地壳形变

地壳形变 武汉大学许才军

《地壳形变》 1、地壳运动与变形分析概述 2、地壳形变测量 3、地球参考系与参考框架 4、板块构造学说与活动地块学说 5、地壳运动监测与数据处理 6、地壳应力与应变分析 7、连续形变、应变观测与数据处理 8、地震活动的大地测量研究方法

活动地块的大地测量划分方法 1. 相对稳定点组的概念 2. 3种确定相对稳定点组方法

相对稳定点组概念 在变形分析中，往往需要对一组观测值来确定运动模型中的各个参数。但是有由于各种原因（如某个点因局部干扰引起位移，或原始观测值中真正存在粗差等），有些观测点上的位移可能“不合群”，即可以用来描述大部分观测点的一组运动参数不能恰当的描述这些观测点的运动。反过来说，如果在求取模型参数时，采用了这些“不合群”的观测值,得到的模型参数会受到“污染”。因此，我们可以将这些“不合群”的位移观测值看作是某种粗差观测值，从而采用适当的方法将它们判别筛选出来，我们把不包含“不合群”位移观测点的所有其它点的集合称为相对稳定点组。相对稳定点组也可以认为是相对不动的点组，或者说是一组几何关系不变的点组。

相对稳定点组的确定方法 1、“几何关系不变”判别法 2、F检验法 3、粗差的拟准检定法（QUAD法） [1]. 确定三维网中相对稳定点组的一种方法.黄立人,马青.《地壳形变与地震》 1999.8 VOL19，NO.3 [2]. GPS所处构造位置的统计检验.黄立人,马青.《地壳形变与地震》 1999.11， VOL19，NO.4 [3]. 粗差的拟准检定法（QUAD法）. 欧吉坤.《测绘学报》 1999.2 VOL28，NO.1 [4]. 用于相对稳定点组判别的QUAD法. 黄立人.《大地测量与地球动力学》 2002.5 VOL22，NO.2

1、“几何关系不变”判别法 依据一组点间的几何关系是否保持不变来判别这一组点是否可认为它们是相对稳定的其基本思想是：如果一组公共点在两期测量之间内部没有相对位移，尽管两期测量计算坐标时所依据的参考系可能有变化而造成求得的坐标有视变化，但坐标参考改变引起这组点的两期测量坐标的视变化则可以通过坐标变换加以消除。把这样一组点之为相对稳定点组。当然，两期测量之间内部没有相对位移，并否位移绝对为零，允许两期坐标有所不同，但这种判别不应超过测量精度的允许范围。

设有一个空间的三维网。第一期观测后的空间直角坐标向量为 ，方差阵为。其中相应地，第二期观测后得到空间直角坐标向量为，方差阵为。采用如下7个步聚进行相对稳定点组的判别

步聚1：任取不在一条直线上的3个公共点i、j、k，第一、二期观测步聚1：任取不在一条直线上的3个公共点i、j、k，第一、二期观测后得到该3点的坐标和为方差阵分别为：用这3个公共点作空间直角坐标变换，以消除由于坐标系的平移、旋转（6参数变换）和尺度比（增加为7参数变换）造成的视变化。

步聚2：由步骤1可以求得变换参数 和方差阵以及变换后的第二期坐标和其方差阵将第二期变换后的坐标等平移

即有：

步聚3：求由步骤2求得的坐标与第一期坐标之差及它们的方根差步聚3：求由步骤2求得的坐标与第一期坐标之差及它们的方根差

若有： 同时成立，则可以认为I,j,k 3点是相对稳定的，否则不是。其中f为一选定的比例系数，可调节判别相对稳定点组的“宽”、“严”程度

步聚4：更换k点，重复步骤1-3的过程，直到对所有公共点都作如上步聚4：更换k点，重复步骤1-3的过程，直到对所有公共点都作如上的判别，找出所有与 I,j两点成相对稳定的3个点的全部点，令有k1个点（包括I,j点）可初步判别为相对稳定点组。步聚5：更换I,j点，重复步骤1-4的过程，直到对所有3点组合都作如上判别,最终找出所有公共点能初步构成的相对稳定点组, 设共有n组，每组中包含的相对稳定点数分别为k1 k2…kn个。

