+2m-8≥0 ∴m≤-4或m≥2 又∵b、c是x2+mx+2- m=0的两个实数根 ∴b+c=-mbc=2- m ①当b、c为腰时即b=c ∴ 而此时m＝-4有意义. ∴周长=a+b+c=3+2+2=7.

  18. ②当b、c中只有一个为腰时，不妨设b为腰，则有b=a=3②当b、c中只有一个为腰时，不妨设b为腰，则有b=a=3 ∴ 而此时m=225有意义. ∴周长=a+b+c=3+3+75=375. 综上所述，周长为7或375.

  19. 欢迎交流！

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