步聚6：从n组可能的相对稳定点组中找出包含相对稳定点数K最大步聚6：从n组可能的相对稳定点组中找出包含相对稳定点数K最大的那一组，令其为步聚7：用找出的组中所有可能的相对稳定点组，作坐标转换，并求出这个点转换后的残差（与第一期资料的坐标值相比较）。仿照步聚3判别这中最终的相对稳定点组。但此时的f可以适当大一些！

2、F检验法 F检验法主要应用方差分析理论，基于有约束和无约束平差的统计特征，给出一种根据复测结果判别一组测站是否位于同一构造块体上的假设检验方法。原理：两期测量之间内部没有相对位移，尽管两期测量计算坐标时所依据的参考系可能有变化或所处的构造块体有运动，但它们的运动是一致的（即认为在同一构造块体上），由此而造成的坐标变化将综合反映在一组转换参数中：转动参数和比例缩放因子e 。

(A) 在刚性块体的情况下，板块A上任何一点P在经过一段时间后，位置将发生变化，这种变化相当于数学上的坐标系旋转造成的坐标变化: (B)

对于板块A内另一点O : (C) 板块运动后，同一板块上的两点间的坐标差为： (D)

(D’) 如果该块体是一个均匀应变体（体应变）,则（D’）式需要增加一项均匀应变e引起的坐标差的变化: (E) (E)式就是位于同一刚性或均匀应变块体上观测点的运动模型，即相对稳定点的运动模型。由(D’) 、 (E)式可以看出，构造块体在球面上的运动造成的同一块体内的两点间坐标差的变化，与坐标参考系的放置附加或不附加尺度因子的变化对坐标差产生的影响在形式上是相同的。

在实际测量中，由于各种原因，两次测量所依据的坐标参考框架不可能完全一致。因此，即使所有的观测点实际上没有运动，测量也没有误差，那么根据两次观测结果求得的坐标差也可能发生变化，其变化量可由(D’) 或 (E)式求出，这种变化是由于两次测量的坐标参考框架间的相对放置和尺度因子不同引起的。反过来说，如果两次测量中间，这个板块确实在球面上按上面所研究的形式运动，那么它将被“融合”在坐标框架的转动和尺度因子之中。而坐标参考框架之间的平移参数，对于任意两点间（无论它们是否位于同一构造单元内）坐标差的变化没有影响。 F检验方法来判别一组点是否位于同一构造体上

为了下面讨论的方便,我们假定两次测量所有的点都进行了复测(实际上,对于两次测量只有部分点进行了复测的情况,下面所述的方法也适用),无论这些点是否在同一块体上,我们总可以对这些点构成的基线向量或坐标观测值分别对两期资料进行自由网平差,得到两次测量的两个单位权方差估值:为了下面讨论的方便,我们假定两次测量所有的点都进行了复测(实际上,对于两次测量只有部分点进行了复测的情况,下面所述的方法也适用),无论这些点是否在同一块体上,我们总可以对这些点构成的基线向量或坐标观测值分别对两期资料进行自由网平差,得到两次测量的两个单位权方差估值: (a) (b)

由于每期测量都是在一个较短时间内(例如几天)完成的,地壳运动由于每期测量都是在一个较短时间内(例如几天)完成的,地壳运动的影响可以忽略不计,因而(a)、(b)式可以看作纯测量精度的量度, 两期测量看作是独立的，我们可以将这两期独立测量值在一起作一次平差（观测为两期观测之和，必要观测为两期必要观测之和），而平差的单位权方差（精度）可表示为：称之为单位权方差的无约束平差估值。

第一次观测量的观测方程为：

第二次观测量的观测方程为：

第一、二次观测方程一起平差可得约束平差（或称附有条件）下的第一、二次观测方程一起平差可得约束平差（或称附有条件）下的单位权方差估值：为约束平差下的自由度.

采用下列符号： 与相互独立则有：、若 (C) 表明在置信水平下，这一组点间的确只有因坐标框架的不一致或整个块体的运动引起的变化，这一组点间的相对位置在两次测量之间没有变化它们是一组相对稳定点组。

若（C）式不成立，则其中必有若干点不在同一构造块体上，或者有局部干扰，造成这些点的异常运动，它们不是一组相对稳定点组。若（C）式不成立，则其中必有若干点不在同一构造块体上，或者有局部干扰，造成这些点的异常运动，它们不是一组相对稳定点组。当（C）式不成立时，需进一步分析，逐一剔除最可能不在同一构造块体上的点，重新对余下的点作统计检验，剔除的点的判别将主要依据改正数V 假设检验理论

3、粗差的拟准检定法（QUAD法） ＱＵＡＤ方法是基于真误差与观测值之间的解析关系建立起来的用于探测观测值中的粗差。如果在用相对稳定点组上，即是确定一组没有发生相对位移（或者对位移在观测误差允许范围内）的点。粗差是指离群的误差，抗御粗差干扰的方法归纳起来,大致可分为两类: 一类是以假设检验为基础的粗差探测、辨识和修正的方法,如Cook等人的余差分析,Baarda 的 Data Snooping等等; 另一类是抗差估计(Robust Estimation)。如数理统计学界的Huber、Hampel 等为抗差M估计奠定了理论基础,Kubik等将该方法引入测量界。

“粗差的拟准检定法”是在“拟稳平差理论”基础上发展起来的，拟稳平差贯穿一种辩证思想,突出选群拟合而非强制。大量观测数据的统计分析表明,粗差在数据中出现是少数。一般情况,含粗差的观测数占总数据量的1%～10%，因此有理由相信观测数据的大部分是正常的。把基本正常但尚待确认的观测称为拟准观测。“粗差的拟准检定法”是在“拟稳平差理论”基础上发展起来的，拟稳平差贯穿一种辩证思想,突出选群拟合而非强制。大量观测数据的统计分析表明,粗差在数据中出现是少数。一般情况,含粗差的观测数占总数据量的1%～10%，因此有理由相信观测数据的大部分是正常的。把基本正常但尚待确认的观测称为拟准观测。经典自由网平差秩亏自由网平差

经典自由网平差 平差模型：当A的秩为待定坐标参数的个数，随机模型中的权阵P是满秩阵，即，表示观测值之间不存在函数相关，这是一个满秩平差问题。在最小二乘原理下可得参数的惟一解:

上述经典平差法的条件是控制网中必须设定足够的起算数据。上述经典平差法的条件是控制网中必须设定足够的起算数据。若设定的起算数据等于必要起算数据个数，称为经典自由网平差。当A的秩为待定坐标参数的个数，误差方程系数阵列秩亏，这样的平差问题称为秩亏自由网平差。秩亏d的定义是，实际上就是平差中缺少的必要起算数据个数。

通常水准网的秩亏数d=1，即一个待定点的高程；通常水准网的秩亏数d=1，即一个待定点的高程；测角网的秩亏数d=4，即两个待定点的平面坐标数；测边网的秩亏数d=3，即一个待定点的平面坐标和一条边的方位角； GPS二维网的秩亏数（d=4，即两个待定点的平面坐标数或d=3，即一个待定点的平面坐标和一条边的方位角）； GPS三维网的秩亏数 {d=6，即两个待定点的3维坐标数（基线平差）或d=7，即一个待定点的3维坐标和3个旋转角参数和一个尺度比参数（坐标平差）}

秩亏自由网平差 1，秩亏自由网平差的广义逆解法（略） 2，秩亏自由网平差的附加条件解法自由网的误差方程为：（1）为消除秩亏，附加基准条件（2）

按最小二乘原则，作函数 求导得或（3）（1）代入（3）并和（2）组成法方程有（4）

（4）式第一式左乘可得 因为，故得因为不能为零，故K=O 因此得即最小二乘原则与附加条件无关。这是自由网平差的一个重要性质。

真误差与观测值之间存在确定的解析关系 数学模型矩阵的上标表示矩阵的秩，下标表示矩阵的维数，X0是m维向量，代表未知参数的真值，为其估值；L是n维观测值向量；Δ是观测值向量的真误差，V是观测值L的余差。

令，称J为平差因子阵。它是投影矩阵。J.J＝J(幂等)，JA＝A，J的秩为m。它的正交补投影记为R，R＝I-J(I是n阶单位阵)，R亦幂等，且有，RA＝0，R的秩为n-m。　　因JAX0＝AX0＝L+Δ＝J(L+Δ)，有(I-J)Δ＝-(I-J)L，或 RΔ= -R L(3.1) 这是关于真误差Δ和观测值L的确定关系式，也可看成关于Δ的线性方程组。方程组(3.1)是秩亏的，秩亏数d=n-(n-m)=m。

设选择了r个拟准观测，r>d=m,相应的真误差为Δr,非拟准观测的真误差为。在如下条件下，求解秩亏方程(3.1) 为了说明求解由式(3.1)和式(3.2)组成的联合方程组的意义，先讨论一般情况，即在式(3.1)基础上，附加适当要求的条件，得到如下方程组其中：ε＝RΔ+RL=R(Δ+L)是拟合残差，G是系数阵，w是m维常数向量。 (3.2) (3.3a) (3.3b) 式(3.3b)是Δ需要满足的m个独立条件，假设R和G的行向量是线性无关的。

构造拉格朗日函数并求条件极值，得法方程 = 进一步可得其中

设选择了r个拟准观测，r>d=m,相应的真误差为 ,非拟准观测的真误差为附加条件为类似前面有真误差的拟准解

可以证明 这就是说真误差的拟准解是在附加拟准观测真误差范数极小的条件下得到的。如果拟准观测选择正确，附加的条件是符合客观实际的，因而反映的实际意义也是准确的。当观测值中含有粗差时，真误差的拟准解的分布特征呈现明显分群现象，相应于拟准观测的真误差估值明显小于非拟准观测的真误差估值，这就为辨识和定位含粗差的观测提供了可靠的依据。根据一定的标准，可将那些真误差估值明显大的观测判定为含粗差观测。

粗差和参数的估值 将观测方程式改写为其中　　　是代表粗差的b维参数向量，Gb是其系数阵，n×b维，N代表分离了粗差的真误差。　　通过拟准检测，假设第j个观测被判为含粗差，可用一个n维单位向量 (第j个分量为1，其余为0)将它标记出来。如果找到b个粗差，得到b个这种单位向量，可构成 Cb=(e1…eb)。　　平差后得到粗差估值

参数估值 真误差N的估值单位权方差估值

以上关于粗差和参数的估值以及相应的统计特性的关系式都是严密的，没有作任何近似 。如何正确选择拟准观测，这是拟准检定法的关键。通常可分两阶段选择：初选和复选

用ＱＵＡＤ法来判别相对稳定点组 设有观测方程：为运动模型参数估值（在这里可认为是地壳运动参数），A为表征模型参数与观测值之间线性化后的函数关系的系数矩阵，即设计矩阵。按照下列步骤（12步）进行相对稳定点组的判别。（1）计算参数估值：

（2）算平差因子矩阵J： （3）计算J的正交投影补矩阵R： (4)计算（1）式的改正数： (5) 求出全部改正数Vi的中位值，并以之作为单位权中误差的估计 (6) 计算初选指标ui 其中是投影矩阵的第i个对角元素

（7）初选相对稳定点组 对于2维的位移矢量，如果则此点被初步选入“相对稳定点组”，f1为我们选定的一个判别准则（因子）。否则被初步判定为“不合群”的点。（8）由选出的“相对稳定点组”重新计算模型参数估计式中，为A、P、L中仅与选出的“相对稳定点组”有关的部分

（9）由选出的“相对稳定点组”按下式计算真误差的估计值（9）由选出的“相对稳定点组”按下式计算真误差的估计值式中（1O）计算指标其中为据选出的“相对稳定点组”各点求得的真误差估计值，PO为相应的观测值的权矩阵

（11）复选：若 则将此点归入“相对稳定点组”（注意：要位移的两个分量都满足上述条件），否则归入“不合群”的点。（12）返回第8步，重复8－11步，直到与上次选出的“相对稳定点组”相同没有再找到新的“稳定点”结束。

QUAD方法应用中的几个具体问题 (1) 因子ｆ1、ｆ2的选择 factor1 factor2两个因子取值的大小（恒为正值）决定此筛选方法标准的宽、严．当一个块体上观测点不多时，采用较严的标准可能造成没有足够数量的点入选到稳定点组中。当观测点较多，但又采用较宽的标准时，又可能造成求得的运动和变形参数误差较大。因而应根据数据质量情况经过试算适当选定。

（2）变形模型的修正和块体的合并 根据检验判别的结果最终选出稳定点组后，需要重新用这些点计算块体的运动和变形参数。如果在判别时采用了较宽的标准，可能造成计算得到的运动和变形参数显著性降低。在这种情况下可能需要修改块体运动和变形模型。 1）若应变参数很不显著，可以考虑对这一块体只采用刚体位移的运动模型。但改变模型后应当重新判别检验。 2）若刚体位移也不显著，就要考虑这一块体可能现今并没有显著的运动和变形，而应将其合并到与之相邻的块体上去．至于合到哪一个相邻的块体上，也需要经过试算比较来确定。 3）合并后应按新的块体重新进行判别检验。这个判别是一个反复趋近的过程

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